Číslo, najdôležitejší matematický pojem. Koncept čísla, ktorý vo svojej najjednoduchšej podobe vznikol ešte v primitívnej spoločnosti, sa v priebehu storočí menil a postupne sa obohacoval o obsah, ako sa rozširuje rozsah ľudskej činnosti a rozširuje sa okruh problémov s ňou spojených, čo si vyžaduje kvantitatívny popis a výskum. V prvých fázach vývoja bol pojem čísla určený potrebami počítania a merania, ktoré vznikli v priamej praktickej činnosti človeka. Potom sa číslo stane základným pojmom matematiky a ďalší vývoj pojem číslo je určený potrebami tejto vedy.

Pojem prirodzeného čísla, spôsobený potrebou počítať predmety, vznikol v praveku. Proces formovania pojmu prirodzené číslo prebiehal vo všeobecnosti nasledovne. Na najnižšej úrovni primitívnej spoločnosti koncept abstraktného čísla absentoval. To neznamená, že primitívny človek si nemohol byť vedomý počtu predmetov v určitom súbore, napríklad počtu ľudí zúčastňujúcich sa lovu, počtu jazier, v ktorých možno loviť atď. Ale vo vedomí primitívneho človeka sa ešte nevytvorila bežná vec, ktorá existuje v predmetoch tohto druhu, ako sú napríklad „traja ľudia“, „tri jazerá“ atď. Analýza jazykov primitívnych národov ukazuje, že na počítanie predmetov rôzneho druhu sa používali rôzne verbálne výrazy. Slovo „tri“ v kontextoch „traja ľudia“, „tri člny“ sa prenášalo inak. Samozrejme, také pomenované číselný rad boli veľmi krátke a končili pojmom („veľa“) o veľkom počte určitých objektov, ktorý bol tiež pomenovaný, tj vyjadrený rôznymi slovami pre objekty iný druh, ako napríklad „dav“, „stádo“, „hromada“ atď. atď.

Zdrojom vzniku pojmu abstraktné číslo je primitívne počítanie predmetov, ktoré spočíva v porovnávaní predmetov danej špecifickej množiny s predmetmi určitej špecifickej množiny, ktorá hrá akoby úlohu štandardné. Pre väčšinu národov sú prvým takýmto štandardom prsty („počítanie na prstoch“), čo nepochybne potvrdzuje lingvistická analýza mien prvých čísel. V tomto štádiu sa číslo stáva abstraktným, nezávislým od kvality počítaných objektov, no zároveň pôsobí vo veľmi špecifickej implementácii, spojenej s povahou referenčného súboru. Rozširujúca sa potreba počítania prinútila ľudí používať iné normy počítania, ako napríklad zárezy na palici. Na opravu sa začalo používať pomerne veľké množstvo nový nápad- označenie nejakého konkrétneho čísla (pre väčšinu národov - desať) s novým znakom, napríklad zárezom na inej palici.

S rozvojom písma sa výrazne rozšírili možnosti reprodukcie čísel. Najprv sa čísla začali označovať pomlčkami na materiáli použitom na záznam (papyrus, hlinené tabuľky atď.). Potom boli zavedené ďalšie znaky pre veľké čísla. Babylonské klinové označenia čísla, ako aj „rímske číslice“, ktoré sa zachovali dodnes, jasne naznačujú práve tento spôsob tvorby označenia čísla. Krokom vpred bol indický pozičný číselný systém, ktorý umožňuje zapisovať ľubovoľné prirodzené číslo pomocou desiatich číslic – číslic. Paralelne s vývojom písma sa teda pojem prirodzeného čísla upevňuje vo forme slov (v ústnej reči) a vo forme označenia špeciálnymi znakmi (písomne).

S rozvojom konceptu prirodzeného čísla v dôsledku počítania objektov sa začali používať operácie s číslami. Operácie sčítania a odčítania vznikajú najskôr ako operácie na samotných kolekciách formou spojenia dvoch kolekcií do jednej a oddelením časti kolekcie. Násobenie zrejme vzniklo v dôsledku počítania v rovnakých častiach (dva, tri atď.), Rozdelenie - ako rozdelenie celku na rovnaké časti. Iba stáročné skúsenosti vytvorili myšlienku abstraktnej povahy týchto akcií, nezávislosti kvantitatívneho výsledku akcie od povahy objektov, ktoré tvoria agregát, napríklad dvoch objektov a troch objektov. bude tvoriť päť objektov bez ohľadu na povahu týchto objektov. Potom začali rozvíjať pravidlá činnosti, študovať ich vlastnosti, vytvárať metódy na riešenie problémov, to znamená, že začína vývoj vedy o číslach - aritmetika. Po prvé, aritmetika sa vyvíja ako systém vedomostí, ktorý má priamo aplikovanú orientáciu. Ale v samotnom procese vývoja aritmetiky je potrebné študovať vlastnosti čísel ako takých, pochopiť stále zložitejšie vzorce v ich vzťahoch v dôsledku prítomnosti akcií. Začína sa upresňovanie pojmu prirodzené číslo, rozlišujú sa triedy párnych a nepárnych čísel, prvočíslo a zložené atď. Štúdium hlbokých vzorcov v prirodzenom rade čísel pokračuje a tvorí časť matematiky nazývaná teória čísel.

Prirodzené čísla okrem hlavnej funkcie – charakteristiky počtu predmetov, majú ešte jednu funkciu – charakteristiku poradia predmetov usporiadaných za sebou. Pojem radové číslo (prvé, druhé atď.), ktorý vzniká v súvislosti s touto funkciou, je úzko spätý s pojmom kardinálne číslo (jedna, dva atď.). Najmä usporiadanie spočítateľných predmetov do radu a ich následné prepočítavanie pomocou radových čísel je od nepamäti najbežnejším spôsobom počítania predmetov (ak sa napríklad posledný z počítaných predmetov ukáže ako siedmy, potom tento znamená, že existuje sedem objektov).

Otázka zdôvodnenia pojmu prirodzené číslo na dlhú dobu nevkladá do vedy. Pojem prirodzeného čísla je taký známy a jednoduchý, že nebolo potrebné ho ďalej definovať jednoduché koncepty. Až v polovici 19. stor. pod vplyvom rozvoja axiomatickej metódy v matematike na jednej strane a kritickej revízie základov matematickej analýzy na strane druhej vyvstala potreba zdôvodniť pojem kvantitatívneho prirodzeného čísla. Jasná definícia pojmu prirodzené číslo na základe pojmu množina bola podaná v 70. rokoch. 19. storočie v dielach G. Kantora. Najprv definuje pojem ekvivalencie množín. Menovite sa hovorí, že dve kolekcie sú ekvivalentné, ak je možné ich jednotlivé predmety porovnávať jeden po druhom. Potom je počet objektov, ktoré tvoria danú množinu, definovaný ako spoločná vec, ktorú má táto množina spoločné s akoukoľvek inou množinou objektov, ktorá je jej ekvivalentná, bez ohľadu na akékoľvek kvalitatívne znaky týchto objektov. Takáto definícia odráža podstatu prirodzeného čísla ako výsledok počítania objektov, ktoré tvoria danú množinu. Na všetkých historických úrovniach počítanie skutočne spočíva v porovnávaní, jeden po druhom, počítaných predmetov a predmetov, ktoré tvoria „referenčný“ súbor (v počiatočných štádiách – prsty a zárezy na palici atď., v súčasnosti – slová a znaky označujúce čísla). Cantorova definícia bola východiskovým bodom pre zovšeobecnenie pojmu veličiny. Číslo v smere kvantitatívnych charakteristík nekonečných množín.

Ďalšie opodstatnenie pojmu prirodzené číslo je založené na analýze poradového vzťahu, ktorý, ako sa ukazuje, možno axiomatizovať. Systém axióm vybudovaný na tomto princípe sformuloval G. Peano.

Zavedenie záporných čísel bolo nevyhnutne spôsobené rozvojom algebry ako vedy, ktorá poskytuje všeobecné metódy riešenia aritmetických problémov bez ohľadu na ich konkrétny obsah a počiatočné číselné údaje. Potreba zaviesť do algebry záporné číslo vzniká už pri riešení úloh, ktoré sa redukujú na lineárne rovnice s jednou neznámou. Prípadnú negatívnu odpoveď v problémoch tohto druhu možno interpretovať príkladmi najjednoduchších smerovaných veličín (ako sú opačne smerované segmenty, pohyb v opačnom smere ako je zvolený atď.). Pri problémoch, ktoré vedú k opakovanej aplikácii operácií sčítania a odčítania, na vyriešenie bez pomoci záporného čísla, je potrebné zvážiť veľmi veľa prípadov; to môže byť také ťažkopádne, že sa tým stráca výhoda algebraického riešenia problému oproti aritmetickým. Široké používanie algebraických metód na riešenie problémov je teda veľmi ťažké bez použitia záporného čísla. V Indii ešte v 6.-11. storočí. záporné čísla sa systematicky uplatňovali pri riešení problémov a interpretovali v podstate tak, ako sa to robí v súčasnosti.

V európskej vede sa záporné čísla konečne začali používať až od čias R. Descarta, ktorý dal geometrickú interpretáciu záporného čísla ako smerované segmenty. Vytvorenie analytickej geometrie od Descarta, ktoré umožnilo považovať korene rovnice za súradnice priesečníkov určitej krivky s osou úsečky, nakoniec vymazalo zásadný rozdiel medzi kladnými a zápornými koreňmi rovnice. , ich výklad sa ukázal byť v podstate rovnaký.

Poslednou fázou vývoja pojmu číslo je zavedenie komplexných čísel. Pôvodom konceptu komplexného čísla bol vývoj algebry. Zdá sa, že myšlienka komplexného čísla sa prvýkrát objavila medzi talianskymi matematikmi 16. (G. Cardano, R. Bombelli) v súvislosti s objavom algebraického riešenia rovníc tretieho a štvrtého stupňa. Je známe, že aj riešenie kvadratickej rovnice niekedy vedie k odmocneniu záporného čísla, čo je v oblasti reálneho čísla nemožné. Ale to sa stane len vtedy, ak rovnica nemá skutočné korene. Ukazuje sa, že praktický problém vedúci k riešeniu takejto kvadratickej rovnice nemá riešenie. S objavom algebraického riešenia rovníc tretieho stupňa bola objavená nasledujúca okolnosť. Práve v prípade, že všetky tri korene rovnice sú reálne čísla, v priebehu výpočtu sa ukáže, že je potrebné vykonať akciu extrakcie druhej odmocniny zo záporných čísel. „imaginár“, ktorý v tomto prípade vzniká, zmizne až po dokončení všetkých nasledujúcich akcií. Táto okolnosť bola prvým podnetom na uvažovanie o komplexných číslach. Avšak komplexné čísla a akcie na nich sa sotva vštepovali do činnosti matematikov. Pozostatky nedôvery v pravidelnosť ich používania sa odzrkadľujú v pojmoch „imaginárne“ číslo, ktoré sa zachovalo dodnes. Táto nedôvera sa rozplynula až po založení koncom 18. storočia. geometrická interpretácia komplexných čísel vo forme bodov v rovine a stanovenie nepochybných výhod zavedenia komplexných čísel do teórie algebraických rovníc, najmä po slávnych prácach K. Gaussa. Ešte pred Gaussom, v prácach L. Eulera, začali komplexné čísla hrať významnú úlohu nielen v algebre, ale aj v matematickej analýze. Táto úloha sa stala mimoriadne veľkou v 19. storočí. v súvislosti s rozvojom teórie funkcií komplexnej premennej.

Spolu s hlavnou líniou vývoja pojmu číslo (prirodzené čísla; racionálne čísla; reálne čísla; komplexné čísla) spôsobili špecifické potreby určitých oblastí matematiky rôzne zovšeobecnenia pojmu číslo vo výrazne odlišných smeroch.

V matematických odvetviach súvisiacich s teóriou množín teda zohrávajú významnú úlohu vyššie uvedené pojmy kardinálnych a ordinálnych transfinitných čísel. V modernej teórii získali čísla veľký význam. V algebre sa študujú rôzne systémy objektov, ktoré majú vlastnosti, ktoré sú viac-menej blízke vlastnostiam súhrnu celých alebo racionálnych čísel - grupy, kruhy, polia, algebry.

„Zaznamenávanie“ čísel pomocou zárezov alebo uzlov nebolo príliš pohodlné, pretože na písanie veľkých čísel bolo potrebné urobiť veľa zárezov alebo uzlov, čo sťažovalo nielen písanie, ale aj vzájomné porovnávanie čísel. ťažké vykonávať operácie s číslami. Preto vznikli iné, ekonomickejšie spôsoby písania čísel: začali počítať v skupinách s rovnakým počtom prvkov. To bolo uľahčené rozvojom počítania pomocou prstov na rukách a nohách. Prechod človeka na počítanie prstov viedol k vytvoreniu rôznych číselných sústav: päťka, desiatková, vigezimálna atď.

Vo všeobecnosti sa najstaršia číselná sústava považuje za binárnu. Vznikol tak, že človek rátal nie na prstoch, ale pomocou rúk, teda keď jednotkou najnižšej kategórie bola jedna ruka a jednotkou najvyššej kategórie boli dve ruky. Stopy tohto systému prežili dodnes – prejavujú sa v túžbe počítať vo dvojiciach.

Postupne si ľudstvo pod vplyvom rastúcich ekonomických potrieb vytvorilo metódy počítania. Tento proces bol spontánny a dlhý. Začalo to v staroveku, keď ľudia vyvinuli prvé matematické pojmy, najmä pojmy prirodzeného čísla a počítania.

Ich ďalší vývoj prebiehal v ére formácie staroveké štáty- Babylon, Egypt, Čína atď., teda asi pred päťtisíc rokmi. V tomto období vznikli nové spôsoby písania čísel.

V starovekom Babylone počítali v skupinách po šesťdesiatich, to znamená, že číselný systém tu bol šesťdesiatkový. Napríklad babylonský matematik si predstavoval číslo 137 takto: 137 \u003d 2-60 + 17. Samozrejme, toto číslo bolo napísané v iných znakoch - trojuholníkových klinoch. Faktom je, že starí Babylončania robili záznamy na hlinených doskách tak, že z nich vytláčali trojuholníkové kliny. Tieto tablety sa potom vysušili a vypálili.

Na zaznamenávanie čísel sa používali polohy klinu: vertikálne - špičkou dole a horizontálne - špičkou vľavo. Znak zároveň znamenal jeden a šesťdesiat, znak „- desať. Ďalšie čísla boli zobrazené pomocou týchto znakov a operácie sčítania. Napríklad číslo 5 bolo zobrazené takto: a číslo 137 takto:. Posledný záznam čísla v šesťdesiatkovej sústave: 60+60+10+7=2∙60+17.

Záznam čísel vynájdený v starovekom Babylone však mal nevýhody: bolo ťažké v ňom zobraziť veľké čísla, neexistoval žiadny špeciálny znak pre základ číselného systému - číslo 60, čo viedlo k nezrovnalostiam v jednotlivých záznamoch.

Prečo Babylončania použili číslo 60 ako základ svojho číselného systému? Na túto otázku je ťažké jednoznačne odpovedať. Poznamenávame len, že starí Babylončania mali dosť veľkú zásobu vedomostí v rôznych oblastiach: matematika, astronómia. Existuje predpoklad, že základom pre vytvorenie šesťdesiatkovej číselnej sústavy bolo rozdelenie kruhu číslom 360

desiatkový číselný systém, teda spôsob zápisu a čítania čísel, ktorý dnes používa celé ľudstvo. Táto udalosť je datovaná do 6. storočia. A. e. Aký bol tento objav? Koniec koncov, ľudia z dávnych čias zaznamenávali čísla.

Faktom je, že pri tomto spôsobe zápisu čísel, ktorý vynašli indickí matematici, závisí hodnota každej číslice v číselnom zápise od jej miesta, polohy. Napríklad rovnaké číslo 7 v čísle 703 znamená 7 stoviek, v čísle 72 - sedem desiatok a v čísle 7230 - sedem tisíc. Ukázalo sa, že pomocou desiatich číslic môžete napísať ľubovoľné číslo. Preto sa desiatková číselná sústava nazýva pozičná. Okrem toho sa v Indii po prvýkrát začala nula používať na označenie chýbajúcich bitových jednotiek, čo tiež zohralo veľkú úlohu pri zlepšovaní zápisu čísel a zjednodušení výpočtov.

Nám známy záznam nuly sa samozrejme neobjavil hneď. Stiahol som si to, ak v čísle nebola číslica, Indovia namiesto názvu čísla povedali slovo „prázdny“ a pri písaní dali na miesto „prázdnej“ číslice bodku. Neskôr namiesto bodky začali kresliť kruh, ktorý sa nazýval „sunya“, čo v hindčine znamená „prázdny“.

Pri preklade do arabčina slovo „sunya“ sa zmenilo na slovo „sifr“, ktoré v ruštine znie ako „číslo“. Číslam hovoríme všetkých desať znakov používaných na písanie čísel: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. No pred dvesto rokmi sa len jeden znak nazýval číslom – 0.

Čísla, ktorými sa čísla píšu v desiatkovej číselnej sústave, vymysleli aj matematici starovekej Indii. Aj keď, samozrejme, ich pôvodný pravopis je výrazne odlišný od moderného. Súčasná podoba čísel sa ustálila až po vynájdení tlače – v 15. storočí.

Prečo sa čísla vynájdené v Indii často nazývajú arabské? Faktom je, že štát Arabov, ktorý vznikol v 7. storočí na Arabskom polostrove, si za dvesto rokov podrobil značné množstvo štátov, ktoré boli na vyššom stupni rozvoja. Arabský kalifát zahŕňal napríklad severnú Indiu, Egypt, Strednú Áziu, Mezopotámiu, Perziu, Zakaukazsko, severná Afrika a iné štáty. Hlavným mestom tohto rozsiahleho štátu bolo mesto Bagdad, ktoré sa stalo centrom arabskej kultúry. Arabi pochopili dôležitosť vedy a starostlivo zbierali, študovali a prekladali do svojho jazyka diela vedcov z dobytých krajín vrátane Grécka, Indie a Strednej Ázie.

Arabskí matematici však nielen zachovali diela vynikajúcich vedcov staroveku, ale tiež výrazne prispeli k rozvoju matematiky.

Vynikajúcim vedcom 9. storočia bol uzbecký (chórezmsky) matematik Mohammed bin Musa al-Khwarizmi. Jeho kniha „Kitab al-Jebr“, ktorá stanovuje pravidlá riešenia aritmetických problémov a rovníc, dala názov vede algebra.

Úvod

Svet čísel je veľmi tajomný a zaujímavý. Čísla sú v našom svete veľmi dôležité. Chcem sa dozvedieť čo najviac o pôvode čísel, o ich význame v našom živote. Ako ich aplikovať a akú úlohu zohrávajú v našom živote?

Minulý rok sme na hodinách matematiky začali študovať tému „Kladné a záporné čísla“. Mal som otázku, kedy sa objavili záporné čísla, v ktorej krajine, ktorí vedci sa touto problematikou zaoberali. Na Wikipédii som sa dočítal, že záporné číslo je prvok množiny záporných čísel, ktorý sa (spolu s nulou) objavil v matematike pri rozširovaní množiny prirodzených čísel. Účelom rozšírenia je poskytnúť operáciu odčítania pre ľubovoľné čísla. V dôsledku expanzie sa získa množina (kruh) celých čísel, pozostávajúca z kladných (prirodzených) čísel, záporných čísel a nuly.

V dôsledku toho som sa rozhodol preskúmať históriu záporných čísel.

Účelom tejto práce je študovať históriu vzniku negatívnych a kladné čísla.

Predmet štúdia - záporné čísla a kladné čísla

História kladných a záporných čísel

Ľudia si dlho nevedeli zvyknúť na záporné čísla. Záporné čísla sa im zdali nepochopiteľné, nepoužívali sa, jednoducho v nich nevideli veľký význam. Tieto čísla sa objavili oveľa neskôr ako prirodzené čísla a bežné zlomky.

Prvé informácie o záporných číslach sa nachádzajú medzi čínskymi matematikmi v 2. storočí pred Kristom. BC e. a potom boli známe iba pravidlá sčítania a odčítania kladných a záporných čísel; pravidlá násobenia a delenia sa neuplatňovali.

Pozitívne množstvá v čínskej matematike sa nazývali "chen", negatívne - "fu"; boli zobrazovaní rôzne farby: "chen" - červená, "fu" - čierna. To možno vidieť v knihe Aritmetika v deviatich kapitolách (autor Zhang Can). Tento spôsob zobrazovania sa používal v Číne do polovice 12. storočia, kým Li Ye nenavrhol vhodnejší zápis záporných čísel – čísla, ktoré znázorňovali záporné čísla, boli prečiarknuté pomlčkou šikmo sprava doľava.

Až v 7. stor Indickí matematici začali vo veľkej miere využívať záporné čísla, no brali ich s určitou nedôverou. Bhashara priamo napísal: "Ľudia neschvaľujú abstraktné záporné čísla ...". Tu je návod, ako indický matematik Brahmagupta stanovil pravidlá sčítania a odčítania: „majetok a majetok sú majetkom, súčet dvoch dlhov je dlh; súčet majetku a nula je majetok; súčet dvoch núl je nula... Dlh, ktorý sa odpočíta od nuly, sa stáva majetkom a majetok sa stáva dlhom. Ak je potrebné vziať majetok z dlhu a dlh z majetku, potom si vezmú svoju sumu. "Súčet dvoch vlastností je majetok."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Indovia nazývali kladné čísla „dhana“ alebo „swa“ (majetok) a záporné – „rina“ alebo „kshaya“ (dlh). Indickí vedci, ktorí sa pokúšali nájsť príklady takéhoto odčítania v živote, ho interpretovali z hľadiska obchodných výpočtov. Ak má obchodník 5000 r. a nakupuje tovar za 3000 rubľov, má 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Ak má 3 000 rubľov a nakúpi za 5 000 rubľov, zostane v dlhu za 2 000 rubľov. V súlade s tým sa verilo, že sa tu robí odčítanie 3000 - 5000, ale výsledkom je číslo 2000 s bodkou navrchu, čo znamená "dvotisícový dlh." Tento výklad bol umelý, obchodník nikdy nezistil výšku dlhu odpočítaním 3000 - 5000, ale vždy odpočítaním 5000 - 3000.

O niečo neskôr, v starovekej Indii a Číne, hádali namiesto slov „dlh 10 juanov“ jednoducho napísať „10 juanov“, ale tieto hieroglyfy nakreslili čiernym atramentom. A znamienka „+“ a „-“ v dávnych dobách neboli ani pre čísla, ani pre činy.

Gréci tiež spočiatku nepoužívali znaky. Staroveký grécky vedec Diophantus vôbec nerozoznával záporné čísla a ak sa pri riešení rovnice dostal záporný koreň, potom ho zahodil ako „neprístupný“. A Diophantus sa snažil formulovať problémy a vytvárať rovnice tak, aby sa vyhol negatívnym koreňom, ale čoskoro Diophantus Alexandrijský začal označovať odčítanie znamienkom.

Pravidlá zaobchádzania s kladnými a zápornými číslami boli navrhnuté už v 3. storočí v Egypte. K zavedeniu negatívnych veličín prvýkrát došlo u Diophanta. Dokonca pre ne použil aj špeciálny znak. Diophantus zároveň používa také obraty reči ako „Pridajme negatív na obe strany“ a dokonca formuluje pravidlo o znakoch: „Negatív vynásobený negatívom dáva pozitíva, zatiaľ čo negatív vynásobený pozitívom dáva negatív."

V Európe sa záporné čísla začali používať od 12. – 13. storočia, no až do 16. storočia. väčšina vedcov ich považovala za „nepravdivé“, „imaginárne“ alebo „absurdné“, na rozdiel od kladných čísel – „pravdivé“. Kladné čísla boli tiež interpretované ako "majetok" a záporné čísla - ako "dlh", "nedostatok". Dokonca aj slávny matematik Blaise Pascal tvrdil, že 0 − 4 = 0, pretože nič nemôže byť menej ako nič. V Európe sa Leonardo Fibonacci z Pisy na začiatku 13. storočia dostatočne priblížil myšlienke zápornej veličiny. V súťaži v riešení problémov s dvornými matematikmi Fridricha II bol Leonardo z Pisy požiadaný, aby vyriešil problém: bolo potrebné nájsť kapitál niekoľkých osôb. Fibonacci je negatívny. "Tento prípad," povedal Fibonacci, "je nemožný, okrem akceptovania toho, že človek nemal kapitál, ale dlh." Vyslovene záporné čísla však prvýkrát použil na konci 15. storočia francúzsky matematik Shuquet. Autor ručne písaného pojednania o aritmetike a algebre, Veda o číslach v troch častiach. Schückeho symbolika sa približuje k modernej.

K rozpoznaniu záporných čísel prispela práca francúzskeho matematika, fyzika a filozofa Reného Descartesa. Navrhol geometrickú interpretáciu kladných a záporných čísel - zaviedol súradnicovú čiaru. (1637).

Kladné čísla sú na číselnej osi znázornené bodmi napravo od počiatku 0, záporné čísla vľavo. K ich rozpoznaniu prispela geometrická interpretácia kladných a záporných čísel.

V roku 1544 nemecký matematik Michael Stiefel po prvý raz považuje záporné čísla za čísla menšie ako nula (t. j. „menej ako nič“). Od tohto momentu sa na záporné čísla už nepozerá ako na dlh, ale úplne novým spôsobom. Sám Stiefel napísal: „Nula je medzi pravdivými a absurdnými číslami...“

Takmer súčasne so Stiefelom Bombelli Raffaele (približne 1530-1572), taliansky matematik a inžinier, ktorý znovu objavil Diophantovu prácu, obhajoval myšlienku záporných čísel.

Podobne Girard považoval záporné čísla za celkom prijateľné a užitočné, najmä na označenie nedostatku niečoho.

Každý fyzik sa neustále zaoberá číslami: stále niečo meria, počíta, počíta. Všade v jeho papieroch - čísla, čísla a čísla. Ak si pozorne prezriete záznamy fyzika, zistíte, že pri písaní čísel často používa znamienka „+“ a „-“. (Napríklad: teplomer, stupnica hĺbky a výšky)

Iba v začiatkom XIX V. teória záporných čísel dokončila svoj vývoj a „absurdné čísla“ sa dočkali všeobecného uznania.

Definícia pojmu číslo

IN modernom svetečlovek neustále používa čísla bez toho, aby premýšľal o ich pôvode. Bez poznania minulosti nie je možné pochopiť prítomnosť. Číslo je jedným zo základných pojmov matematiky. Pojem čísla sa vyvinul v úzkej súvislosti so štúdiom veličín; toto spojenie trvá dodnes. Vo všetkých odvetviach modernej matematiky je potrebné zvážiť rôzne množstvá a použiť čísla. Číslo je abstrakcia používaná na kvantifikáciu objektov. Po tom, čo sa v primitívnej spoločnosti objavila potreba počítania, pojem čísla sa zmenil a obohatil a zmenil sa na najdôležitejší matematický pojem.

Existuje veľké množstvo definície pre „číslo“.

Prvú vedeckú definíciu čísla podal Euklides vo svojich Prvkoch, ktoré očividne zdedil po svojom krajanovi Eudoxovi z Knidu (asi 408 – asi 355 pred Kristom): „Jednotka je tá, podľa ktorej sa každá z existujúcich vecí nazýva jeden. Číslo je množina zložená z jednotiek. Takto definoval pojem čísla ruský matematik Magnitsky vo svojej Aritmetike (1703). Už pred Euklidesom dal Aristoteles nasledujúcu definíciu: "Číslo je množina, ktorá sa meria pomocou jednotiek." Veľký anglický fyzik, mechanik, astronóm a matematik Isaac Newton vo svojej „Všeobecnej aritmetike“ (1707) píše: „Číslom nemyslíme ani tak množinu jednotiek, ale abstraktný pomer nejakej veličiny k inej tej istej veličine. druh, braný ako celok . Existujú tri typy čísel: celočíselné, zlomkové a iracionálne. Celé číslo je číslo, ktoré sa meria jednotkou; zlomkový - násobok jednotky, iracionálny - číslo, ktoré nie je úmerné jednotke.

Mariupolský matematik S.F. Klyuykov tiež prispel k definícii pojmu číslo: "Čísla sú matematické modely skutočného sveta, ktoré vymyslel človek pre svoje znalosti." Do tradičnej klasifikácie čísel zaviedol aj takzvané „funkčné čísla“, čo znamená to, čo sa na celom svete zvyčajne nazýva funkciami.

Prirodzené čísla vznikli pri počítaní predmetov. Dozvedel som sa o tom v 5. ročníku. Potom som sa dozvedel, že ľudská potreba merať veličiny nie je vždy vyjadrená ako celé číslo. Po rozšírení množiny prirodzených čísel na zlomkové bolo možné deliť akékoľvek celé číslo iným celým číslom (s výnimkou delenia nulou). Existujú zlomkové čísla. Odčítať celé číslo od iného celého čísla, keď je odčítané väčšie ako redukované, sa dlho zdalo nemožné. Zaujímavý bol pre mňa fakt, že mnohí matematici dlho nepoznali záporné čísla v domnení, že nezodpovedajú žiadnym skutočným javom.

Pôvod slov „plus“ a „mínus“

Pojmy pochádzajú zo slov plus – „viac“, mínus – „menej“. Najprv sa akcie označovali prvými písmenami p; m. Mnohí matematici preferovali alebo Vznik moderných znakov „+“, „-“ nie je úplne jasný. Znak „+“ pravdepodobne pochádza zo skratky et, t.j. "A". Mohlo to však pochádzať z obchodnej praxe: predané miery vína boli na sude označené znakom „-“ a po obnovení zásob boli prečiarknuté, získal sa znak „+“.

Pri požičiavaní peňazí do Talianska úžerníci dávajú pred meno dlžníka výšku dlhu a pomlčku, ako naše mínus, a keď dlžník peniaze vrátil, prečiarkli to, niečo ako naše plus.

Moderné znaky „+“ sa objavili v Nemecku v poslednom desaťročí 15. storočia. vo Widmannovej knihe, ktorá bola sprievodcom účtu pre obchodníkov (1489). Už Čech Jan Widman napísal "+" a "-" pre sčítanie a odčítanie.

O niečo neskôr napísal nemecký učenec Michel Stiefel Úplnú aritmetiku, ktorá vyšla v roku 1544. Obsahuje tieto položky pre čísla: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Čísla prvého druhu nazýval „menej ako nič“ alebo „nižšie ako nič“. Čísla druhého typu nazýval „viac ako nič“ alebo „vyššie ako nič“. Samozrejme, že týmto menám rozumiete, pretože „nič“ je 0.

Záporné čísla v Egypte

Napriek takýmto pochybnostiam však boli pravidlá pre nakladanie s kladnými a zápornými číslami navrhnuté už v 3. storočí v Egypte. K zavedeniu negatívnych veličín prvýkrát došlo u Diophanta. Dokonca pre ne použil aj špeciálny znak (teraz na to používame znamienko mínus). Je pravda, že vedci polemizujú, či diofantínsky symbol označoval presne záporné číslo alebo jednoducho operáciu odčítania, pretože v Diofantovi sa záporné čísla nevyskytujú izolovane, ale iba vo forme kladných rozdielov; a za odpovede v problémoch považuje len racionálne kladné čísla. Zároveň však Diophantus používa také obraty reči ako „Pridajme negatív na obe strany“ a dokonca formuluje pravidlo znakov: „Negatív vynásobený negatívom dáva pozitívum, zatiaľ čo negatív vynásobený pozitívom. dáva zápor“ (to, čo sa teraz zvyčajne formuluje: „mínus na mínus dáva plus, mínus na plus dáva mínus“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Záporné čísla v starovekej Ázii

Pozitívne množstvá v čínskej matematike sa nazývali "chen", negatívne - "fu"; boli zobrazené v rôznych farbách: "chen" - červená, "fu" - čierna. Tento spôsob zobrazovania sa používal v Číne do polovice 12. storočia, kým Li Ye nenavrhol vhodnejší zápis záporných čísel – čísla, ktoré znázorňovali záporné čísla, boli prečiarknuté pomlčkou šikmo sprava doľava. Indickí vedci, ktorí sa pokúšali nájsť príklady takéhoto odčítania v živote, ho interpretovali z hľadiska obchodných výpočtov.

Ak má obchodník 5000 r. a nakupuje tovar za 3000 rubľov, má 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Ak má 3 000 rubľov a nakúpi za 5 000 rubľov, zostane v dlhu za 2 000 rubľov. V súlade s tým sa verilo, že sa tu robí odčítanie 3000 - 5000, ale výsledkom je číslo 2000 s bodkou navrchu, čo znamená "dvotisícový dlh."

Tento výklad mal umelý charakter, obchodník nikdy nezistil výšku dlhu odčítaním 3000 - 5000, ale vždy odpočítal 5000 - 3000. Navyše na tomto základe bolo možné s napätím vysvetliť len pravidlá pripočítavania a odpočítavania. "čísla s bodkami", ale v žiadnom prípade nemal vysvetľovať pravidlá násobenia alebo delenia.

V storočiach V-VI sa v indickej matematike objavujú záporné čísla a sú veľmi rozšírené. V Indii sa záporné čísla systematicky používali v podstate rovnakým spôsobom ako my teraz. Indickí matematici používali záporné čísla už od 7. storočia. n. e.: Brahmagupta s nimi sformuloval pravidlá pre aritmetické operácie. V jeho diele čítame: „majetok a majetok sú majetkom, súčet dvoch dlhov je dlh; súčet majetku a nula je majetok; súčet dvoch núl je nula... Dlh, ktorý sa odpočíta od nuly, sa stáva majetkom a majetok sa stáva dlhom. Ak je potrebné vziať majetok z dlhu a dlh z majetku, potom si vezmú svoju sumu.

Indovia nazývali kladné čísla „dhana“ alebo „swa“ (majetok) a záporné – „rina“ alebo „kshaya“ (dlh). V Indii však boli problémy s pochopením a akceptovaním záporných čísel.

Záporné čísla v Európe

Európski matematici ich dlho neschvaľovali, pretože výklad „majetkového dlhu“ vyvolával zmätok a pochybnosti. Skutočne, ako možno „pričítať“ alebo „odčítať“ majetok a dlhy, aký skutočný význam môže mať „násobenie“ alebo „delenie“ majetku dlhom? (G.I. Glazer, Dejiny matematiky v školských ročníkoch IV-VI. Moskva, Školstvo, 1981)

Preto si záporné čísla vydobyli svoje miesto v matematike len veľmi ťažko. V Európe sa Leonardo Fibonacci z Pisy na začiatku 13. storočia dostatočne priblížil myšlienke zápornej veličiny, ale explicitné použitie záporných čísel prvýkrát použil na konci 15. storočia francúzsky matematik Shuquet. Autor ručne písaného pojednania o aritmetike a algebre, Veda o číslach v troch častiach. Schückeho symbolika sa približuje modernej (Matematická encyklopedický slovník. M., Sov. encyklopédia, 1988)

Moderná interpretácia záporných čísel

V roku 1544 nemecký matematik Michael Stiefel po prvý raz považuje záporné čísla za čísla menšie ako nula (t. j. „menej ako nič“). Od tohto momentu sa na záporné čísla už nepozerá ako na dlh, ale úplne novým spôsobom. Sám Stiefel napísal: „Nula je medzi pravdivými a absurdnými číslami...“ (G.I. Glazer, Dejiny matematiky v ročníkoch IV-VI. Moskva, Vzdelávanie, 1981)

Potom sa Stiefel venuje výlučne matematike, v ktorej bol vynikajúcim samoukom. Jeden z prvých v Európe po tom, čo Nikola Shuke začal operovať so zápornými číslami.

Slávny francúzsky matematik René Descartes v Geometrii (1637) opisuje geometrickú interpretáciu kladných a záporných čísel; kladné čísla sú na číselnej osi znázornené bodmi napravo od počiatku 0, záporné - vľavo. Geometrický výklad kladných a záporných čísel viedol k jasnejšiemu pochopeniu podstaty záporných čísel a prispel k ich rozpoznaniu.

Takmer súčasne so Stiefelom obhajoval myšlienku záporných čísel R. Bombelli Raffaele (okolo 1530-1572), taliansky matematik a inžinier, ktorý znovu objavil Diophantovu prácu.

Bombelli a Girard naopak považovali záporné čísla za celkom prijateľné a užitočné, najmä na označenie nedostatku niečoho. Moderné označenie kladných a záporných čísel znamienkami „+“ a „-“ použil nemecký matematik Widman. Výraz „nižšie ako nič“ ukazuje, že Stiefel a niektorí ďalší si v duchu predstavovali kladné a záporné čísla ako body na vertikálnej stupnici (ako stupnica teplomera). Myšlienka, ktorú neskôr rozvinul matematik A. Girard o záporných číslach ako bodoch na určitej priamke nachádzajúcej sa na druhej strane nuly ako kladných, sa ukázala ako rozhodujúca pri poskytovaní občianskych práv týmto číslam, najmä v dôsledku vývoj súradnicovej metódy od P. Fermata a R. Descartesa .

Záver

Vo svojej práci som skúmal históriu záporných čísel. Počas môjho výskumu som dospel k záveru:

Moderná veda sa stretáva s veličinami tak zložitého charakteru, že pre ich štúdium je potrebné vynájsť nové typy čísel.

Pri zavádzaní nových čísel sú veľmi dôležité dve okolnosti:

a) pravidlá konania o nich musia byť úplne definované a nesmú viesť k rozporom;

b) nové sústavy čísel by mali prispieť buď k riešeniu nových problémov, alebo zlepšiť už známe riešenia.

K dnešnému dňu existuje sedem všeobecne akceptovaných úrovní zovšeobecnenia čísel: prirodzené, racionálne, reálne, komplexné, vektorové, maticové a transfinitné čísla. Niektorí vedci navrhujú považovať funkcie za funkčné čísla a rozšíriť stupeň zovšeobecnenia čísel na dvanásť úrovní.

Pokúsim sa preštudovať všetky tieto sady čísel.

Aplikácia

POEM

„Sčítanie záporných čísel a čísel s rôzne znamenia»

Ak by ste chceli zložiť

Čísla sú záporné, nie je čo smútiť:

Potrebujeme rýchlo zistiť súčet modulov,

Potom vezmite znamienko mínus a pridajte ho k nemu.

Ak sú uvedené čísla s rôznymi znamienkami,

Aby sme našli ich súčet, sme tam všetci.

Väčší modul je rýchlo veľmi voliteľný.

Od neho odpočítame ten menší.

Najdôležitejšie je nezabudnúť na znamenie!

Ktorý si dáte? - chceme sa opýtať

Prezradíme vám tajomstvo, nie je to jednoduchšie,

Znamienko, kde je modul väčší, napíšte do odpovede.

Pravidlá sčítania kladných a záporných čísel

Pridajte mínus s mínusom,

Môžete dostať mínus.

Ak pridáte mínus, plus,

To sa ukáže ako trapas?!

Vyberte znamenie čísla

Čo je silnejšie, nezívajte!

Zoberte im moduly

Áno, zmierte sa so všetkými číslami!

Pravidlá násobenia možno interpretovať aj takto:

„Priateľ môjho priateľa je môj priateľ“: + ∙ + = + .

„Nepriateľ môjho nepriateľa je môj priateľ“: ─ ∙ ─ = +.

„Priateľ môjho nepriateľa je môj nepriateľ“: + ∙ ─ = ─.

„Nepriateľ môjho priateľa je môj nepriateľ“: ─ ∙ + = ─.

Znak násobenia je bodka, má tri znaky:

Dve z nich zakryte, tretia dá odpoveď.

Napríklad.

Ako určiť znamienko súčinu 2∙(-3)?

Zatvorme znamienka plus a mínus rukami. Je tam znamienko mínus

Bibliografia

„Príbeh staroveký svet“, 5. ročník. Kolpakov, Selunskaya.

"Dejiny matematiky v staroveku", E. Kolman.

„Príručka pre študentov“. Vydavateľstvo VES, Petrohrad. 2003

Veľká matematická encyklopédia. Yakusheva G.M. atď.

Vigasin A.A., Goder G.I., "História starovekého sveta", učebnica 5. ročníka, 2001

Wikipedia. Voľná ​​encyklopédia.

Vznik a rozvoj matematickej vedy: Kniha. Pre učiteľa. - M.: Osveta, 1987.

Gelfman E.G. "Pozitívne a záporné čísla", učebnica matematiky pre 6. ročník, 2001.

Hlava. vyd. M. D. Aksyonová. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. "História matematiky v škole", Moskva, "Prosveshchenie", 1981

Detská encyklopédia „Poznám svet“, Moskva, „Osvietenie“, 1995.

Dejiny matematiky v škole, IV-VI ročník. G.I. Glazer, Moskva, Vzdelávanie, 1981.

Moskva: Filol. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Matematický encyklopedický slovník. M., Sov. encyklopédia, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematická trieda 6", Moskva, "Osvietenie", 1989

Učebnica 5. ročník. Vilenkin, Žochov, Česnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M.. "Študujeme matematiku", vzdelávacie vydanie, 1994

napr. Gelfman a kol., Kladné a záporné čísla v divadle Pinocchio. Návod z matematiky pre 6. ročník. 3. vydanie, opravené, - Tomsk: Vydavateľstvo Tomská univerzita, 1998

Encyklopédia pre deti. T.11. Matematika