Harmonická séria- súčet tvorený nekonečným počtom členov inverzných k postupným číslam prirodzeného radu:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots ).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Číselný rad. Základné pojmy - bezbotvy

✪ Dôkaz divergencie harmonického radu

✪ Číselný rad-9. Konvergencia a divergencia Dirichletovho radu

✪ Konzultácia č.1. Mat. analýza. Fourierove rady v goniometrickom systéme. Najjednoduchšie vlastnosti

✪ PORADIE. Preskúmanie

titulky

Súčet prvých n členov radu

Jednotliví členovia série majú tendenciu k nule, ale ich súčet sa líši. N-tý čiastkový súčet sn harmonického radu je n-té harmonické číslo:

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))

Niektoré čiastkové hodnoty súčtu

s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle (\začiatok(1matica&=s_1) \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \cca &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\cca &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\cca &2(,)283\end(matica)))

s 6 = 49 20 = 2,45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ rix) 14,36 ≈ 14,36 ≈ 14.36 ≈ 14.36 ≈ 14.36. )(20)&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\približne &2(,)593\\\\s_ (8)& =&(\frac (761)(280))&\cca &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\cca &7(,)484\\\\s_( 10^(6) ))&\cca &14(,)393\end(matica)))

Eulerov vzorec

Keď hodnota ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0), teda pre veľké n (\displaystyle n):

s n ≈ ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle s_(n)\približne \ln(n)+\gamma )- Eulerov vzorec pre súčet prvého n (\displaystyle n)členov harmonického radu. Príklad použitia Eulerovho vzorca

n (\displaystyle n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma )	ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Presnejší asymptotický vzorec pre čiastočný súčet harmonického radu:

s n ≍ ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − 1 k ∞ B k = . 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\bodky =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), Kde B 2 k (\displaystyle B_(2k))- Bernoulliho čísla.

Tento rad sa líši, ale chyba v jeho výpočtoch nikdy nepresiahne polovicu prvého vyradeného termínu.

Číselno-teoretické vlastnosti parciálnych súčtov

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

Divergencia sérií

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty ) pri n → ∞ (\displaystyle n\rightarrow \infty )

Harmonický rad sa rozchádza veľmi pomaly (na to, aby čiastkový súčet presiahol 100, je potrebných asi 10 43 prvkov série).

Divergenciu harmonických sérií možno demonštrovať porovnaním s teleskopickou sériou:

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln ⁡ n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ left(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),

ktorých čiastkový súčet sa zjavne rovná:

∑ i = 1 n − 1 v i = ln ⁡ n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

Oresmeov dôkaz

Dôkaz divergencie možno zostaviť zoskupením pojmov takto:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(zarovnané)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\right]+\left[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\right]+\left[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\right]+\left[(\frac (1)(9))+\cdots \ right]+\cdots \\&()>1+\left[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\vpravo]+\vľavo[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\right]+\left[(\frac (1)(16))+\cdots \right]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\quad (\frac (1)(2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1)(2))\qquad \ \quad \ +\quad \ \ (\frac (1) )(2))\ \quad +\ \cdots .\end (zarovnané)))

Posledný rad sa očividne rozchádza. Tento dôkaz pochádza od stredovekého vedca Nicholasa Oresa (okolo roku 1350).

Alternatívny dôkaz odlišnosti

Pozývame čitateľa, aby si overil klamnosť tohto dôkazu

Rozdiel medzi n (\displaystyle n) harmonické číslo a prirodzený logaritmus n (\displaystyle n) konverguje k Eulerovej-Mascheroniho konštante.

Rozdiel medzi rôznymi harmonickými číslami sa nikdy nerovná celému číslu a žiadnemu harmonickému číslu okrem H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1), nie je celé číslo.

Súvisiaci seriál

séria Dirichlet

Zovšeobecnený harmonický rad (alebo Dirichletov rad) je rad

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha)))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha)))+\cdots).

Zovšeobecnený harmonický rad sa rozchádza pri α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1) a konverguje pri α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .

Súčet zovšeobecnených harmonických radov rádu α (\displaystyle \alpha ) rovná hodnote Riemannovej zeta funkcie:

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha ))

Pre párne čísla je táto hodnota jasne vyjadrená v pí, napr. ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))) a už pre α=3 je jeho hodnota analyticky neznáma.

Ďalšou ilustráciou divergencie harmonického radu môže byť vzťah ζ (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Preto hovoria, že takýto rad má pravdepodobnosť 1 a súčet radu je náhodná veličina so zaujímavými vlastnosťami. Napríklad funkcia hustoty pravdepodobnosti vypočítaná v bodoch +2 alebo -2 má hodnotu:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

líšiace sa od ⅛ o menej ako 10 -42.

„Preriedené“ harmonické série

Séria Kempner (Angličtina)

Ak vezmeme do úvahy harmonický rad, v ktorom ostali len členy, ktorých menovateľ neobsahoval číslo 9, potom sa ukáže, že zostávajúci súčet konverguje k číslu<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), za súčet „preriedeného“ radu sa berie čoraz menej výrazov. To znamená, že v konečnom dôsledku je prevažná väčšina členov tvoriacich súčet harmonického radu vyradená, aby sa neprekročila hranica geometrickej postupnosti zhora.

Nájdite súčet radu čísel. Ak ho nenájdete, systém vypočíta súčet série s určitou presnosťou.

Radová konvergencia

Táto kalkulačka dokáže určiť, či rad konverguje a tiež ukazuje, ktoré znaky konvergencie fungujú a ktoré nie.

Tiež vie, ako určiť konvergenciu mocninných radov.

Zostrojený je aj graf radu, kde môžete vidieť mieru konvergencie radu (alebo divergencie).

Pravidlá pre zadávanie výrazov a funkcií

Výrazy môžu pozostávať z funkcií (zápisy sú uvedené v abecednom poradí): absolútne (x) Absolútna hodnota X
(modul X alebo |x|) arccos(x) Funkcia - oblúk kosínus of X arccosh(x) Arc cosine hyperbolic from X arcsin(x) Arcsine z X arcsinh(x) Arcsine hyperbolický od X arctan(x) Funkcia - arkustangens of X arctgh(x) Arktangens hyperbolický od X e ečíslo, ktoré sa približne rovná 2,7 exp(x) Funkcia - exponent X(ako e^X) log(x) alebo ln(x) Prirodzený logaritmus X
(Získať log7(x), musíte zadať log(x)/log(7) (alebo napr log10(x)=log(x)/log(10)) piČíslo je "Pi", čo sa približne rovná 3,14 hriech(x) Funkcia - Sínus X cos(x) Funkcia - kosínus X sinh(x) Funkcia - Sínusová hyperbolická od X cosh(x) Funkcia - Kosínusová hyperbolická od X sqrt(x) Funkcia - druhá odmocnina z X sqr(x) alebo x^2 Funkcia - Štvorec X tan(x) Funkcia - dotyčnica od X tgh(x) Funkcia - Tangenta hyperbolická od X cbrt(x) Funkcia - odmocnina z X

Vo výrazoch možno použiť nasledujúce operácie: Reálne čísla zadajte ako 7.5 , Nie 7,5 2*x- násobenie 3/x- rozdelenie x^3- umocňovanie x+7- prídavok x - 6- odčítanie
Ďalšie vlastnosti: poschodie (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X nadol (príklad podlahy (4,5)==4,0) strop (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X nahor (príklad stropu(4,5)==5,0) znak (x) Funkcia - Sign X erf(x) Chybová funkcia (alebo integrál pravdepodobnosti) Laplace(x) Laplaceova funkcia

Tento článok poskytuje štruktúrované a podrobné informácie, ktoré môžu byť užitočné pri analýze cvičení a úloh. Pozrieme sa na tému číselných radov.

Tento článok začína základnými definíciami a pojmami. Ďalej použijeme štandardné možnosti a preštudujeme si základné vzorce. S cieľom konsolidovať materiál sú v článku uvedené základné príklady a úlohy.

Základné tézy

Najprv si predstavme systém: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , kde a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Vezmime si napríklad čísla ako: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Definícia 1

Číselný rad je súčet členov ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .

Pre lepšie pochopenie definície zvážte daný prípad, v ktorom q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Definícia 2

a k je všeobecný alebo k –thčlen série.

Vyzerá to asi takto - 16 · - 1 2 k.

Definícia 3

Čiastočný súčet série vyzerá asi takto S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , v ktorom n- ľubovoľné číslo. Sn je n-tý súčet série.

Napríklad ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k je S4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S1, S2,. . . , S n , . . . tvoria nekonečnú postupnosť čísel.

Za riadok n-tý súčet zistíme podľa vzorca S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. Používame nasledujúcu postupnosť čiastkových súčtov: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Definícia 4

Rad ∑ k = 1 ∞ a k je konvergentné keď postupnosť má konečnú limitu S = lim S n n → + ∞ . Ak limita neexistuje alebo postupnosť je nekonečná, potom sa rad ∑ k = 1 ∞ a k nazýva divergentný.

Definícia 5

Súčet konvergentných radov∑ k = 1 ∞ a k je limita postupnosti ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

V tomto príklade lim Sn n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, riadok ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k konverguje. Súčet je 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Príklad 1

Príkladom divergentného radu je súčet geometrickej progresie s menovateľom väčším ako jedna: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k-1.

N-tý čiastkový súčet je daný vzťahom S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 a limita čiastkových súčtov je nekonečná: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Ďalším príkladom divergentného číselného radu je súčet tvaru ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . V tomto prípade možno n-tý čiastkový súčet vypočítať ako Sn = 5n. Limita parciálnych súčtov je nekonečná lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Definícia 6

Súčet rovnakého tvaru ako ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Toto harmonickýčíselný rad.

Definícia 7

Súčet ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Kde s– reálne číslo, je zovšeobecnený harmonický číselný rad.

Vyššie uvedené definície vám pomôžu vyriešiť väčšinu príkladov a problémov.

Na doplnenie definícií je potrebné dokázať určité rovnice.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergentné.

Používame opačnú metódu. Ak konverguje, potom je limita konečná. Rovnicu môžeme zapísať ako lim n → + ∞ S n = S a lim n → + ∞ S 2 n = S . Po určitých akciách dostaneme rovnosť l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

proti,

S2n - Sn = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n

Platia nasledujúce nerovnosti: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . 12n-1 > 12n. Dostaneme, že S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 12 n = n2 n = 12. Výraz S 2 n - S n > 1 2 naznačuje, že lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 sa nedosiahne. Séria je divergentná.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 +. . . + b1qn+. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Je potrebné potvrdiť, že súčet postupnosti čísel konverguje v q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Podľa vyššie uvedených definícií suma nčleny sa určuje podľa vzorca S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Ak q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Dokázali sme, že číselný rad konverguje.

Pre q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Súčty možno nájsť pomocou vzorca S n = b 1 · n, limita je nekonečná lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. V prezentovanej verzii sa séria líši.

Ak q = -1, potom séria vyzerá ako b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Čiastkové súčty vyzerajú ako S n = b 1 pre nepárne n a Sn = 0 pre párne n. Po zvážení tohto prípadu sa uistíme, že neexistuje žiadny limit a séria je divergentná.

Pre q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Dokázali sme, že číselný rad sa rozchádza.

1. Rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje, ak s > 1 a diverguje, ak s ≤ 1.

Pre s = 1 dostaneme ∑ k = 1 ∞ 1 k , rad diverguje.

Keď s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,prirodzené číslo. Keďže rad je divergentný ∑ k = 1 ∞ 1 k , neexistuje žiadna limita. Následne je postupnosť ∑ k = 1 ∞ 1 k s neobmedzená. Dospeli sme k záveru, že vybraný rad sa rozchádza, keď s< 1 .

Je potrebné preukázať, že rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje pre s > 1.

Predstavme si S 2 n - 1 - S n - 1:

S2n-1-Sn-1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s

Predpokladajme, že 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Predstavme si rovnicu pre čísla, ktoré sú prirodzené a párne n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Dostaneme:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 115 s + . . . = = 1 + S3 - S1 + S7 - S3 + S15 + S7+. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Výraz je 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . je súčet geometrickej postupnosti q = 1 2 s - 1. Podľa prvotných údajov na s > 1, potom 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zvyšuje a je limitovaný zhora 1 1 - 1 2 s - 1 . Predstavme si, že existuje limita a rad je konvergentný ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Definícia 8

Rad ∑ k = 1 ∞ a k je v tomto prípade pozitívny, ak jeho členy > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Séria ∑ k = 1 ∞ b k striedanie signálov, ak sú znamienka čísel odlišné. Tento príklad je prezentovaný ako ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k alebo ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · ak, kde a k > 0, k = 1, 2,. . . .

Séria ∑ k = 1 ∞ b k striedavý, pretože obsahuje veľa čísel, záporných aj kladných.

Druhá séria možností je špeciálnym prípadom tretej možnosti.

Tu sú príklady pre každý prípad:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Pre tretiu možnosť môžete určiť aj absolútnu a podmienenú konvergenciu.

Definícia 9

Striedavý rad ∑ k = 1 ∞ b k je absolútne konvergentný v prípade, keď sa ∑ k = 1 ∞ b k považuje aj za konvergentný.

Pozrime sa podrobne na niekoľko typických možností.

Príklad 2

Ak sú riadky 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . a 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . sú definované ako konvergentné, potom je správne predpokladať, že 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Definícia 10

Striedavý rad ∑ k = 1 ∞ b k sa považuje za podmienene konvergentný, ak ∑ k = 1 ∞ b k je divergentný a rad ∑ k = 1 ∞ b k sa považuje za konvergentný.

Príklad 3

Preskúmajme podrobne možnosť ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Séria ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , ktorá pozostáva z absolútne hodnoty, je definovaný ako divergentný. Táto možnosť sa považuje za konvergentnú, pretože je ľahké ju určiť. Z tohto príkladu sa dozvieme, že rad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . budú považované za podmienene konvergentné.

Vlastnosti konvergentných radov

Poďme analyzovať vlastnosti pre určité prípady

1. Ak ∑ k = 1 ∞ a k konverguje, potom rad ∑ k = m + 1 ∞ a k sa tiež považuje za konvergentný. Možno poznamenať, že riadok bez m termíny sa tiež považujú za konvergentné. Ak k ∑ k = m + 1 ∞ a k pripočítame niekoľko čísel, potom bude aj výsledný výsledok konvergentný.
2. Ak ∑ k = 1 ∞ a k konverguje a súčet = S, potom konverguje aj rad ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S, kde A- konštantný.
3. Ak ∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ b k sú konvergentné, súčty A A B potom tiež konvergujú rady ∑ k = 1 ∞ a k + b k a ∑ k = 1 ∞ a k - b k. Sumy budú rovnaké A+B A A – B resp.

Príklad 4

Určite, že rad konverguje ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Zmeňme výraz ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sa považuje za konvergentný, pretože rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje, keď s > 1. Podľa druhej vlastnosti ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Príklad 5

Určte, či rad ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 konverguje.

Transformujme pôvodnú verziu ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n 2 ∞ .

Dostaneme súčet ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 a ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Každý rad sa považuje za konvergentný podľa vlastnosti. Takže ako sa séria zbližuje, zbieha sa aj pôvodná verzia.

Príklad 6

Vypočítajte, či rad 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konverguje. . . a vypočítajte sumu.

Rozšírime pôvodnú verziu:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Každý rad konverguje, pretože je jedným z členov číselnej postupnosti. Podľa tretej vlastnosti vieme vypočítať, že aj pôvodná verzia je konvergentná. Vypočítame súčet: Prvý člen radu ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 a menovateľ = 0. 5, potom nasleduje ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Prvý člen je ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 a menovateľ zostupnej postupnosti čísel = 1 3 . Dostaneme: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Vyššie získané výrazy použijeme na určenie súčtu 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Nevyhnutná podmienka na určenie, či je rad konvergentný

Definícia 11

Ak je rad ∑ k = 1 ∞ a k konvergentný, potom jeho limita kthčlen = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ak zaškrtneme akúkoľvek možnosť, nesmieme zabudnúť na nepostrádateľnú podmienku. Ak nie je splnená, séria sa rozchádza. Ak lim k → + ∞ a k ≠ 0, potom je rad divergentný.

Malo by sa objasniť, že podmienka je dôležitá, ale nie dostatočná. Ak platí rovnosť lim k → + ∞ a k = 0, potom to nezaručuje, že ∑ k = 1 ∞ a k je konvergentné.

Uveďme si príklad. Pre harmonický rad ∑ k = 1 ∞ 1 k je podmienka splnená lim k → + ∞ 1 k = 0 , ale rad stále diverguje.

Príklad 7

Určte konvergenciu ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Skontrolujme pôvodný výraz na splnenie podmienky lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Limit n-týčlen sa nerovná 0. Dokázali sme, že táto séria sa líši.

Ako určiť konvergenciu kladného radu.

Ak neustále používate tieto charakteristiky, budete musieť neustále počítať limity. Táto sekcia vám pomôže vyhnúť sa ťažkostiam pri riešení príkladov a problémov. Aby bolo možné určiť konvergenciu kladného radu, existuje určitá podmienka.

Pre konvergenciu kladného znamienka ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . je potrebné určiť obmedzenú postupnosť súm.

Ako porovnávať série

Existuje niekoľko znakov porovnávania sérií. Porovnáme rad, ktorého konvergenciu navrhujeme určiť, s radom, ktorého konvergencia je známa.

Prvý znak

∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ b k sú série kladných znamienok. Nerovnosť a k ≤ b k platí pre k = 1, 2, 3, ... Z toho vyplýva, že z radu ∑ k = 1 ∞ b k môžeme získať ∑ k = 1 ∞ a k . Keďže ∑ k = 1 ∞ a k je divergentné, rad ∑ k = 1 ∞ b k možno definovať ako divergentný.

Toto pravidlo sa neustále používa na riešenie rovníc a je vážnym argumentom, ktorý pomôže určiť konvergenciu. Problém môže spočívať v tom, že nie v každom prípade je možné nájsť vhodný príklad na porovnanie. Pomerne často sa séria vyberá podľa princípu, že indikátor kthčlen sa bude rovnať výsledku odčítania exponentov čitateľa a menovateľa kthčlen série. Predpokladajme, že a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , rozdiel sa bude rovnať 2 – 3 = - 1 . V tomto prípade môžeme určiť, že na porovnanie série s k-týčlen b k = k - 1 = 1 k , ktorý je harmonický.

Na konsolidáciu získaného materiálu podrobne zvážime niekoľko typických možností.

Príklad 8

Určte, čo je rad ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.

Keďže limit = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 , urobili sme nevyhnutná podmienka. Nerovnosť bude spravodlivá 1 k< 1 k - 1 2 для k, ktoré sú prirodzené. Z predchádzajúcich odsekov sme sa dozvedeli, že harmonický rad ∑ k = 1 ∞ 1 k je divergentný. Podľa prvého kritéria je možné preukázať, že pôvodná verzia je divergentná.

Príklad 9

Určte, či je rad konvergentný alebo divergentný ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

V tomto príklade je nevyhnutná podmienka splnená, pretože lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Predstavujeme to ako nerovnosť 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 je konvergentný, pretože harmonický rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje pre s > 1. Podľa prvého kritéria môžeme konštatovať, že číselný rad je konvergentný.

Príklad 10

Určte, čo je rad ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

V tejto voľbe môžete označiť splnenie požadovanej podmienky. Definujme sériu na porovnanie. Napríklad ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Ak chcete určiť, aký je stupeň, zvážte postupnosť (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Členovia postupnosti ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . zvyšuje do nekonečna. Po analýze rovnice si môžeme všimnúť, že ak vezmeme hodnotu N = 1619, potom členy sekvencie > 2. Pre túto postupnosť bude platiť nerovnosť 1 k ln (ln k).< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Druhé znamenie

Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ b k sú kladné číselné rady.

Ak lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , potom rad ∑ k = 1 ∞ b k konverguje a ∑ k = 1 ∞ ak tiež konverguje.

Ak lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, potom keďže rad ∑ k = 1 ∞ b k diverguje, potom diverguje aj ∑ k = 1 ∞ a k.

Ak lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ a lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, potom konvergencia alebo divergencia radu znamená konvergenciu alebo divergenciu iného.

Uvažujme ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 pomocou druhého znamienka. Na porovnanie ∑ k = 1 ∞ b k vezmeme konvergentný rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Definujme limitu: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Podľa druhého kritéria možno určiť, že konvergentný rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 znamená, že konverguje aj pôvodná verzia.

Príklad 11

Určte, čo je rad ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.

Analyzujme potrebnú podmienku lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, ktorá je v tejto verzii splnená. Podľa druhého kritéria vezmite rad ∑ k = 1 ∞ 1 k . Hľadáme limitu: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Podľa vyššie uvedených téz divergentná séria znamená divergenciu pôvodnej série.

Tretie znamenie

Uvažujme o treťom znaku porovnania.

Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k a _ ∑ k = 1 ∞ b k sú kladné číselné rady. Ak je podmienka splnená pre určité číslo a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , potom konvergencia tohto radu ∑ k = 1 ∞ b k znamená, že rad ∑ k = 1 ∞ a k je tiež konvergentný. Divergentný rad ∑ k = 1 ∞ a k znamená divergenciu ∑ k = 1 ∞ b k .

D'Alembertov znak

Predstavme si, že ∑ k = 1 ∞ a k je kladný číselný rad. Ak lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, potom divergentná.

Poznámka 1

D'Alembertov test je platný, ak je limit nekonečný.

Ak lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , potom je rad konvergentný, ak lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , potom je divergentný.

Ak lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, potom d'Alembertov príznak nepomôže a bude potrebných niekoľko ďalších štúdií.

Príklad 12

Určte, či je rad konvergentný alebo divergentný ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k pomocou d’Alembertovho testu.

Je potrebné skontrolovať, či je splnená potrebná podmienka konvergencie. Vypočítajme limit pomocou L'Hopitalovho pravidla: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Vidíme, že podmienka je splnená. Použime d'Alembertov test: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Séria je konvergentná.

Príklad 13

Určite, či je rad divergentný ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Na určenie divergencie radu použijeme d'Alembertov test: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Preto je séria divergentná.

Radikálne Cauchyho znamenie

Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k je rad s kladným znamienkom. Ak lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, potom divergentná.

Poznámka 2

Ak lim k → + ∞ a k k = 1, potom toto znamienko neposkytuje žiadnu informáciu – je potrebná ďalšia analýza.

Túto funkciu možno použiť v príkladoch, ktoré sa dajú ľahko identifikovať. Typický prípad bude, keď je členom číselného radu exponenciálny mocninný výraz.

Aby sme upevnili prijaté informácie, zvážme niekoľko typických príkladov.

Príklad 14

Určite, či je rad kladných znamienok ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k konvergentný.

Nevyhnutná podmienka sa považuje za splnené, keďže lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Podľa vyššie uvedeného kritéria dostaneme lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Príklad 15

Konverguje číselný rad ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2?

Používame funkciu opísanú v predchádzajúcom odseku lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integrálny Cauchyho test

Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k je rad s kladným znamienkom. Je potrebné označiť funkciu spojitého argumentu y = f(x), ktorý sa zhoduje s a n = f (n) . Ak y = f(x) väčší ako nula, nie je prerušený a klesá o [ a ; + ∞), kde a ≥ 1

Potom v prípade nesprávny integrál∫ a + ∞ f (x) d x je konvergentné, potom je uvažovaný rad tiež konvergentný. Ak sa rozchádza, potom sa v uvažovanom príklade séria tiež rozchádza.

Pri kontrole, či funkcia klesá, môžete použiť látku z predchádzajúcich lekcií.

Príklad 16

Uvažujme príklad ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k pre konvergenciu.

Podmienka konvergencie radu sa považuje za splnenú, keďže lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Uvažujme y = 1 x ln x. Je väčší ako nula, nie je prerušovaný a klesá o [ 2 ; + ∞). Prvé dva body sú s určitosťou známe, ale tretí by sa mal rozobrať podrobnejšie. Nájdite deriváciu: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Je to menej ako nula na [ 2 ; + ∞). To dokazuje tézu, že funkcia je klesajúca.

V skutočnosti funkcia y = 1 x ln x zodpovedá charakteristike princípu, ktorý sme uvažovali vyššie. Využime to: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Podľa získaných výsledkov pôvodný príklad diverguje, keďže nevlastný integrál je divergentný.

Príklad 17

Dokážte konvergenciu radu ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Keďže lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, potom sa podmienka považuje za splnenú.

Počnúc k = 4, správny výraz je 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ak rad ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 považujeme za konvergentný, potom podľa jedného z princípov porovnávania rad ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 sa bude tiež považovať za konvergentné. Takto môžeme určiť, že pôvodný výraz je tiež konvergentný.

Prejdime k dôkazu: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Keďže funkcia y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 je väčšia ako nula, nie je prerušená a klesá o [ 4 ; + ∞). Používame funkciu opísanú v predchádzajúcom odseku:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = limit A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

Vo výslednom konvergentnom rade ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 môžeme určiť, že ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 tiež konverguje.

Raabeho znamenie

Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k je kladný číselný rad.

Ak lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, potom konverguje.

Táto metóda stanovenia sa môže použiť, ak vyššie opísané techniky nedávajú viditeľné výsledky.

Štúdia absolútnej konvergencie

Pre štúdiu berieme ∑ k = 1 ∞ b k . Používame kladné znamienko ∑ k = 1 ∞ b k . Môžeme použiť ktorúkoľvek z vhodných funkcií, ktoré sme opísali vyššie. Ak rad ∑ k = 1 ∞ b k konverguje, potom pôvodný rad je absolútne konvergentný.

Príklad 18

Preskúmajte rad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 pre konvergenciu ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k-1.

Podmienka je splnená lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Použijeme ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 a použijeme druhé znamienko: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Rad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konverguje. Pôvodná séria je tiež absolútne konvergentná.

Divergencia striedavých sérií

Ak je rad ∑ k = 1 ∞ b k divergentný, potom zodpovedajúci striedavý rad ∑ k = 1 ∞ b k je divergentný alebo podmienene konvergentný.

Iba d'Alembertov test a Cauchyho radikálny test pomôžu vyvodiť závery o ∑ k = 1 ∞ b k z divergencie od modulov ∑ k = 1 ∞ b k . Rad ∑ k = 1 ∞ b k diverguje aj vtedy, ak nie je splnená potrebná podmienka konvergencie, teda ak lim k → ∞ + b k ≠ 0.

Príklad 19

Skontrolujte divergenciu 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

modul kthčlen je reprezentovaný ako b k = k ! 7 k.

Preskúmajme rad ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k pre konvergenciu pomocou d'Alembertovho kritéria: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 tisíc + 1 tisíc! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k sa líši rovnakým spôsobom ako pôvodná verzia.

Príklad 20

Je ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergentné.

Uvažujme nevyhnutnú podmienku lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Podmienka nie je splnená, preto ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) rad je divergentný. Limit bol vypočítaný pomocou L'Hopitalovho pravidla.

Kritériá podmienenej konvergencie

Leibnizov test

Definícia 12

Ak sa hodnoty členov striedavého radu znížia b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . a limit modulu = 0 ako k → + ∞, potom rad ∑ k = 1 ∞ b k konverguje.

Príklad 17

Uvažujme ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) pre konvergenciu.

Séria je reprezentovaná ako ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Nevyhnutná podmienka je splnená: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Uvažujme ∑ k = 1 ∞ 1 k podľa druhého porovnávacieho kritéria lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Zistíme, že ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) diverguje. Séria ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konverguje podľa Leibnizovho kritéria: postupnosť 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​​​+ 1) = 5 30, 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1, . . . klesá a lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Séria podmienene konverguje.

Abel-Dirichletov test

Definícia 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konverguje, ak ( u k ) nerastie a postupnosť ∑ k = 1 + ∞ v k je ohraničená.

Príklad 17

Preskúmajte 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . pre konvergenciu.

Predstavme si

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

kde (uk) = 1, 1 2, 1 3,. . . je nerastúca a postupnosť (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . obmedzený (Sk) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . Séria sa zbližuje.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Existuje niekoľko spôsobov, ako skontrolovať konvergenciu radu. Po prvé, môžete jednoducho nájsť súčet série. Ak vo výsledku dostaneme konečné číslo, potom toto rad konverguje. Napríklad preto

potom rad konverguje. Ak sa nám nepodarilo nájsť súčet radu, mali by sme použiť iné metódy na kontrolu konvergencie radu.

Jednou z takýchto metód je d'Alembertov znak

tu sú n-tý a (n+1)-tý člen radu a konvergencia je určená hodnotou D: Ak D< 1 - ряд сходится, если D >

Ako príklad študujeme konvergenciu radu pomocou d'Alembertovho testu. Najprv si napíšme výrazy pre a . Teraz nájdime zodpovedajúci limit:

Keďže v súlade s d'Alembertovým testom rad konverguje.

Ďalšou metódou na kontrolu konvergencie radu je radikálne Cauchyho znamenie, ktorý je napísaný takto:

tu je n-tý člen radu a konvergencia, ako v prípade d'Alembertovho testu, je určená hodnotou D: Ak D< 1 - ряд сходится, если D >1 - rozchádza sa. Keď D = 1, tento znak neposkytuje odpoveď a je potrebné vykonať ďalší výskum.

Ako príklad študujeme konvergenciu radu pomocou radikálneho Cauchyho testu. Najprv si napíšme výraz pre . Teraz nájdime zodpovedajúci limit:

Keďže title="15625/64>1"> , v súlade s radikálnym Cauchyho testom sa séria rozchádza.

Stojí za zmienku, že popri tých, ktoré sú uvedené, existujú aj ďalšie znaky konvergencie sérií, ako napríklad integrálny Cauchyho test, Raabeho test atď.

Naša online kalkulačka, postavená na základe systému Wolfram Alpha, vám umožňuje testovať konvergenciu radu. Okrem toho, ak kalkulačka vygeneruje konkrétne číslo ako súčet radu, potom séria konverguje. V opačnom prípade musíte venovať pozornosť položke „Test konvergencie série“. Ak je prítomná fráza „séria konverguje“, potom séria konverguje. Ak je prítomná fráza „séria sa líši“, potom sa séria líši.

Nižšie je uvedený preklad všetkých možných významov položky „Test konvergencie série“:

Text na anglický jazyk	Text v ruštine
Testom harmonických sérií sa séria rozchádza.	Pri porovnaní skúmanej série s harmonickou sériou sa pôvodná séria rozchádza.
Pomerový test zahŕňa.	D'Alembertov test nemôže dať odpoveď o konvergencii radu.
Koreňový test je zahrnutý.	Radikálny Cauchyho test nemôže dať odpoveď na konvergenciu radu.
Porovnávacím testom rad konverguje.	Na porovnanie, rad konverguje
Pomerovým testom rad konverguje.	Podľa d'Alembertovho testu séria konverguje
Limitným testom sa séria rozchádza.	Na základe skutočnosti, že title="Hranica n-tého člena radu pre n->oo nie je rovná nule alebo neexistuje">, alebo špecifikovaná hranica neexistuje, dôjde sa k záveru, že séria sa rozchádza.