Arv, kõige olulisem matemaatiline mõiste. Olles oma lihtsaimal kujul tekkinud primitiivses ühiskonnas, on arvu mõiste sajandite jooksul muutunud, rikastades end järk-järgult sisuga koos inimtegevuse ulatuse ja sellega seotud probleemide ringi laienemisega, mis nõuab kvantitatiivset kirjeldust ja uurimist. Arengu esimestel etappidel määrasid arvu mõiste loendamise ja mõõtmise vajadused, mis tekkisid inimese otseses praktilises tegevuses. Siis saab arvust matemaatika põhimõiste ja edasine areng arvu mõiste on määratud selle teaduse vajadustega.

Naturaalarvu mõiste, mille põhjustas vajadus objekte lugeda, tekkis eelajaloolistel aegadel. Naturaalarvu mõiste moodustamise protsess kulges üldjoontes järgmiselt. Primitiivse ühiskonna madalaimal tasemel abstraktse arvu mõiste puudus. See ei tähenda, et ürginimene ei võiks olla teadlik antud komplektis olevate objektide arvust, näiteks jahil osalevate inimeste arvust, järvede arvust, kus saab kala püüda jne. Kuid ürginimese teadvuses ei ole seda tüüpi objektides, nagu näiteks "kolm inimest", "kolm järve" jne, veel välja kujunenud see tavaline asi, mis eksisteerib. Primitiivsete rahvaste keelte analüüs näitab, et erinevat tüüpi objektide loendamiseks kasutati erinevaid verbaalseid väljendeid. Sõna "kolm" kontekstides "kolm inimest", "kolm paati" kanti edasi erinevalt. Muidugi sellise nimega numbriseeria olid väga lühikesed ja lõppesid mõistega ("palju") suure hulga teatud objektide kohta, mida ka nimetati, st väljendati erinevate sõnadega objektide kohta erinevat tüüpi, nagu "rahvahulk", "kari", "hunnik" jne. jne.

Abstraktse arvu kontseptsiooni tekkimise allikas on objektide primitiivne loendamine, mis seisneb antud konkreetse hulga objektide võrdlemises teatud kindla hulga objektidega, mis mängib justkui mingi kindla hulga objektidega. standard. Enamiku rahvaste jaoks on esimene selline standard sõrmed (“sõrmedel loendamine”), mida kahtlemata kinnitab ka esimeste numbrite nimede keeleline analüüs. Selles etapis muutub arv abstraktseks, sõltumata loendatavate objektide kvaliteedist, kuid toimib samal ajal väga spetsiifilises teostuses, mis on seotud võrdluskomplekti olemusega. Kasvav loendusvajadus sundis inimesi kasutama muid loendamisstandardeid, nagu näiteks sälgud pulgal. Suhteliselt suure arvu parandamiseks hakati kasutama uus idee- mõne konkreetse numbri (enamiku rahvaste jaoks - kümme) tähistamine uue märgiga, näiteks sälk teisel pulgal.

Kirjutamise arenguga on numbrite taasesitamise võimalused oluliselt avardunud. Algul hakati salvestamiseks kasutatud materjalil (papüürus, savitahvlid jne) numbreid tähistama kriipsudega. Siis võeti kasutusele teised märgid suurte numbrite jaoks. Arvu babüloonia kiilkirjatähised, aga ka tänapäevani säilinud "rooma numbrid" viitavad selgelt sellele numbri tähistuse moodustamise viisile. Samm edasi oli India positsiooninumbrite süsteem, mis võimaldab kirjutada mis tahes naturaalarvu, kasutades kümmet numbrit - numbrit. Seega fikseeritakse paralleelselt kirjutamise arenguga naturaalarvu mõiste sõnade kujul (suulises kõnes) ja erimärkidega tähistamise vormis (kirjas).

Naturaalarvu kontseptsiooni arenedes objektide loendamise tulemusena tulevad kasutusele arvudega tehtavad toimingud. Liitmise ja lahutamise toimingud tekivad esmalt kogumite endaga kahe kogumi ühendamise ja kogumi osa eraldamise näol. Ilmselt tekkis korrutamine võrdsetes osades (kaks, kolm jne) loendamise tulemusena, jagamine - kogusumma võrdseteks osadeks jagamisel. Vaid sajanditepikkune kogemus on kujundanud ettekujutuse nende toimingute abstraktsest olemusest, tegevuse kvantitatiivse tulemuse sõltumatusest agregaadi moodustavate objektide olemusest, et näiteks kaks objekti ja kolm objekti. moodustavad viis objekti, olenemata nende objektide olemusest. Siis hakkasid nad välja töötama tegevusreegleid, uurima nende omadusi, looma probleemide lahendamise meetodeid, see tähendab arvuteaduse areng - algab aritmeetika. Esiteks areneb aritmeetika kui teadmiste süsteem, millel on vahetult rakendatav orientatsioon. Kuid aritmeetika arendamise protsessis on vaja uurida arvude omadusi kui selliseid, et mõista nende suhetes tegevuste olemasolu tõttu üha keerukamaid mustreid. Algab naturaalarvu mõiste detailiseerimine, eristatakse paaris- ja paarituarvude klasse, alg- ja liitarvu jne. Sügavate mustrite uurimine naturaalsetes arvude jadades jätkub ja moodustab matemaatika haru, mida nimetatakse arvuteooriaks.

Naturaalarvudel on lisaks põhifunktsioonile – objektide arvu tunnustele – veel üks funktsioon – ritta paigutatud objektide järjestuse tunnus. Selle funktsiooniga seoses tekkiv järgarvu (esimene, teine ​​jne) mõiste on tihedalt põimunud kardinaalarvu (üks, kaks jne) mõistega. Eelkõige on loendatavate objektide ritta paigutamine ja nende hilisem ümberarvutamine järgarvude abil olnud kõige levinum viis objektide loendamiseks juba ammusest ajast (näiteks kui loendatud objektidest viimane osutub seitsmendaks, siis see tähendab, et objekte on seitse).

Naturaalarvu mõiste põhjendamise küsimus pikka aega teadusesse ei panda. Naturaalarvu mõiste on nii tuttav ja lihtne, et seda polnud vaja enam defineerida lihtsad mõisted. Alles 19. sajandi keskel. ühelt poolt matemaatika aksiomaatilise meetodi väljatöötamise ja teiselt poolt matemaatilise analüüsi aluste kriitilise läbivaatamise mõjul on tekkinud vajadus kvantitatiivse naturaalarvu mõiste põhjendamise järele. Naturaalarvu mõiste selge definitsioon hulga mõiste põhjal anti 70ndatel. 19. sajand G. Kantori töödes. Esiteks defineerib ta hulkade samaväärsuse mõiste. Nimelt öeldakse, et kaks kollektsiooni on samaväärsed, kui neid moodustavaid objekte saab ükshaaval võrrelda. Seejärel määratletakse antud komplekti moodustavate objektide arv kui ühine asi, mis sellel hulgal on ühist mis tahes muu sellega samaväärse objektide komplektiga, sõltumata nende objektide kvalitatiivsetest tunnustest. Selline määratlus peegeldab naturaalarvu olemust antud hulga moodustavate objektide loendamise tulemusena. Tõepoolest, kõigil ajaloolistel tasanditel seisneb loendamine selles, et võrreldakse ükshaaval loendatavaid objekte ja objekte, mis moodustavad "võrdluskomplekti" (varajases staadiumis - sõrmed ja sälgud pulgal jne, praeguses etapis - numbreid tähistavad sõnad ja märgid). Cantori antud määratlus oli lähtepunktiks suuruste mõiste üldistamisel. Arv lõpmatute hulkade kvantitatiivsete karakteristikute suunas.

Teine naturaalarvu kontseptsiooni õigustus põhineb järjestusseose analüüsil, mida, nagu selgub, on võimalik aksiomatiseerida. Sellel põhimõttel üles ehitatud aksioomide süsteemi sõnastas G. Peano.

Negatiivsete arvude kasutuselevõtu põhjustas paratamatult algebra kui teaduse areng, mis pakub aritmeetiliste ülesannete lahendamiseks üldisi meetodeid, sõltumata nende konkreetsest sisust ja esialgsetest arvandmetest. Vajadus sisestada algebrasse negatiivne arv tekib juba siis, kui lahendatakse ülesandeid, mis taanduvad ühe tundmatuga lineaarvõrranditeks. Seda tüüpi ülesannete võimalikku negatiivset vastust saab tõlgendada näidete abil kõige lihtsamatest suunatud suurustest (näiteks vastassuunalised segmendid, liikumine valitud suunas vastupidises suunas jne). Ülesannetes, mis toovad kaasa liitmise ja lahutamise operatsioonide korduva rakendamise, et lahendada ilma negatiivse arvu abita, tuleb arvestada väga paljude juhtumitega; see võib olla nii tülikas, et kaotab ülesande algebralise lahenduse eelise aritmeetilise lahenduse ees. Seega on algebraliste meetodite laialdane kasutamine ülesannete lahendamisel ilma negatiivset arvu kasutamata väga keeruline. Indias veel 6.-11.saj. negatiivsed arvud rakendati süstemaatiliselt probleemide lahendamisel ja tõlgendati põhimõtteliselt samamoodi nagu praegu.

Euroopa teaduses tulid negatiivsed arvud lõpuks kasutusele alles R. Descartes’i ajast, kes andis negatiivse arvu geomeetrilise tõlgenduse suunatud segmentidena. Descartes'i analüütilise geomeetria loomine, mis võimaldas käsitleda võrrandi juuri kui teatud kõvera lõikepunktide koordinaate abstsissteljega, kustutas lõpuks põhimõttelise erinevuse võrrandi positiivsete ja negatiivsete juurte vahel. , osutus nende tõlgendus sisuliselt samaks.

Arvukontseptsiooni väljatöötamise viimane etapp on kompleksarvude kasutuselevõtt. Kompleksarvu mõiste sai alguse algebra arengust. Ilmselt tekkis kompleksarvu idee esmakordselt 16. sajandi Itaalia matemaatikute seas. (G. Cardano, R. Bombelli) seoses kolmanda ja neljanda astme võrrandite algebralise lahendi avastamisega. On teada, et isegi ruutvõrrandi lahendamine viib mõnikord negatiivse arvu ruutjuure võtmiseni, mis reaalarvu piirkonnas on võimatu. Kuid see juhtub ainult siis, kui võrrandil pole tegelikke juuri. Praktilisel probleemil, mis viib sellise ruutvõrrandi lahendamiseni, pole lahendust. Kolmanda astme võrrandite algebralise lahenduse avastamisega avastati järgmine asjaolu. Lihtsalt juhul, kui võrrandi kõik kolm juurt on reaalarvud, selgub arvutamise käigus, et on vaja teha negatiivsetest arvudest ruutjuure eraldamine. Sel juhul tekkiv "kujuteldav" kaob alles pärast kõigi järgnevate toimingute tegemist. See asjaolu oli esimene stiimul kompleksarvude arvestamiseks. Kuid kompleksarvud ja nendega seotud tegevusi matemaatikute tegevusse peaaegu ei juurdunud. Usaldamatuse jäänused nende kasutamise reeglipärasuse vastu peegelduvad tänapäevani säilinud mõistes “imaginaarne” arv. See umbusaldus hajus alles pärast kehtestamist 18. sajandi lõpus. kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine tasapinna punktide kujul ja kompleksarvude algebraliste võrrandite teooriasse sisseviimise vaieldamatute eeliste kindlakstegemine, eriti pärast K. Gaussi kuulsaid töid. Juba enne Gaussi hakkasid L. Euleri töödes kompleksarvud mängima olulist rolli mitte ainult algebras, vaid ka matemaatilises analüüsis. See roll muutus erakordselt suureks 19. sajandil. seoses kompleksmuutuja funktsioonide teooria väljatöötamisega.

Koos arvu mõiste arengu põhijoonega (naturaalarvud; ratsionaalarvud; reaalarvud; kompleksarvud) on matemaatika teatud valdkondade spetsiifilised vajadused põhjustanud arvu mõiste erinevaid üldistusi oluliselt erinevates suundades.

Seega on hulgateooriaga seotud matemaatikaharudes oluline roll eelpool mainitud kardinaal- ja järgarvude piiriüleste arvude mõistel. Kaasaegses teoorias on numbrid omandanud suure tähtsuse. Algebras uuritakse erinevaid objektide süsteeme, mille omadused on enam-vähem lähedased täisarvude või ratsionaalsete arvude kogumi omadustele - rühmad, rõngad, väljad, algebrad.

Numbrite “salvestamine” sälkude või sõlmede abil ei olnud eriti mugav, sest suurte arvude kirjutamiseks tuli teha palju sälkusid või sõlmi, mis tegi keeruliseks mitte ainult kirjutamise, vaid ka numbrite omavahelise võrdlemise, see oli ka numbritega tehteid on raske teha. Seetõttu tekkisid teised, säästlikumad numbrite kirjutamise viisid: nad hakkasid loendama rühmadesse, mis koosnesid samast arvust elementidest. Sellele aitas kaasa sõrmede ja varvaste abil loendamise areng. Inimese üleminek sõrmelugemisele viis erinevate arvusüsteemide loomiseni: viis, kümnend, vigesimaalne jne.

Üldiselt peetakse vanimat arvusüsteemi kahendarvuks. See tekkis siis, kui inimene pidas loendust mitte sõrmedel, vaid käte abil, st kui madalaima kategooria ühikuks oli üks käsi ja kõrgeima kategooria ühikuks kaks kätt. Jäljed sellest süsteemist on säilinud tänapäevani – need väljenduvad soovis loendada paarikaupa.

Järk-järgult, kasvavate majanduslike vajaduste mõjul, lõi inimkond loendusmeetodid. See protsess oli spontaanne ja pikk. See sai alguse iidsetest aegadest, kui inimesed töötasid välja esimesed matemaatilised mõisted, eelkõige naturaalarvu ja loendamise mõisted.

Nende edasine areng toimus kujunemise ajastul iidsed osariigid- Babülon, Egiptus, Hiina jne, see tähendab umbes viis tuhat aastat tagasi. Sel perioodil loodi uusi arvude kirjutamise viise.

Muistses Babüloonias loendati neid kuuekümneliikmelistes rühmades, see tähendab, et siinne arvusüsteem oli seksagesimaalne. Näiteks kujutas Babüloonia matemaatik ette numbrit 137 järgmiselt: 137 \u003d 2-60 + 17. Loomulikult oli see number kirjutatud teistes märkides - kolmnurksete kiiludega. Fakt on see, et muistsed babüloonlased tegid savitahvlitele salvestusi, pigistades neist kolmnurkseid kiile. Seejärel need tabletid kuivatati ja põletati.

Numbrite salvestamiseks kasutati kiilu asukohti: vertikaalne - ots all ja horisontaalne - ots vasakule. Samas tähendas märk ühte ja kuutkümmend, märk “- kümme. Teisi numbreid kujutati nende märkide ja liitmisoperatsiooni abil. Näiteks numbrit 5 kujutati nii: ja numbrit 137 nii:. Arvu viimane rekord kuuekümnendsüsteemis: 60+60+10+7=2∙60+17.

Muistses Babülonis leiutatud numbrite rekordil oli aga puudusi: selles oli raske kujutada suuri numbreid, numbrisüsteemi aluse jaoks polnud erilist märki - numbrit 60, mis tõi kaasa lahknevusi üksikutes rekordites.

Miks võtsid babüloonlased oma numbrisüsteemi aluseks arvu 60? Sellele küsimusele on raske üheselt vastata. Märgime vaid, et iidsetel babüloonlastel oli üsna suur teadmistevaru erinevates valdkondades: matemaatikas, astronoomias. On oletatud, et kuuekümnendarvu süsteemi loomise aluseks oli ringi jagamine 360-ga.

kümnendarvusüsteem, see tähendab numbrite kirjutamise ja lugemise viis, mida kasutab nüüd kogu inimkond. See sündmus on dateeritud 6. sajandisse. Ja. e. Mis see avastus oli? Lõppude lõpuks on inimesed juba iidsetest aegadest numbreid salvestanud.

Fakt on see, et India matemaatikute leiutatud numbrite kirjutamise viisi puhul sõltub iga numbri väärtus numbrisisestuses selle kohast, asendist. Näiteks sama number 7 numbris 703 tähendab 7 sadu, numbris 72 - seitset kümmet ja numbris 7230 - seitset tuhat. Selgus, et kümne numbri abil saab kirjutada suvalise numbri. Seetõttu nimetatakse kümnendarvude süsteemi positsiooniliseks. Lisaks hakati Indias esimest korda kasutama puuduvate bitiühikute tähistamiseks nulli, mis mängis samuti suurt rolli numbrite märkimise parandamisel ja arvutuste lihtsustamisel.

Meile tuttav nulli rekord muidugi kohe ei ilmunud. Laadisin alla, kui numbris numbrit polnud, ütlesid indiaanlased numbri nime asemel sõna “tühi” ja kirjutades panid “tühi” numbri asemele täpi. Hiljem hakati punkti asemel joonistama ringi, mida kutsuti "sunya", mis tähendab hindi keeles "tühi".

Kui tõlgitakse keelde araabia keel sõna "sunya" muutus sõnaks "sifr", mis vene keeles kõlab nagu "number". Numbriteks nimetame kõiki kümmet numbrite kirjutamiseks kasutatavat tähemärki: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kuid kakssada aastat tagasi nimetati numbriks ainult ühte märki – 0.

Arvud, millega kümnendarvusüsteemis numbreid kirjutatakse, mõtlesid välja ka matemaatikud iidne India. Kuigi loomulikult erineb nende algne kirjapilt oluliselt tänapäevasest. Praegune numbrite vorm kehtestati alles pärast trükikunsti leiutamist – 15. sajandil.

Miks nimetatakse Indias leiutatud numbreid sageli araabia keeleks? Fakt on see, et araablaste riik, mis tekkis 7. sajandil Araabia poolsaarel, alistas kahesaja aastaga märkimisväärse hulga riike, mis olid kõrgemas arengujärgus. Araabia kalifaati kuulusid näiteks Põhja-India, Egiptus, Kesk-Aasia, Mesopotaamia, Pärsia, Taga-Kaukaasia, Põhja-Aafrika ja teised osariigid. Selle tohutu riigi pealinn oli Bagdadi linn, millest sai araabia kultuuri keskus. Araablased mõistsid teaduse tähtsust ning kogusid hoolikalt, uurisid ja tõlkisid oma keelde vallutatud maade, sealhulgas Kreeka, India ja Kesk-Aasia teadlaste töid.

Araabia matemaatikud ei säilitanud aga mitte ainult antiikaja silmapaistvate teadlaste töid, vaid andsid ka suure panuse matemaatika arengusse.

9. sajandi silmapaistev teadlane oli usbeki (horezmi) matemaatik Mohammed bin Musa al-Khwarizmi. Tema raamat "Kitab al-Jabr", mis paneb paika aritmeetiliste ülesannete ja võrrandite lahendamise reeglid, andis nime algebrateadusele.

Sissejuhatus

Numbrimaailm on väga salapärane ja huvitav. Numbrid on meie maailmas väga olulised. Tahan võimalikult palju teada saada numbrite päritolust, nende tähendusest meie elus. Kuidas neid rakendada ja millist rolli nad meie elus mängivad?

Eelmisel aastal hakkasime matemaatikatundides uurima teemat “Positiivsed ja negatiivsed arvud”. Mul tekkis küsimus, millal tekkisid negatiivsed numbrid, mis riigis, millised teadlased selle teemaga tegelesid. Lugesin Vikipeediast, et negatiivne arv on negatiivsete arvude hulga element, mis (koos nulliga) tekkis matemaatikas naturaalarvude hulga laiendamisel. Laienduse eesmärk on pakkuda mis tahes arvude jaoks lahutamist. Laiendamise tulemusena saadakse täisarvude hulk (ring), mis koosneb positiivsetest (looduslikest) arvudest, negatiivsetest arvudest ja nullist.

Selle tulemusena otsustasin uurida negatiivsete arvude ajalugu.

Käesoleva töö eesmärgiks on uurida negatiivsete tekkelugu ja positiivsed numbrid.

Õppeobjekt - negatiivsed arvud ja positiivsed arvud

Positiivsete ja negatiivsete numbrite ajalugu

Inimesed ei suutnud pikka aega negatiivsete arvudega harjuda. Negatiivsed numbrid tundusid neile arusaamatud, neid ei kasutatud, nad lihtsalt ei näinud neis erilist tähendust. Need arvud ilmusid palju hiljem kui naturaalarvud ja tavalised murrud.

Esimesed andmed negatiivsete arvude kohta leitakse Hiina matemaatikute seast 2. sajandil eKr. eKr e. ja siis olid teada ainult positiivsete ja negatiivsete arvude liitmise ja lahutamise reeglid; korrutamise ja jagamise reegleid ei kohaldatud.

Hiina matemaatikas nimetati positiivseid suurusi "chen", negatiivseid - "fu"; neid kujutati erinevad värvid: "chen" - punane, "fu" - must. Seda võib näha raamatust Aritmeetika üheksas peatükis (Autor Zhang Can). Seda kujutamisviisi kasutati Hiinas kuni 12. sajandi keskpaigani, kuni Li Ye pakkus välja negatiivsete arvude jaoks mugavama tähistuse – negatiivseid numbreid kujutavad numbrid kriipsutati maha kriipsuga paremalt vasakule.

Alles 7. sajandil India matemaatikud hakkasid laialdaselt kasutama negatiivseid arve, kuid suhtusid neisse teatud umbusaldusega. Bhashara kirjutas otse: "Inimesed ei kiida heaks abstraktseid negatiivseid numbreid ...". India matemaatik Brahmagupta pani paika liitmise ja lahutamise reeglid: „omand ja vara on omand, kahe võla summa on võlg; vara ja nulli summa on omand; kahe nulli summa on null ... Võlg, mis on nullist lahutatud, muutub omandiks ja vara muutub võlaks. Kui on vaja vara võlast võtta ja võlg varalt, siis nad võtavad oma summa. "Kahe kinnisvara summa on vara."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Indiaanlased nimetasid positiivseid numbreid "dhana" või "swa" (omand) ja negatiivseid - "rina" või "kshaya" (võlg). India teadlased, püüdes leida näiteid sellise lahutamise kohta elus, asusid seda tõlgendama kaubandusarvutuste vaatenurgast. Kui kaupmehel on 5000 r. ja ostab kaupu 3000 rubla eest, tal on 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Kui tal on 3000 rubla ja ta ostab 5000 rubla eest, siis jääb ta 2000 rubla võlgu. Vastavalt sellele arvati, et siin lahutatakse 3000–5000, kuid tulemuseks on number 2000, mille ülaosas on punkt, mis tähendab "kahe tuhande võlga". See tõlgendus oli kunstlik, kaupmees ei leidnud kunagi võlasummat, lahutades 3000 - 5000, vaid lahutades alati 5000 - 3000.

Veidi hiljem arvasid nad Vana-Indias ja Hiinas sõnade "võlg 10 jüaani" asemel lihtsalt "10 jüaani", kuid joonistasid need hieroglüüfid musta tindiga. Ja märgid "+" ja "-" ei olnud iidsetel aegadel ei numbrite ega tegevuste jaoks.

Ka kreeklased ei kasutanud alguses märke. Vana-Kreeka teadlane Diophantus ei tundnud negatiivseid numbreid üldse ära ja kui võrrandi lahendamisel saadi negatiivne juur, siis jättis ta selle "kättesaamatuks" kõrvale. Ja Diophantos püüdis sõnastada probleeme ja teha võrrandeid nii, et vältida negatiivseid juuri, kuid peagi hakkas Aleksandria Diophantus tähistama lahutamist märgiga.

Reeglid positiivsete ja negatiivsete arvude käsitlemiseks pakuti välja juba 3. sajandil Egiptuses. Negatiivsete suuruste kasutuselevõtt toimus esmakordselt Diophantosel. Ta kasutas nende jaoks isegi erilist tegelast. Samal ajal kasutab Diophantus selliseid kõnepöördeid nagu "Lühendagem mõlemale poole negatiivne" ja sõnastab isegi märkide reegli: "Negatiivne korrutades negatiivsega annab positiivse, samas kui negatiivne korrutades positiivsega annab negatiivne."

Euroopas hakati negatiivseid arve kasutama 12.–13. sajandil, kuid kuni 16. sajandini. enamik teadlasi pidas neid "valeks", "väljamõeldud" või "absurdseks", vastupidiselt positiivsetele numbritele - "tõene". Positiivseid numbreid tõlgendati ka kui "vara" ja negatiivseid - kui "võlga", "puudust". Isegi kuulus matemaatik Blaise Pascal väitis, et 0 − 4 = 0, kuna miski ei saa olla vähem kui mitte midagi. Euroopas jõudis Pisa Leonardo Fibonacci negatiivse suuruse ideele piisavalt lähedale 13. sajandi alguses. Ülesannete lahendamise võistlusel Frederick II õukonnamatemaatikutega paluti Pisa Leonardol lahendada ülesanne: selleks oli vaja leida mitme inimese kapital. Fibonacci on negatiivne. "See juhtum," ütles Fibonacci, "on võimatu, välja arvatud leppimine sellega, et inimesel pole kapitali, vaid võlga." Selgelt negatiivseid arve kasutas aga 15. sajandi lõpus esimest korda prantsuse matemaatik Shuquet. Käsitsi kirjutatud aritmeetika ja algebra traktaadi The Science of Numbers in Three Parts autor. Schücke sümboolika läheneb tänapäevasele.

Prantsuse matemaatiku, füüsiku ja filosoofi René Descartes’i töö aitas kaasa negatiivsete arvude äratundmisele. Ta pakkus välja positiivsete ja negatiivsete arvude geomeetrilise tõlgenduse – tutvustas koordinaatjoont. (1637).

Positiivsed arvud on arvuteljel kujutatud punktidega, mis asuvad lähtepunktist 0 paremal, negatiivsed - vasakul. Positiivsete ja negatiivsete arvude geomeetriline tõlgendamine aitas kaasa nende äratundmisele.

1544. aastal käsitles saksa matemaatik Michael Stiefel esimest korda negatiivseid arve nullist väiksemate arvudena (st "vähem kui mitte midagi"). Sellest hetkest alates ei vaadelda negatiivseid numbreid enam kui võlga, vaid täiesti uutmoodi. Stiefel ise kirjutas: "Null on tõeste ja absurdsete numbrite vahel..."

Peaaegu samaaegselt Stiefeliga kaitses negatiivsete arvude ideed Itaalia matemaatik ja insener Bombelli Raffaele (umbes 1530-1572), kes taasavastas Diophantuse töö.

Samamoodi pidas Girard negatiivseid numbreid üsna vastuvõetavaks ja kasulikuks, eriti millegi puudumise näitamiseks.

Iga füüsik tegeleb pidevalt arvudega: alati mõõdab midagi, arvutab, arvutab. Kõikjal tema paberites – numbrid, numbrid ja numbrid. Kui vaatate tähelepanelikult füüsiku ülestähendusi, näete, et numbrite kirjutamisel kasutab ta sageli märke "+" ja "-". (Näiteks: termomeeter, sügavuse ja kõrguse skaala)

Ainult sisse XIX algus V. negatiivsete arvude teooria on oma arengu lõpule viinud ja "absurdarvud" on pälvinud universaalse tunnustuse.

Arvu mõiste definitsioon

IN kaasaegne maailm inimene kasutab pidevalt numbreid, isegi mõtlemata nende päritolule. Ilma mineviku tundmiseta on võimatu mõista olevikku. Arv on üks matemaatika põhimõisteid. Arvu mõiste kujunes välja tihedas seoses suurusjärkude uurimisega; see side kestab tänaseni. Kaasaegse matemaatika kõigis harudes tuleb arvestada erinevate suurustega ja kasutada numbreid. Arv on abstraktsioon, mida kasutatakse objektide kvantifitseerimiseks. Tekkinud primitiivses ühiskonnas loendamise vajadustest, muutus ja rikastus arvu mõiste ning muutus kõige olulisemaks matemaatiliseks mõisteks.

Olemas suur hulk"arvu" määratlused.

Esimese arvu teadusliku definitsiooni andis Eukleides oma teoses "Elements", mille ta päris ilmselt oma kaasmaalaselt Eudoxuselt Cnidoselt (umbes 408 - umbes 355 eKr): "Ühis on see, mille järgi nimetatakse iga olemasolevat asja. üks. Arv on ühikutest koosnev hulk. Nii defineeris arvu mõiste vene matemaatik Magnitski oma raamatus Aritmeetika (1703). Juba enne Eukleidest andis Aristoteles järgmise definitsiooni: "Arv on hulk, mida mõõdetakse ühikute abil." Suur inglise füüsik, mehaanik, astronoom ja matemaatik Isaac Newton kirjutab oma teoses "Üldaritmeetika" (1707): "Arvu all ei pea me silmas mitte niivõrd ühikute kogumit, vaid mingi koguse abstraktset suhet sama suuruse ja teise suuruse vahel. lahke, võetud ühikuna . Arve on kolme tüüpi: täisarv, murdosa ja irratsionaalne. Täisarv on see, mida mõõdetakse ühikuga; murdosa - ühiku kordne, irratsionaalne - arv, mis ei ole ühikuga proportsionaalne.

Ka Mariupoli matemaatik S.F. Kljujkov andis oma panuse numbri mõiste määratlemisse: "Arvud on reaalse maailma matemaatilised mudelid, mille inimene on oma teadmiste jaoks välja mõelnud." Samuti tutvustas ta nn "funktsionaalseid numbreid" traditsioonilises numbrite klassifikatsioonis, mis tähendab seda, mida tavaliselt nimetatakse funktsioonideks kõikjal maailmas.

Naturaalarvud tekkisid objektide loendamisel. Sain sellest teada 5. klassis. Siis sain teada, et inimese vajadus suurusi mõõta ei väljendu alati täisarvuna. Pärast naturaalarvude hulga laiendamist murdosalisteks sai võimalikuks iga täisarvu jagamine teise täisarvuga (välja arvatud nulliga jagamine). On murdarvud. Täisarvu lahutamine teisest täisarvust, kui lahutatav on suurem kui vähendatud, tundus pikka aega võimatu. Minu jaoks oli huvitav asjaolu, et pikka aega ei tundnud paljud matemaatikud negatiivseid numbreid ära, uskudes, et need ei vasta ühelegi reaalsele nähtusele.

Sõnade "pluss" ja "miinus" päritolu

Mõisted pärinevad sõnadest pluss - "rohkem", miinus - "vähem". Algul tähistati tegusid esimeste tähtedega p; m. Paljud matemaatikud eelistasid või Kaasaegsete märkide "+", "-" tekkimine pole täiesti selge. “+” märk tuleb ilmselt lühendist et, s.o. "Ja". Küll aga võis see tuleneda kaubanduspraktikast: müüdud veinimõõdud märgiti vaadile “-”-ga, varu taastamisel kriipsutati maha, saadi “+” märk.

Itaaliasse raha laenates panevad liigkasuvõtjad võlgniku nime ette võlasumma ja mõttekriipsu nagu meie miinus ja kui võlgnik raha tagastas, kriipsutasid maha, umbes nagu meie pluss.

Kaasaegsed märgid "+" ilmusid Saksamaal 15. sajandi viimasel kümnendil. Widmanni raamatus, mis oli kaupmeeste arve juhendiks (1489). Tšehhi Jan Widman kirjutas juba "+" ja "-" liitmiseks ja lahutamiseks.

Veidi hiljem kirjutas saksa õpetlane Michel Stiefel Täieliku aritmeetika, mis ilmus 1544. aastal. See sisaldab selliseid numbrite kirjeid: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Esimest tüüpi numbrid, mida ta nimetas "vähem kui mitte midagi" või "madalamaks kui mitte midagi". Teist tüüpi numbrid, mida ta nimetas "rohkem kui mitte midagi" või "kõrgem kui mitte midagi". Muidugi saate neist nimedest aru, sest "mitte midagi" on 0.

Negatiivsed arvud Egiptuses

Vaatamata sellistele kahtlustele pakuti aga juba 3. sajandil Egiptuses välja reeglid positiivsete ja negatiivsete arvude käsitlemiseks. Negatiivsete suuruste kasutuselevõtt toimus esmakordselt Diophantosel. Ta kasutas nende jaoks isegi erimärki (nüüd kasutame selleks miinusmärki). Tõsi, teadlased vaidlevad, kas Diofantiini sümbol tähistas täpselt negatiivset arvu või lihtsalt lahutamistehte, sest Diophantosel ei esine negatiivsed arvud eraldiseisvana, vaid ainult positiivsete erinevuste kujul; ja ta peab ülesannetes vastusteks ainult ratsionaalseid positiivseid numbreid. Kuid samal ajal kasutab Diophantus selliseid kõnepöördeid nagu "Lisagem mõlemale poole negatiivne" ja sõnastab isegi märkide reegli: "Negatiivne korrutatuna negatiivsega annab positiivse, negatiivne aga positiivsega. annab negatiivse” (see, mida praegu tavaliselt sõnastatakse: “Miinus miinusega annab plussi, miinus plussiga annab miinuse”).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Negatiivsed arvud Vana-Aasias

Hiina matemaatikas nimetati positiivseid suurusi "chen", negatiivseid - "fu"; neid kujutati erinevates värvides: "chen" - punane, "fu" - must. Seda kujutamisviisi kasutati Hiinas kuni 12. sajandi keskpaigani, kuni Li Ye pakkus välja negatiivsete arvude jaoks mugavama tähistuse – negatiivseid numbreid kujutavad numbrid kriipsutati maha kriipsuga paremalt vasakule. India teadlased, püüdes leida näiteid sellise lahutamise kohta elus, asusid seda tõlgendama kaubandusarvutuste vaatenurgast.

Kui kaupmehel on 5000 r. ja ostab kaupu 3000 rubla eest, tal on 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Kui tal on 3000 rubla ja ta ostab 5000 rubla eest, siis jääb ta 2000 rubla võlgu. Vastavalt sellele arvati, et siin lahutatakse 3000–5000, kuid tulemuseks on number 2000, mille ülaosas on punkt, mis tähendab "kahe tuhande võlga".

Selline tõlgendus oli kunstliku iseloomuga, kaupmees ei leidnud kunagi võlasummat 3000 - 5000 lahutades, vaid lahutas alati 5000 - 3000. Lisaks oli selle põhjal võimalik venitavalt selgitada vaid liitmise reegleid ja "punktidega arvude" lahutamine, kuid mitte mingil juhul ei seletanud korrutamise või jagamise reegleid.

V-VI sajandil ilmuvad negatiivsed arvud ja need on India matemaatikas väga laialt levinud. Indias kasutati negatiivseid numbreid süstemaatiliselt samamoodi nagu praegu. India matemaatikud on negatiivseid arve kasutanud alates 7. sajandist. n. e .: Brahmagupta sõnastas nendega aritmeetiliste toimingute reeglid. Tema teosest loeme: „vara ja vara on omand, kahe võla summa on võlg; vara ja nulli summa on omand; kahe nulli summa on null ... Võlg, mis on nullist lahutatud, muutub omandiks ja vara muutub võlaks. Kui on vaja vara võlast võtta ja võlg varalt, siis nad võtavad oma summa.

Indiaanlased nimetasid positiivseid numbreid "dhana" või "swa" (omand) ja negatiivseid - "rina" või "kshaya" (võlg). Indias oli aga probleeme negatiivsete arvude mõistmise ja aktsepteerimisega.

Negatiivsed numbrid Euroopas

Euroopa matemaatikud ei kiitnud neid pikka aega heaks, sest "varavõla" tõlgendus tekitas hämmeldust ja kahtlusi. Tõepoolest, kuidas saab vara ja võlgu “liita” või “lahutada”, milline tegelik tähendus võib olla vara “korrutamisel” või “võlaga jagamisel”? (G.I. Glazer, Matemaatika ajalugu IV-VI kooliastmes. Moskva, Haridus, 1981)

Seetõttu on negatiivsed arvud matemaatikas suurte raskustega oma koha võitnud. Euroopas jõudis Pisa Leonardo Fibonacci negatiivse suuruse ideele piisavalt lähedale 13. sajandi alguses, kuid negatiivsete arvude selgesõnalist kasutamist kasutas 15. sajandi lõpus esmakordselt prantsuse matemaatik Shuquet. Käsitsi kirjutatud aritmeetika ja algebra traktaadi The Science of Numbers in Three Parts autor. Schücke sümboolika läheneb kaasaegsele (matemaatika entsüklopeediline sõnaraamat. M., Sov. entsüklopeedia, 1988)

Negatiivsete arvude kaasaegne tõlgendus

1544. aastal käsitles saksa matemaatik Michael Stiefel esimest korda negatiivseid arve nullist väiksemate arvudena (st "vähem kui mitte midagi"). Sellest hetkest alates ei vaadelda negatiivseid numbreid enam kui võlga, vaid täiesti uutmoodi. Stiefel ise kirjutas: "Null on tõeste ja absurdsete numbrite vahel ..." (G.I. Glazer, Matemaatika ajalugu IV-VI klassis. Moskva, Haridus, 1981)

Pärast seda pühendab Stiefel oma töö täielikult matemaatikale, milles ta oli suurepärane iseõppija. Üks esimesi Euroopas pärast seda, kui Nikola Shuke hakkas negatiivsete numbritega opereerima.

Kuulus prantsuse matemaatik René Descartes geomeetrias (1637) kirjeldab positiivsete ja negatiivsete arvude geomeetrilist tõlgendamist; positiivsed arvud on kujutatud arvuteljel punktidega, mis asuvad lähtepunktist 0 paremal, negatiivsed - vasakul. Positiivsete ja negatiivsete arvude geomeetriline tõlgendamine viis negatiivsete arvude olemuse selgemini mõistmiseni ja aitas kaasa nende äratundmisele.

Peaaegu samaaegselt Stiefeliga kaitses negatiivsete arvude ideed R. Bombelli Raffaele (umbes 1530-1572), Itaalia matemaatik ja insener, kes taasavastas Diophantuse töö.

Bombelli ja Girard, vastupidi, pidasid negatiivseid numbreid üsna vastuvõetavaks ja kasulikuks, eriti millegi puudumise näitamiseks. Saksa matemaatik Widman kasutas positiivsete ja negatiivsete arvude tänapäevast tähistust märkidega "+" ja "-". Väljend "madalam kui mitte midagi" näitab, et Stiefel ja mõned teised kujutlesid vaimselt positiivseid ja negatiivseid numbreid vertikaalskaala punktidena (nagu termomeetri skaala). Matemaatiku A. Girardi hiljem välja töötatud idee negatiivsetest arvudest kui punktidest kindlal sirgel, mis paiknevad teisel pool nulli kui positiivsed, osutus nendele arvudele kodakondsusõiguste andmisel määravaks, eriti selle tulemusena. koordinaatide meetodi väljatöötamine P. Fermat' ja R. Descartes'i poolt.

Järeldus

Oma töös uurisin negatiivsete arvude ajalugu. Uurimise käigus jõudsin järeldusele:

Kaasaegne teadus puutub kokku nii keeruliste suurustega, et nende uurimiseks on vaja leiutada uut tüüpi arvud.

Uute numbrite kasutuselevõtul on väga olulised kaks asjaolu:

a) nende suhtes kohaldatavad tegevusreeglid peavad olema täielikult määratletud ega toonud kaasa vastuolusid;

b) uued arvusüsteemid peaksid kas aitama kaasa uute probleemide lahendamisele või parandama juba teadaolevaid lahendusi.

Praeguseks on arvude üldistamisel seitse üldtunnustatud taset: loomulikud, ratsionaalsed, reaal-, kompleks-, vektor-, maatriks- ja piiriülesed arvud. Mõned teadlased teevad ettepaneku käsitleda funktsioone funktsionaalsete numbritena ja laiendada arvude üldistusastet kaheteistkümnele tasemele.

Püüan kõiki neid arvude komplekte uurida.

Rakendus

LUULETUS

"Negatiivsete arvude ja arvude liitmine koos erinevad märgid»

Kui soovite voltida

Numbrid on negatiivsed, kurvastada pole midagi:

Peame kiiresti välja selgitama moodulite summa,

Seejärel võtke miinusmärk ja lisage see sellele.

Kui on antud erineva märgiga numbrid,

Nende summa leidmiseks on meil kõik korras.

Suurem moodul on kiiresti väga valitav.

Sellest lahutame väiksema.

Kõige tähtsam on mitte unustada märki!

Millise paned? - tahame küsida

Me avaldame teile saladuse, see pole lihtsam,

Märk, kus moodul on suurem, kirjuta vastusesse.

Positiivsete ja negatiivsete arvude liitmise reeglid

Lisage miinus miinusega,

Võite saada miinuse.

Kui lisada miinus, pluss,

Kas see osutub piinlikuks?!

Valige numbri märk

Mis on tugevam, ärge haigutage!

Võtke nende moodulid ära

Jah, tehke kõigi numbritega rahu!

Korrutamisreegleid saab tõlgendada ka järgmiselt:

"Minu sõbra sõber on minu sõber": + ∙ + = + .

"Minu vaenlase vaenlane on mu sõber": ─ ∙ ─ = +.

"Minu vaenlase sõber on minu vaenlane": + ∙ ─ = ─.

"Minu sõbra vaenlane on minu vaenlane": ─ ∙ + = ─.

Korrutamismärk on punkt, sellel on kolm märki:

Katke neist kaks, kolmas annab vastuse.

Näiteks.

Kuidas määrata toote märki 2∙(-3)?

Sulgeme pluss- ja miinusmärgid kätega. Seal on miinusmärk

Bibliograafia

"Lugu iidne maailm", 5. klass. Kolpakov, Selunskaja.

"Matemaatika ajalugu antiikajal", E. Kolman.

"Õpilase käsiraamat". Kirjastus VES, Peterburi. 2003. aasta

Suur matemaatiline entsüklopeedia. Yakusheva G.M. ja jne.

Vigasin A.A., Goder G.I., "Muinasmaailma ajalugu", 5. klassi õpik, 2001

Vikipeedia. Tasuta entsüklopeedia.

Matemaatikateaduse tekkimine ja areng: Raamat. Õpetaja jaoks. - M.: Valgustus, 1987.

Gelfman E.G. "Positiivsed ja negatiivsed arvud", matemaatika õpik 6. klassile 2001. a.

Pea. toim. M. D. Aksjonova. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. "Matemaatika ajalugu koolis", Moskva, "Prosveshchenie", 1981

Lasteentsüklopeedia "Ma tunnen maailma", Moskva, "Valgustus", 1995.

Matemaatika ajalugu koolis, IV-VI klass. G.I. Glazer, Moskva, haridus, 1981.

Moskva: Philol. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Matemaatiline entsüklopeediline sõnaraamat. M., Sov. entsüklopeedia, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matemaatika 6. klass", Moskva, "Valgustus", 1989

Õpik 5. klass. Vilenkin, Žohhov, Tšesnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M. "Matemaatika õppimine", hariduslik väljaanne, 1994

E.G. Gelfman et al., Positiivsed ja negatiivsed numbrid Pinocchio teatris. Õpetus matemaatikas 6. klassile. 3. trükk, parandatud, - Tomsk: kirjastus Tomski ülikool, 1998

Entsüklopeedia lastele. T.11. Matemaatika