harmooniline seeria- summa, mis koosneb lõpmatust arvust naturaalrea järjestikuste arvude pöördväärtusest:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3)+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots ).

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

✪ Numbriread. Põhimõisted - bezbotvy

✪ Harmooniliste jadate lahknemise tõend

✪ Numbriseeria-9. Dirichlet' seeria konvergents ja lahknemine

✪ Konsultatsioon nr 1. Mat. analüüs. Fourier' jada trigonomeetrilises süsteemis. Kõige lihtsamad omadused

✪ RIDA. Ülevaade

Subtiitrid

Seeria esimese n liikme summa

Seeria üksikud liikmed kipuvad nulli, kuid selle summa erineb. S n harmoonilise jada n-s osasumma on n-s harmooniline arv:

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3)+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))

Mõned osasummade väärtused

s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1, 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle) (\displaystyle)_&1(matrix) \\\\s_(2)&=&(\frac (3) (2)&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11) (6)& \umbes &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\umbes &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137) (60))&\ligikaudu &2(,)283\end(maatriks)))

S 6 = 49 20 = 2, 45 S 7 = 363 140 ≈ 2,593 S 8 = 761 280 ≈ 2,718 S 10 3 ≈ 7,484 S 10 6 ≈ 14,393 (S&Algus) (&\Style) & & & & & \frac (49)(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\umbes &2(,)593 \\\\s_ (8)&=&(\frac (761)(280))&\umbes &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\umbes &7(,)484\ \\\s_( 10^(6))&\umbes &14(,)393\end(maatriks)))

Euleri valem

Kui väärtus ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\paremnool 0), seega suurtele n (\displaystyle n):

s n ≈ ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle s_(n)\umbes \ln(n)+\gamma)- Euleri valem esimese summa kohta n (\displaystyle n) harmooniliste sarja liikmed. Euleri valemi kasutamise näide

n (\displaystyle n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma)	ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Täpsem asümptootiline valem harmooniliste ridade osalise summa jaoks:

s n ≍ ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − ∑ k = 12 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\dots =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), Kus B 2 k (\displaystyle B_ (2k))- Bernoulli numbrid.

See seeria lahkneb, kuid arvutusviga sellel ei ületa kunagi poolt esimesest kõrvalejäetud liikmest.

Osasummade arvuteoreetilised omadused

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

Sari Erinevus

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\paremnool \infty) juures n → ∞ (\displaystyle n\paremnool \infty)

Harmooniliste jada lahkneb väga aeglaselt (selleks, et osasumma ületaks 100, on vaja umbes 10 43 seeria elementi).

Harmooniliste seeriate erinevust saab näidata, võrreldes seda teleskoopseeriaga:

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln ⁡ n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ vasak(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),

mille osasumma on ilmselt võrdne:

∑ i = 1 n − 1 v i = ln ⁡ n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

Oremi tõend

Lahknevuse tõestuse saab koostada, rühmitades terminid järgmiselt:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(joondatud)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\parem]+\vasak[(\frac (1) (3))+(\frac (1) (4))\parem]+\vasak[(\frac (1) (5))+(\frac (1) (6))+(\frac (1) (7))+(\frac (1) (8))\right]+\left[(\frac (1) (9))+\cdots \ parem]+\cdots \\&()>1+\left[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1) (4))+(\frac (1) (4))\parem]+\vasak[(\frac (1) (8))+(\frac (1) (8))+(\frac (1) (8))+(\frac (1) (8))\right]+\left[(\frac (1) (16))+\cdots \right]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1) (2))\ \ \ +\quad (\frac (1) (2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1) (2))\qquad \ \quad \ +\quad \ \ (\frac (1) )(2))\ \quad +\ \cdots .\end(joondatud)))

Viimane rida läheb ilmselgelt lahku. See tõend kuulub keskaja õpetlasele Nikolai Oremile (umbes 1350).

Alternatiivne tõend lahknevuse kohta

Kutsume lugejat üles kontrollima selle tõendi ekslikkust.

Erinevus vahel n (\displaystyle n)-harmooniline arv ja naturaallogaritm n (\displaystyle n) koondub Euler - Mascheroni konstandile.

Erinevus erinevate harmooniliste arvude vahel ei ole kunagi täisarv ega harmooniline arv, välja arvatud H 1 = 1 (\displaystyle H_(1) = 1), ei ole täisarv.

Seotud read

Dirichlet rida

Üldistatud harmoonilisi jada (või Dirichlet' jada) nimetatakse jadaks

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).

Üldistatud harmooniliste jada lahkneb juures α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1) ja koondub kell α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .

Üldistatud harmoonilise järjekorra ridade summa α (\displaystyle \alpha ) on võrdne Riemanni zeta funktsiooni väärtusega:

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha ))

Paarisarvude puhul on see väärtus selgesõnaliselt väljendatud  pi-ga, näiteks ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), ja juba α=3 puhul on selle väärtus analüütiliselt teadmata.

Teine näide harmooniliste ridade lahknemisest võib olla seos ζ (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Seetõttu väidetakse, et sellisel seerial on tõenäosus 1 ja seeria summa on juhuslik suurus, millel on huvitavad omadused. Näiteks punktides +2 või -2 arvutatud funktsioonil tiheduse tõenäosuse väärtus on:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

erineb ⅛-st vähem kui 10–42 .

"Õhendatud" harmooniliste seeria

Kempneri seeria (Inglise)

Kui vaadelda harmoonilist rida, milles on alles ainult liikmed, mille nimetajad ei sisalda arvu 9, siis selgub, et ülejäänud summa koondub arvule<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), võetakse “hõrenenud” seeriate summaks järjest vähem termineid. See tähendab, et lõpuks jäetakse suurem osa harmooniliste ridade summat moodustavatest liikmetest kõrvale, et mitte ületada ülalt piiravat geomeetrilist progressiooni.

Leidke arvude jada summa. Kui seda ei ole võimalik leida, siis süsteem arvutab teatud täpsusega seeria summa.

Seeria konvergents

See kalkulaator suudab kindlaks teha, kas jada läheneb, ja näitab ka, millised lähenemise märgid toimivad ja millised mitte.

Samuti oskab ta määrata astmeridade konvergentsi.

Ehitatakse ka seeriagraafik, kus on näha seeria konvergentsi (või lahknemise) kiirus.

Avaldiste ja funktsioonide sisestamise reeglid

Avaldised võivad koosneda funktsioonidest (tähistused on antud tähestikulises järjekorras): absoluutne (x) Absoluutne väärtus x
(moodul x või |x|) arccos (x) Funktsioon - kaarekoosinus x arccosh(x) Kaarkoosinus hüperboolne alates x arcsin(x) Arcsine alates x arcsinh(x) Arksiin hüperboolne alates x arctg(x) Funktsioon – kaartangens alates x arctgh(x) Kaartangens on hüperboolne alates x e e arv, mis on ligikaudu võrdne 2,7-ga exp(x) Funktsioon – astendaja alates x(mis on e^x) log(x) või log(x) naturaalne logaritm x
(Et saada log7(x), peate sisestama log(x)/log(7) (või näiteks jaoks log10(x)=log(x)/log(10)) pi Arv on "Pi", mis on ligikaudu võrdne 3,14-ga sin(x) Funktsioon – siinus x cos(x) Funktsioon – koosinus x sinh(x) Funktsioon – hüperboolne siinus x sularaha (x) Funktsioon – hüperboolne koosinus x sqrt(x) Funktsioon on ruutjuur x sqr(x) või x^2 Funktsioon – ruut x tg(x) Funktsioon – puutuja alates x tgh(x) Funktsioon – hüperboolne tangens x cbrt(x) Funktsioon on kuupjuur x

Avaldistes saate kasutada järgmisi toiminguid: Reaalarvud sisestage vormi 7.5 , Mitte 7,5 2*x- korrutamine 3/x- jagunemine x^3- astendamine x + 7- lisamine x - 6- lahutamine
Teised omadused: korrus (x) Funktsioon – ümardamine x alla (näide korrus(4,5)==4,0) lagi (x) Funktsioon – ümardamine xüles (näide lagi(4,5)==5,0) märk (x) Funktsioon – märk x erf(x) Veafunktsioon (või tõenäosusintegraal) Laplace (x) Laplace'i funktsioon

See artikkel on struktureeritud ja üksikasjalik teave, mis võib olla kasulik harjutuste ja probleemide analüüsimisel. Vaatleme numbriseeriate teemat.

See artikkel algab põhimääratluste ja mõistetega. Järgmisena standardime valikud ja uurime põhivalemeid. Materjali koondamiseks on artiklis toodud peamised näited ja ülesanded.

Põhiteesid

Esiteks kujutage ette süsteemi: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , kus a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Näiteks võtame sellised arvud nagu: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .

Definitsioon 1

Arvurida on liikmete ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + summa. . . + a n + . . . .

Definitsiooni paremaks mõistmiseks kaaluge seda juhtumit, kus q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2. definitsioon

a k on tavaline või k-th rea liige.

See näeb välja umbes selline - 16 · - 1 2 k .

3. määratlus

Sarja osaline summa näeb välja umbes selline S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , milles n- mis tahes number. S n on nth seeria summa.

Näiteks ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k on S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . moodustavad lõpmatu arvujada.

Numbri jaoks n-nda summa leitakse valemiga S n \u003d a 1 (1 - q n) 1 - q \u003d 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 \u003d 16 3 1 - - 1 2 n. Kasutame järgmist osasummade jada: 8 , 4 , 6 , 5 , . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

4. definitsioon

Jada ∑ k = 1 ∞ a k on koonduvad kui jadal on lõplik piir S = lim S n n → + ∞ . Kui piirangut pole või jada on lõpmatu, siis nimetatakse jada ∑ k = 1 ∞ a k lahknev.

Definitsioon 5

Konvergentsete ridade summa∑ k = 1 ∞ a k on jada ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S piir.

Selles näites lim S n n → + ∞ = piir 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, seeria ∑ k = 1 ∞ (- 16 ) · - 1 2 k koondub. Summa on 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Näide 1

Divergentse jada näide on geomeetrilise progressiooni summa, mille nimetaja on suurem kui üks: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

N-nda osasumma defineeritakse avaldisega S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 ja osasummade piir on lõpmatu: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Teine näide lahknevast arvuseeriast on summa kujul ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Sel juhul saab n-nda osasumma arvutada S n = 5 n . Osasummade piirväärtus on lõpmatu lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Definitsioon 6

Summa, mis on sarnane ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n + . . . - See harmooniline numbririda.

Definitsioon 7

Summa ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1n s + . . . , Kus s on reaalarv, on üldistatud harmooniliste arvude jada.

Eespool käsitletud definitsioonid aitavad teil lahendada enamiku näidetest ja probleemidest.

Definitsioonide täiendamiseks on vaja tõestada teatud võrrandeid.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k on lahknev.

Me tegutseme vastupidiselt. Kui see läheneb, on piir piiratud. Võrrandi saame kirjutada kujul lim n → + ∞ S n = S ja lim n → + ∞ S 2 n = S . Teatud toimingute järel saame võrdsuse l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

vastu,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

Kehtivad järgmised võrratused: 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Saame, et S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Avaldis S 2 n - S n > 1 2 näitab, et lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ei saavutata. Seeria on lahknev.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 +. . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

On vaja kinnitada, et arvujada summa q puhul läheneb< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Ülaltoodud definitsioonide kohaselt on summa n liikmed määratakse valemiga S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Kui q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = piir n → + ∞ b 1 q n - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Oleme tõestanud, et arvuread koonduvad.

Kui q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Summad leitakse valemiga S n = b 1 · n , piiriks on lõpmatu lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . Esitatud versioonis seeria erineb.

Kui q = -1, siis näeb rida välja b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Osalised summad näevad välja S n = b 1 paaritu jaoks n, ja S n = 0 paaris n. Seda juhtumit arvesse võttes veendume, et piirangut pole ja seeriad on erinevad.

Kui q > 1, lim n → + ∞ S n = piir n → + ∞ b 1 (q n - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Oleme tõestanud, et numbriseeriad lahknevad.

1. Jada ∑ k = 1 ∞ 1 k s koondub, kui s > 1 ja lahkneb, kui s ≤ 1 .

Sest s = 1 saame ∑ k = 1 ∞ 1 k , jada lahkneb.

Sest s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,naturaalarv. Kuna seeria on lahknev ∑ k = 1 ∞ 1 k , siis piirangut pole. Pärast seda on jada ∑ k = 1 ∞ 1 k s piiramatu. Järeldame, et valitud seeria lahkneb kell s< 1 .

On vaja tõendada, et seeria ∑ k = 1 ∞ 1 k s koondub s > 1.

Kujutage ette S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2n - 1) s

Oletame, et 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Kujutage ette võrrandit arvude jaoks, mis on loomulikud ja isegi n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Saame:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 17s + 18s + . . . + 1 15 s + . . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Avaldis 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . on geomeetrilise progressiooni q = 1 2 s - 1 summa. Esialgsetel andmetel s > 1, siis 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 suureneb ja on piiratud ülevalt 1 1 - 1 2 s - 1 . Kujutage ette, et on olemas piir ja seeria on koonduv ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Definitsioon 8

Jada ∑ k = 1 ∞ a k sel juhul positiivne, kui selle liikmed > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Jada ∑ k = 1 ∞ b k vahelduv kui numbrite märgid on erinevad. See näide on esitatud järgmiselt: ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k a k või ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 a k , kus a k > 0, k = 1 , 2 , . . . .

Jada ∑ k = 1 ∞ b k vahelduv, kuna see sisaldab palju negatiivseid ja positiivseid numbreid.

Sarja teine ​​variant on kolmanda variandi erijuhtum.

Siin on näited iga juhtumi kohta:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Kolmanda valiku puhul saate määratleda ka absoluutse ja tingimusliku lähenemise.

Definitsioon 9

Vahelduv jada ∑ k = 1 ∞ b k on absoluutselt konvergentne, kui ∑ k = 1 ∞ b k loetakse samuti koonduvaks.

Vaatame mõnda tüüpilist valikut.

Näide 2

Kui read 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . ja 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . on defineeritud koonduvatena, siis on õige eeldada, et 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Definitsioon 10

Vahelduvat jada ∑ k = 1 ∞ b k loetakse tinglikult koonduvaks, kui ∑ k = 1 ∞ b k on lahknev ja jada ∑ k = 1 ∞ b k koonduvaks.

Näide 3

Uurime üksikasjalikult võimalust ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Seeria ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , mis koosneb absoluutväärtused, on määratletud kui lahknev. Seda varianti peetakse koonduvaks, kuna seda on lihtne kindlaks teha. Sellest näitest saame teada, et jada ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . loetakse tingimuslikult koonduvaks.

Konvergentsete ridade omadused

Analüüsime teatud juhtudel omadusi

1. Kui ∑ k = 1 ∞ a k koondub, siis seeria ∑ k = m + 1 ∞ a k tunnistatakse samuti koonduvaks. Võib märkida, et seeria m liikmeid peetakse ka koonduvateks. Kui ∑ k = m + 1 ∞ a k juurde liita mitu arvu, siis ka saadud tulemus koondub.
2. Kui ∑ k = 1 ∞ a k koondub ja summa = S, siis rida ∑ k = 1 ∞ A ak , ∑ k = 1 ∞ A ak = A S , kus A- pidev.
3. Kui ∑ k = 1 ∞ a k ja ∑ k = 1 ∞ b k on koonduvad, on summad A Ja B samuti koonduvad jadad ∑ k = 1 ∞ a k + b k ja ∑ k = 1 ∞ a k - b k. Summad saavad olema A+B Ja A-B vastavalt.

Näide 4

Määrake, et jada koondub ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Muudame avaldist ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Jada ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 loetakse koonduvaks, kuna seeria ∑ k = 1 ∞ 1 k s koondub s > 1. Teise omaduse järgi ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Näide 5

Määrake, kas jada koondub ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .

Teisendame esialgse versiooni ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1.

Saame summa ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 ja ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Iga seeria tunnistatakse koonduvaks vastavalt omadusele. Kuna seeriad lähenevad, siis ka algversioon.

Näide 6

Arvutage, kas jada 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + koondub. . . ja arvutage summa.

Jagame originaali:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Iga seeria koondub, kuna see on üks arvjada liikmetest. Kolmanda omaduse järgi saame arvutada, et ka esialgne versioon on konvergentne. Arvutame summa: Rea esimene liige ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 ja nimetaja = 0 . 5 , millele järgneb ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Esimene liige on ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 ja kahaneva arvjada nimetaja = 1 3 . Saame: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Summa 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + määramiseks kasutame ülaltoodud avaldisi. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Vajalik tingimus, et teha kindlaks, kas seeria on koonduv

Definitsioon 11

Kui jada ∑ k = 1 ∞ a k on koonduv, siis selle piir k-th termin = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Kui kontrollime mõnda võimalust, ei tohi me unustada hädavajalikku tingimust. Kui see ei ole rahul, siis seeria läheb lahku. Kui lim k → + ∞ a k ≠ 0 , siis on seeria lahknev.

Tuleks selgitada, et tingimus on oluline, kuid mitte piisav. Kui kehtib võrdus lim k → + ∞ a k = 0, siis see ei garanteeri, et ∑ k = 1 ∞ a k on konvergentne.

Võtame näite. Harmoonilise jada ∑ k = 1 ∞ 1 k korral on tingimus täidetud lim k → + ∞ 1 k = 0 , kuid jada siiski lahkneb.

Näide 7

Määrake konvergents ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Kontrollige tingimuse lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 algset avaldist + 0 = + ∞ ≠ 0

Piirang nth liige ei ole 0 . Oleme tõestanud, et see seeria erineb.

Kuidas määrata positiivse märgi jada konvergentsi.

Kui kasutate neid funktsioone pidevalt, peate pidevalt piiranguid arvutama. See jaotis aitab vältida raskusi näidete ja probleemide lahendamisel. Positiivse märgirea konvergentsi määramiseks on olemas teatud tingimus.

Positiivse märgi ∑ k = 1 ∞ a k konvergentsi korral a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . peate määratlema piiratud summade jada.

Kuidas ridu võrrelda

Sarjade võrdlemise märke on mitu. Võrdleme ridu, mille konvergents on ette nähtud määrata, jadadega, mille konvergents on teada.

Esimene märk

∑ k = 1 ∞ a k ja ∑ k = 1 ∞ b k on positiivsed jadad. Võrratus a k ≤ b k kehtib k = 1, 2, 3, ... Sellest järeldub, et reast ∑ k = 1 ∞ b k saame ∑ k = 1 ∞ a k . Kuna ∑ k = 1 ∞ a k lahkneb, võib seeriat ∑ k = 1 ∞ b k määratleda lahknevana.

Seda reeglit kasutatakse pidevalt võrrandite lahendamiseks ja see on tõsine argument, mis aitab konvergentsi määrata. Raskusi võib tekitada see, et kaugeltki pole võimalik igal juhul leida sobivat võrdlusnäidet. Üsna sageli valitakse seeria põhimõttel, et näitaja k-th liige võrdub lugeja ja nimetaja eksponentide lahutamise tulemusega k-th rea liige. Oletame, et a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, vahe on võrdne 2 – 3 = - 1 . Sel juhul saab kindlaks teha, et seeria koos k-th termin b k = k - 1 = 1 k , mis on harmooniline.

Saadud materjali koondamiseks kaalume üksikasjalikult paari tüüpilist võimalust.

Näide 8

Määrake, milline on jada ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .

Kuna piirväärtus = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 , oleme teinud vajalik tingimus. Ebavõrdsus on õiglane 1 k< 1 k - 1 2 для k , mis on loomulikud. Eelmistest lõikudest saime teada, et harmooniliste jada ∑ k = 1 ∞ 1 k on lahknev. Esimese kriteeriumi kohaselt saab tõestada, et algversioon on lahknev.

Näide 9

Määrake, kas seeria on koonduv või lahknev ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Selles näites on vajalik tingimus täidetud, kuna lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Esitame ebavõrdsuse kujul 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Jada ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 on koonduv, kuna harmooniliste jada ∑ k = 1 ∞ 1 k s koondub s > 1. Esimese tunnuse järgi võime järeldada, et arvurida on konvergentne.

Näide 10

Määrake jada ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Selle variandi puhul on võimalik märkida soovitud tingimuse täitmine. Määratleme võrdluseks seeria. Näiteks ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Et määrata, mis on aste, vaatleme jada ( ln (ln k) ), k = 3 , 4 , 5 . . . . Jada liikmed ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . suureneb lõpmatuseni. Pärast võrrandi analüüsimist võib märkida, et võttes väärtuseks N = 1619, siis jada liikmed > 2 . Selle jada jaoks on võrratus 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Teine märk

Oletame, et ∑ k = 1 ∞ a k ja ∑ k = 1 ∞ b k on positiivse märgiga jada.

Kui lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , siis jada ∑ k = 1 ∞ b k koondub ja ∑ k = 1 ∞ a k samuti koondub.

Kui lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , siis kuna jada ∑ k = 1 ∞ b k lahkneb, siis lahkneb ka ∑ k = 1 ∞ a k.

Kui lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ ja lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , siis rea konvergents või lahknemine tähendab teise konvergentsi või lahknemist.

Vaatleme teise kriteeriumi abil ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1. Võrdluseks ∑ k = 1 ∞ b k võtame koonduva jada ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Defineeri piir: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Teise kriteeriumi järgi saab määrata, et koonduv jada ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 tähendab, et koondub ka esialgne versioon.

Näide 11

Määrake, milline on jada ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Analüüsime vajalikku tingimust lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , mis antud versioonis on täidetud. Teise kriteeriumi järgi võtame jada ∑ k = 1 ∞ 1 k . Otsime piiri: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Eeltoodud teeside kohaselt toob lahknev jada kaasa algseeria lahknemise.

Kolmas märk

Mõelge kolmandale võrdlusmärgile.

Oletame, et ∑ k = 1 ∞ a k ja _ ∑ k = 1 ∞ b k on positiivse märgiga arvjada. Kui tingimus on täidetud mõne arvu a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k korral, siis selle rea ∑ k = 1 ∞ b k konvergents tähendab, et jada ∑ k = 1 ∞ a k on samuti koonduv. Divergentne jada ∑ k = 1 ∞ a k toob kaasa lahknemise ∑ k = 1 ∞ b k .

d'Alemberti märk

Kujutage ette, et ∑ k = 1 ∞ a k on positiivse märgiga arvuseeria. Kui lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 , siis lahknev.

Märkus 1

d'Alemberti test on kehtiv, kui piir on lõpmatu.

Kui lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , siis on seeria konvergentne, kui lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , siis on see lahknev.

Kui lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 , siis d'Alemberti test ei aita ja vaja on veel mitmeid uuringuid.

Näide 12

Määrake d'Alemberti testiga, kas seeria on koonduv või lahknev ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k.

Tuleb kontrollida, kas vajalik konvergentsitingimus on täidetud. Arvutame piiri L'Hopitali reegli abil: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0

Näeme, et tingimus on täidetud. Kasutame d'Alemberti testi: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Seeria on konvergentne.

Näide 13

Määra, kas seeria on lahknev ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Kasutame rea lahknemise määramiseks d'Alemberti testi: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Seetõttu on seeria lahknev.

Cauchy radikaalne märk

Oletame, et ∑ k = 1 ∞ a k on positiivse märgiga jada. Kui lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 , siis lahknev.

Märkus 2

Kui lim k → + ∞ a k k = 1 , siis see omadus ei anna mingit infot – on vaja täiendavat analüüsi.

Seda funktsiooni saab kasutada näidetes, mida on lihtne tuvastada. Juhtum on iseloomulik, kui arvurea liige on eksponentsiaalne eksponentsiaalne avaldis.

Saadud teabe koondamiseks kaaluge mõnda tüüpilist näidet.

Näide 14

Määrake, kas positiivne jada ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k koondub jadale.

Nõutav tingimus loetakse rahuldatuks, kuna lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Eespool vaadeldud testi järgi saame lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Näide 15

Kas arvurida koondub ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Kasutame eelmises lõigus kirjeldatud märki lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integraalne Cauchy test

Oletame, et ∑ k = 1 ∞ a k on positiivse märgiga jada. On vaja määrata pideva argumendi funktsioon y=f(x), mis vastab a n = f (n) . Kui y=f(x) suurem kui null, ei purune ja väheneb [ a ; + ∞) , kus a ≥ 1

Siis, kui ebaõige integraal ∫ a + ∞ f (x) d x on koonduv, siis koondub ka vaadeldav jada. Kui see lahkneb, siis vaadeldavas näites lahkneb ka seeria.

Funktsiooni lagunemise kontrollimisel saate kasutada eelmistes tundides käsitletud materjali.

Näide 16

Vaatleme konvergentsi näidet ∑ k = 2 ∞ 1 k ln k.

Rea konvergentsitingimus loetakse täidetuks, kuna lim k → + ∞ 1 k ln k = 1 + ∞ = 0 . Vaatleme y = 1 x ln x . See on suurem kui null, ei katke ja väheneb [2; +∞) . Esimesed kaks punkti on kindlalt teada, kuid kolmandat tuleks üksikasjalikumalt arutada. Leidke tuletis: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 x x ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. See on nullist väiksem kui [ 2 ; + ∞) See tõestab teesi, et funktsioon on kahanev.

Tegelikult vastab funktsioon y = 1 x ln x eespool käsitletud põhimõtte tunnustele. Me kasutame seda: ∫ 2 + ∞ d x x ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Saadud tulemuste kohaselt lahkneb esialgne näide, kuna vale integraal on lahknev.

Näide 17

Tõesta rea ​​∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 konvergentsi.

Kuna lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 , loetakse tingimus täidetuks.

Alustades k = 4 , on õige avaldis 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Kui jada ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 loetakse koonduvaks, siis vastavalt ühele võrdluspõhimõttele on seeria ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 loetakse samuti koonduvaks. Seega saame kindlaks teha, et ka algne avaldis on konvergentne.

Liigume edasi tõestusega ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Kuna funktsioon y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 on suurem kui null, siis see ei lõpe ja väheneb [ 4 ; +∞) . Kasutame eelmises lõigus kirjeldatud funktsiooni:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 limi A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 limi A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2

Saadud konvergentses reas ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 saame määrata, et ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 ka koondub.

Raabe märk

Oletame, et ∑ k = 1 ∞ a k on positiivse märgiga arvurida.

Kui lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, siis see läheneb.

Seda määramismeetodit võib kasutada juhul, kui ülalkirjeldatud meetodid ei anna nähtavaid tulemusi.

Uuring absoluutse konvergentsi jaoks

Uurimiseks võtame ∑ k = 1 ∞ b k . Kasutame positiivset märki ∑ k = 1 ∞ b k . Saame kasutada kõiki ülalkirjeldatud sobivaid funktsioone. Kui jada ∑ k = 1 ∞ b k koondub, siis on esialgne jada absoluutselt konvergentne.

Näide 18

Uurige seeriat ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konvergentsi jaoks ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 .

Tingimus on täidetud lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Kasutame ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 ja kasutame teist märki: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Jada ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 koondub. Ka originaalseeria on absoluutselt konvergentne.

Vahelduvate seeriate lahknevus

Kui jada ∑ k = 1 ∞ b k on lahknev, siis vastav vahelduv jada ∑ k = 1 ∞ b k on kas lahknev või tinglikult koonduv.

Ainult d'Alemberti test ja radikaal Cauchy test aitavad teha järeldusi ∑ k = 1 ∞ b k kohta moodulite ∑ k = 1 ∞ b k lahknemisest. Jada ∑ k = 1 ∞ b k lahkneb ka siis, kui vajalik konvergentsitingimus ei ole täidetud, st kui lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

Näide 19

Kontrolli lahknemist 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Moodul k-th termin on esitatud kujul b k = k ! 7k.

Uurime rida ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k konvergentsi jaoks d'Alemberti kriteeriumi järgi: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k lahkneb samamoodi nagu algversioon.

Näide 20

Kas ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergentne.

Vaatleme vajalikku tingimust lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Tingimus ei ole täidetud, mistõttu ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) on seeria lahknev. Limiit arvutati L'Hospitali reegli järgi.

Tingimuslikud lähenemiskriteeriumid

Leibnizi märk

Definitsioon 12

Kui vahelduva jada liikmete väärtused vähenevad b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . ja mooduli piirväärtus = 0 kui k → + ∞ , siis jada ∑ k = 1 ∞ b k koondub.

Näide 17

Vaatleme lähenemise jaoks ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1).

Seeria on esitatud kui ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Vajalik tingimus on täidetud lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Arvestage ∑ k = 1 ∞ 1 k teise võrdluskriteeriumiga lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Saame, et ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) lahkneb. Seeria ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) koondub Leibnizi kriteeriumi järgi: jada 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1 , . . . väheneb ja lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Seeria tinglikult läheneb.

Abel-Dirichlet märk

Definitsioon 13

∑ k = 1 + ∞ u k v k koondub, kui ( u k ) ei suurene ja jada ∑ k = 1 + ∞ v k on piiratud.

Näide 17

Avastage 1–3 2 + 2 3 + 1 4–3 5 + 1 3 + 1 7–3 8 + 2 9 +. . . konvergentsi jaoks.

Kujutage ette

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

kus ( u k ) = 1 , 1 2 , 1 3 , . . . - mittekasvav ja jada ( v k ) = 1 , - 3 , 2 , 1 , - 3 , 2 , . . . piiratud ( S k ) = 1 , - 2 , 0 , 1 , - 2 , 0 , . . . . Sari läheneb.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Seeria konvergentsi kontrollimiseks on mitu võimalust. Esiteks saate lihtsalt leida seeriate summa. Kui selle tulemusena saame lõpliku arvu, siis selline seeria koondub. Näiteks sellepärast

siis seeria läheneb. Kui meil ei õnnestunud ridade summat leida, siis tuleks kasutada ridade konvergentsi kontrollimiseks muid meetodeid.

Üks neist meetoditest on d'Alemberti märk

siin ja on vastavalt rea n-s ja (n + 1)-s liige ning konvergentsi määrab D väärtus: Kui D< 1 - ряд сходится, если D >

Näitena uurime rea konvergentsi d'Alemberti testi abil. Kõigepealt kirjutame avaldised ja jaoks. Nüüd leiame vastava limiidi:

Kuna d'Alemberti testi kohaselt seeriad lähenevad.

Teine meetod seeria konvergentsi kontrollimiseks on Cauchy radikaalne märk, mis on kirjutatud järgmiselt:

siin on rea n-s liige ja konvergents, nagu d'Alemberti testi puhul, määratakse D väärtusega: Kui D< 1 - ряд сходится, если D >1 - lahkneb. Kui D = 1 - see märk ei anna vastust ja on vaja täiendavaid uuringuid.

Näitena uurime seeria konvergentsi radikaalse Cauchy testi abil. Kõigepealt kirjutame avaldise jaoks . Nüüd leiame vastava limiidi:

Sest title="15625/64>1"> , radikaalse Cauchy testi järgi lahkneb seeria.

Tuleb märkida, et koos ülaltooduga on ka teisi seeriate konvergentsi märke, nagu integraal Cauchy test, Raabe test jne.

Meie võrgukalkulaator, mis on üles ehitatud süsteemi Wolfram Alpha baasil, võimaldab teil testida seeria konvergentsi. Sel juhul, kui kalkulaator annab rea summaks kindla arvu, siis seeria koondub. Vastasel juhul on vaja pöörata tähelepanu punktile "Seeria konvergentsi test". Kui seal on väljend “seeria koondub”, siis seeria koondub. Kui esineb väljend "seeria lahkneb", siis seeria lahkneb.

Allpool on üksuse "Rea konvergentsi test" kõigi võimalike väärtuste tõlge:

Tekst sisse inglise keel	Tekst vene keeles
Harmooniliste jadate testiga jada lahkneb.	Kui võrrelda uuritud seeriaid harmooniliste jadatega, siis algseeria lahkneb.
Suhte test on ebaselge.	d'Alemberti test ei saa anda vastust rea konvergentsi kohta.
Juuretest on ebaselge.	Cauchy radikaalne test ei saa anda vastust seeriate lähenemise kohta.
Võrdlustesti abil seeriad lähenevad.	Võrdluseks, seeriad lähenevad
Suhtarvu testiga seeriad lähenevad.	D'Alemberti testi järgi seeria läheneb
Piirtesti järgi seeriad lahknevad.	Põhineb asjaolul, et title="Seeria n-nda liikme piir, kui n->oo ei ole null või ei eksisteeri"> , või määratud limiiti ei eksisteeri, järeldatakse, et seeria lahkneb.