Vietov teorém

Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1) .
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu , branému s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.

Poznámka o viacerých koreňoch

Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.

Dôkaz jeden

Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.

Nájdite súčet koreňov:
.

Ak chcete nájsť produkt, použite vzorec:
.
Potom

.

Veta bola dokázaná.

Dôkaz dva

Ak sú čísla koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otváranie zátvoriek.

.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.

Veta bola dokázaná.

Vietova konverzná veta

Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
Kde
(2) ;
(3) .

Dôkaz Vietovej konverznej vety

Zvážte kvadratickú rovnicu
(1) .
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).

Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme pojmy na ľavej strane rovnice:
;
;
(4) .

Nahradíme v (4):
;
.

Nahradíme v (4):
;
.
Rovnica platí. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).

Veta bola dokázaná.

Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu

Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5) ,
kde , a sú nejaké čísla. Navyše.

Rozdeľme rovnicu (5) takto:
.
To znamená, že sme dostali danú rovnicu
,
Kde ; .

Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.

Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.

Vietova veta pre kubickú rovnicu

Podobným spôsobom môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6) ,
kde , , , sú nejaké čísla. Navyše.
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7) ,
Kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom

.

Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa

Rovnakým spôsobom môžete nájsť spojenia medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;

.

Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu takto:
.
Potom srovnáme koeficienty pre , , , ... a porovnáme voľný člen.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vo všeobecných vzdelávacích inštitúciách, Moskva, Vzdelávanie, 2006.

Jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice je použitie Vzorce VIET, ktorá bola pomenovaná po FRANCOIS VIETTE.

Bol to slávny právnik, ktorý slúžil francúzskemu kráľovi v 16. storočí. Vo voľnom čase študoval astronómiu a matematiku. Vytvoril spojenie medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice.

Výhody vzorca:

1 . Použitím vzorca môžete rýchlo nájsť riešenie. Pretože nie je potrebné zadávať druhý koeficient do štvorca, potom od neho odčítať 4ac, nájsť diskriminant a dosadiť jeho hodnotu do vzorca na nájdenie koreňov.

2 . Bez riešenia môžete určiť znaky koreňov a vybrať hodnoty koreňov.

3 . Po vyriešení systému dvoch záznamov nie je ťažké nájsť samotné korene. Vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa súčet koreňov rovná hodnote druhého koeficientu so znamienkom mínus. Súčin koreňov vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa rovná hodnote tretieho koeficientu.

4 . Pomocou týchto koreňov napíšte kvadratickú rovnicu, teda vyriešte inverzný problém. Táto metóda sa používa napríklad pri riešení problémov v teoretickej mechanike.

5 . Je vhodné použiť vzorec, keď sa vodiaci koeficient rovná jednej.

nedostatky:

1 . Vzorec nie je univerzálny.

Vietova veta 8. ročník

Vzorec
Ak x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0, potom:

Príklady
xi = -1; x 2 = 3 - korene rovnice x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Konverzná veta

Vzorec
Ak čísla x 1, x 2, p, q súvisia podľa podmienok:

Potom x 1 a x 2 sú korene rovnice x 2 + px + q = 0.

Príklad
Vytvorme kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov:

X1 = 2 - ? 3 a x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - A 3) (2 + A 3) = 4 - 3 = 1.

Požadovaná rovnica má tvar: x 2 - 4x + 1 = 0.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice sú okrem koreňových vzorcov aj ďalšie užitočné vzťahy, ktoré sú uvedené Vietov teorém. V tomto článku uvedieme formuláciu a dôkaz Vietovej vety pre kvadratickú rovnicu. Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najtypickejších príkladov. Nakoniec si zapíšeme vzorce Vieta, ktoré definujú vzťah medzi skutočnými koreňmi algebraická rovnica stupeň n a jeho koeficienty.

Navigácia na stránke.

Vietova veta, formulácia, dôkaz

Zo vzorcov koreňov kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 tvaru, kde D=b 2 −4·a·c vyplývajú vzťahy: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 x 2 = c/a. Tieto výsledky sú potvrdené Vietov teorém:

Veta.

Ak x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0, potom sa súčet koreňov rovná pomeru koeficientov b a a, braných s opačným znamienkom, a súčinu korene sa rovnajú pomeru koeficientov c a a, teda .

Dôkaz.

Dôkaz Vietovej vety vykonáme podľa nasledujúcej schémy: súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice poskladáme pomocou známych koreňových vzorcov, výsledné výrazy potom transformujeme a uistíme sa, že sú rovné −b/ a a c/a.

Začnime súčtom koreňov a vymyslime si to. Teraz privedieme zlomky k spoločnému menovateľovi, máme . V čitateli výsledného zlomku, po ktorom:. Nakoniec, po 2, dostaneme . To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému.

Súčin koreňov kvadratickej rovnice poskladáme: . Podľa pravidla násobenia zlomkov možno posledný súčin zapísať ako . Teraz vynásobíme zátvorku zátvorkou v čitateli, ale rýchlejšie je tento produkt zbaliť vzorec štvorcového rozdielu, Takže . Potom, pamätajúc, vykonáme ďalší prechod. A keďže diskriminant kvadratickej rovnice zodpovedá vzorcu D=b 2 −4·a·c, tak namiesto D v poslednom zlomku môžeme dosadiť b 2 −4·a·c, dostaneme. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných výrazov sa dostaneme k zlomku a jeho zmenšenie o 4·a dáva . To dokazuje druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.

Ak vynecháme vysvetlenia, dôkaz Vietovej vety bude mať lakonickú formu:
,
.

Zostáva len poznamenať, že ak je diskriminant rovný nule, kvadratická rovnica má jeden koreň. Ak však predpokladáme, že rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene, potom platia aj rovnosti z Vietovej vety. V skutočnosti, keď D=0, koreň kvadratickej rovnice sa rovná , potom a , a keďže D=0, to znamená b 2 −4·a·c=0, odkiaľ b 2 = 4·a·c, potom .

V praxi sa Vietov teorém najčastejšie používa vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici (s vodiacim koeficientom a rovným 1) tvaru x 2 +p·x+q=0. Niekedy sa formuluje pre kvadratické rovnice práve tohto typu, čo však neobmedzuje všeobecnosť, pretože akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou vydelením oboch strán nenulovým číslom a. Uveďme zodpovedajúcu formuláciu Vietovej vety:

Veta.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 sa rovná koeficientu x s ​​opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu, teda x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q.

Veta sa obracia na Vietovu vetu

Druhá formulácia Vietovej vety uvedená v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0, potom vzťahy x 1 +x 2 =−p x 1 x 2 = q. Na druhej strane zo zapísaných vzťahov x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q vyplýva, že x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0. Inými slovami, opak Vietovej vety je pravdivý. Sformulujme to vo forme vety a dokážme to.

Veta.

Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 + x 2 =−p a x 1 · x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p · x+q =0.

Dôkaz.

Po nahradení koeficientov p a q v rovnici x 2 +p·x+q=0 ich vyjadreniami cez x 1 a x 2 sa transformuje na ekvivalentnú rovnicu.

Dosadíme do výslednej rovnice číslo x 1 namiesto x a máme rovnosť x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, čo pre ľubovoľné x 1 a x 2 predstavuje správnu číselnú rovnosť 0=0, keďže x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Preto je x 1 koreňom rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, čo znamená, že x 1 je koreň ekvivalentnej rovnice x 2 +p·x+q=0.

Ak v rovnici x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 namiesto x dosadíme číslo x 2, dostaneme rovnosť x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Toto je skutočná rovnosť, pretože x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Preto je x 2 tiež koreňom rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a preto rovnice x 2 +p·x+q=0.

Tým je dôkaz teorému konverzný k Vietovmu teorému.

Príklady použitia Vietovej vety

Je čas porozprávať sa o praktickej aplikácii Vietovej vety a jej opačnej vety. V tejto časti analyzujeme riešenia niekoľkých najtypickejších príkladov.

Začnime aplikáciou vety konverzovať na Vietovu vetu. Je vhodné použiť na kontrolu, či dané dve čísla sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. V tomto prípade sa vypočíta ich súčet a rozdiel, potom sa skontroluje platnosť vzťahov. Ak sú splnené obidva tieto vzťahy, potom na základe vety, ktorá sa obracia na Vietovu vetu, sa usúdi, že tieto čísla sú koreňmi rovnice. Ak aspoň jeden zo vzťahov nie je splnený, potom tieto čísla nie sú koreňmi kvadratickej rovnice. Tento prístup možno použiť pri riešení kvadratických rovníc na kontrolu nájdených koreňov.

Príklad.

Ktorý z párov čísel 1) x 1 =−5, x 2 =3 alebo 2) alebo 3) je párom koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0?

Riešenie.

Koeficienty danej kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0 sú a=4, b=−16, c=9. Podľa Vietovej vety by sa súčet koreňov kvadratickej rovnice mal rovnať −b/a, teda 16/4=4, a súčin koreňov by sa mal rovnať c/a, teda 9. /4.

Teraz vypočítajme súčet a súčin čísel v každom z troch daných párov a porovnajme ich s hodnotami, ktoré sme práve získali.

V prvom prípade máme x 1 + x 2 =−5+3=−2. Výsledná hodnota je iná ako 4, takže nie je možné vykonať žiadne ďalšie overenie, ale pomocou vety inverznej k Vietovej vete je možné okamžite usúdiť, že prvý pár čísel nie je párom koreňov danej kvadratickej rovnice.

Prejdime k druhému prípadu. Tu je prvá podmienka splnená. Kontrolujeme druhú podmienku: výsledná hodnota je iná ako 9/4. V dôsledku toho druhý pár čísel nie je párom koreňov kvadratickej rovnice.

Zostáva posledný prípad. Tu a . Obe podmienky sú splnené, preto tieto čísla x 1 a x 2 sú koreňmi danej kvadratickej rovnice.

odpoveď:

Prevrátenie Vietovej vety sa dá v praxi použiť na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Zvyčajne sa vyberajú celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi, pretože v iných prípadoch je to dosť ťažké. V tomto prípade využívajú skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice so znamienkom mínus a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom tieto čísla sú korene tejto kvadratickej rovnice. Pochopme to na príklade.

Zoberme si kvadratickú rovnicu x 2 −5 x+6=0. Aby čísla x 1 a x 2 boli koreňmi tejto rovnice, musia byť splnené dve rovnosti: x 1 + x 2 =5 a x 1 · x 2 =6. Zostáva len vybrať takéto čísla. V tomto prípade je to celkom jednoduché: také čísla sú 2 a 3, pretože 2+3=5 a 2·3=6. 2 a 3 sú teda koreňmi tejto kvadratickej rovnice.

Inverzná veta k Vietovej vete je obzvlášť vhodná na nájdenie druhého koreňa danej kvadratickej rovnice, keď je jeden z koreňov už známy alebo zrejmý. V tomto prípade možno druhý koreň nájsť z ktoréhokoľvek zo vzťahov.

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 512 x 2 −509 x −3=0. Tu je ľahké vidieť, že jednota je koreňom rovnice, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je rovný nule. Takže x 1 = 1. Druhý koreň x 2 nájdeme napríklad zo vzťahu x 1 ·x 2 =c/a. Máme 1 x 2 =−3/512, z čoho x 2 =−3/512. Takto sme určili oba korene kvadratickej rovnice: 1 a −3/512.

Je jasné, že výber koreňov sa odporúča iba v najjednoduchších prípadoch. V iných prípadoch môžete na nájdenie koreňov použiť vzorce pre korene kvadratickej rovnice prostredníctvom diskriminantu.

Ďalšou praktickou aplikáciou premeny Vietovej vety je zostavenie kvadratických rovníc s koreňmi x 1 a x 2 . Na to stačí vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient x s opačným znamienkom danej kvadratickej rovnice, a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.

Príklad.

Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú −11 a 23.

Riešenie.

Označme x 1 =−11 a x 2 =23. Vypočítame súčet a súčin týchto čísel: x 1 +x 2 =12 a x 1 ·x 2 =−253. Uvedené čísla sú preto koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom −12 a voľným členom −253. To znamená, že x 2 −12·x−253=0 je požadovaná rovnica.

odpoveď:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietova veta sa veľmi často používa pri riešení úloh súvisiacich so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Ako súvisí Vietova veta so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p·x+q=0? Tu sú dve relevantné vyhlásenia:

• Ak je priesečník q kladné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, potom sú obe kladné alebo záporné.
• Ak je voľný člen q záporné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, ich znamienka sú rôzne, inými slovami, jeden koreň je kladný a druhý záporný.

Tieto tvrdenia vyplývajú zo vzorca x 1 · x 2 =q, ako aj z pravidiel násobenia kladných, záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami. Pozrime sa na príklady ich aplikácie.

Príklad.

R je pozitívny. Pomocou diskriminačného vzorca nájdeme D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, hodnotu výrazu r 2 +8 je kladné pre akékoľvek reálne r, teda D>0 pre akékoľvek reálne r. V dôsledku toho má pôvodná kvadratická rovnica dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.

Teraz poďme zistiť, kedy majú korene rôzne znaky. Ak sú znamienka koreňov odlišné, ich súčin je záporný a podľa Vietovej vety sa súčin koreňov redukovanej kvadratickej rovnice rovná voľnému členu. Preto nás zaujímajú tie hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r−1 záporný. Aby sme teda našli hodnoty r, ktoré nás zaujímajú, potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť r-1<0 , откуда находим r<1 .

odpoveď:

na r<1 .

Vieta vzorce

Vyššie sme hovorili o Vietovej vete pre kvadratickú rovnicu a analyzovali sme vzťahy, ktoré presadzuje. Existujú však vzorce, ktoré spájajú skutočné korene a koeficienty nielen kvadratických rovníc, ale aj kubických rovníc, rovníc štvrtého stupňa a všeobecne, algebraické rovnice stupeň n. Nazývajú sa Vietove vzorce.

Napíšme Vietov vzorec pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru a budeme predpokladať, že má n reálnych koreňov x 1, x 2, ..., x n (medzi nimi môžu byť aj zhodné):

Vzorce Vieta sa dajú získať veta o rozklade polynómu na lineárne faktory, ako aj definíciu rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov. Takže polynóm a jeho expanzia na lineárne faktory tvaru sú rovnaké. Otvorením zátvoriek v poslednom produkte a porovnaním zodpovedajúcich koeficientov získame Vietov vzorce.

Najmä pre n=2 máme už známe Vietove vzorce pre kvadratickú rovnicu.

Pre kubickú rovnicu majú Vietove vzorce tvar

Zostáva len poznamenať, že na ľavej strane vzorcov Viety sú takzvané elementárne symetrické polynómy.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.- 368 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Stredná škola č. 64", Bryansk

Mestská vedecká a praktická konferencia

"Prvé kroky do vedy"

Výskumná práca

"Vietova veta pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa"

Matematika

Vyplnil: žiak 11b ročníka

Šanov Iľja Alekseevič

Vedecký poradca:

učiteľ matematiky,

Kandidát fyziky a matematiky vedy

Bykov Sergej Valentinovič

Brjansk 2012

Úvod ……………………………………………………………………………………… 3

Ciele a zámery ……………………………………………………… 4

Stručné historické pozadie ………………………………………… 4

Kvadratická rovnica …………………………………………………. 5

Kubická rovnica …………………………………………………………………. 6

Rovnica štvrtého stupňa ………………………………………… 7

Praktická časť …………………………………………………………. 9

Referencie……………………………………………………… 12

Dodatok ………………………………………………………… 13

Úvod

Základná veta algebry hovorí, že pole je algebraicky uzavreté, inými slovami, že rovnice stupňa n s komplexnými koeficientmi (vo všeobecnosti) nad poľom majú presne n komplexných koreňov. Rovnice tretieho stupňa rieši Cordanov vzorec. Rovnice štvrtého stupňa pomocou Ferrari metódy. Okrem toho sa v teórii algebry dokázalo, že ak je teda koreňom rovnice je tiež koreňom tejto rovnice. Pre kubickú rovnicu sú možné tieto prípady:

všetky tri korene sú skutočné;

dva korene sú zložité, jeden je skutočný.

Z toho vyplýva, že každá kubická rovnica má aspoň jeden skutočný koreň.

Pre rovnicu štvrtého stupňa:

Všetky štyri korene sú odlišné.

Dva korene sú skutočné, dva sú zložité.

Všetky štyri korene sú zložité.

Táto práca je venovaná dôkladnému štúdiu Vietovej vety: jej formulácii, dôkazu, ako aj riešeniu problémov pomocou tejto vety.

Vykonaná práca je zameraná na pomoc žiakom 11. ročníka, ktorí sa chystajú na Jednotnú štátnu skúšku, ako aj pre mladých matematikov, ktorí majú záujem o jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby riešenia v rôznych oblastiach matematiky.

V prílohe tejto práce je uvedená zbierka úloh na samostatné riešenie a upevnenie nového materiálu, ktorý som študoval.

Túto otázku nemožno ignorovať, pretože je dôležitá pre matematiku, tak pre prírodné vedy, ako aj pre študentov a záujemcov o riešenie takýchto problémov.

Ciele a ciele práce:

Získajte analógiu Vietovej vety pre rovnicu tretieho stupňa.

Dokážte analógiu Vietovej vety pre rovnicu tretieho stupňa.

Získajte analógiu Vietovej vety pre rovnicu štvrtého stupňa.

Dokážte analógiu Vietovej vety pre rovnicu štvrtého stupňa.

Zvážte aplikáciu týchto otázok na riešenie praktických problémov.

• Uistite sa, že aplikácia tejto vety je praktická.

Prehĺbiť matematické znalosti v oblasti riešenia rovníc.

Rozvíjať záujem o matematiku.

Stručné historické pozadie

Právom hoden byť spievaný v poézii

O vlastnostiach koreňov VIETTEHO TEOREM...

FRANCOIS VIET (1540-1603) – francúzsky matematik. Povolaním právnik. V roku 1591 zaviedol písmenové označenia nielen pre neznáme veličiny, ale aj pre koeficienty rovníc; vďaka tomu bolo po prvýkrát možné vyjadriť vlastnosti rovníc a ich koreňov všeobecnými vzorcami. Zaslúžil sa o stanovenie jednotnej metódy riešenia rovníc 2., 3. a 4. stupňa. Spomedzi objavov si sám Viète obzvlášť vysoko cenil stanovenie vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc. Na približné riešenie rovníc s číselnými koeficientmi navrhol Vieth metódu podobnú neskoršej Newtonovej metóde. V trigonometrii dal François Viète úplné riešenie problému určenia všetkých prvkov plochého alebo sférického trojuholníka z troch údajov a našiel dôležité expanzie cos. nx a hriech nx v právomociach cos X a hriech X. Prvýkrát uvažoval o nekonečných dielach. Diela Viety boli napísané ťažkým jazykom, a preto sa vo svojej dobe dočkali menšej distribúcie, než by si zaslúžili .

Kvadratická rovnica

Na začiatok si pripomeňme Vietove vzorce pre rovnice druhého stupňa, ktoré sme sa naučili v školských osnovách.

T
Vietov teorémpre kvadratickú rovnicu (8. ročník)

E
ak a sú koreňmi kvadratickej rovnice potom

to znamená, že súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Pamätajte tiež na vetu, inverzná k Vietovej vete:

Ak čísla - p A q sú také, že

potom a sú koreňmi rovnice

Vietova veta je pozoruhodná tým, že bez toho, aby sme poznali korene štvorcovej trojčlenky, môžeme ľahko vypočítať ich súčet a súčin, teda najjednoduchšie symetrické výrazy.

Vietova veta vám umožňuje uhádnuť celé korene štvorcového trojčlenu.

Kubická rovnica

Teraz prejdime priamo k formulácii a riešeniu kubickej rovnice pomocou Vietovej vety.

Formulácia

TO
Všadeprítomná rovnica je rovnicou tretieho rádu formulára

Kde a ≠ 0.

Ak a = 1, potom sa rovnica nazýva redukovaná kubická rovnica:

Takže to musíme dokázať pre rovnicu

nasledujúca veta je pravdivá:

P
potom nájdite korene tejto rovnice

Dôkaz

Predstavme si polynóm

vykonajte transformácie:

Takže to chápeme

Dvapolynómy sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich koeficienty pri zodpovedajúcich mocninách rovnaké.

Znamená to, že

Q.E.D.

Teraz zvážte vetu, inverzná k Vietovej vete pre rovnicu tretieho stupňa.

F
formulácia

E
ak sú čísla také, že

Rovnica štvrtého stupňa

Teraz prejdime k nastaveniu a riešeniu rovnice štvrtého stupňa pomocou Vietovej vety pre rovnicu štvrtého stupňa.

Formulácia

U
rovnica štvrtého stupňa - rovnica tvaru

G
de a ≠ 0.

E
ak a = 1, potom sa rovnica nazýva redukovaná

A
dokážme to teda pre rovnicu

s
platí nasledujúca veta: nech teda korene danej rovnice

Dôkaz

Predstavme si polynóm

vykonajte transformácie:

Takže to chápeme

My to vieme dva polynómy sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich koeficienty pri zodpovedajúcich mocninách rovnaké.

Znamená to, že

Q.E.D.

Zvážte vetu, inverzná k Vietovej vete pre rovnicu štvrtého stupňa.

Formulácia

Ak sú čísla také, že

potom tieto čísla sú koreňmi rovnice

Praktická časť

Teraz sa pozrime na riešenia úloh pomocou Vietových viet pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa.

Úloha č.1

Odpoveď: 4, -4.

Úloha č.2

Odpoveď: 16, 24.

Na vyriešenie týchto rovníc môžeme použiť Cardanove vzorce a Ferrariho metódu, ale pomocou Vietovej vety poznáme súčet a súčin koreňov týchto rovníc.

Úloha č.3

Vytvorte rovnicu tretieho stupňa, ak je známe, že súčet koreňov je 6, párový súčin koreňov je 3 a súčin -4.

Urobme rovnicu, dostaneme

Úloha č.4

Napíšte rovnicu tretieho stupňa, ak je známe, že súčet koreňov sa rovná 8 , párový súčin koreňov sa rovná 4 , trojnásobný súčin sa rovná 12 a produkt 20 .

Riešenie: pomocou Vietovho vzorca dostaneme

Urobme rovnicu, dostaneme

Pomocou Vietovej vety sme ľahko skladali rovnice pomocou ich koreňov. Toto je najracionálnejší spôsob riešenia týchto problémov.

Problém #5

kde a, b, c sú Heronove vzorce.

Otvorme zátvorky a transformujme výraz, dostaneme

Z
Všimnite si, že radikálny výraz je kubický výraz. Použime Vietovu vetu pre zodpovedajúcu kubickú rovnicu, potom to máme

Z

S vedomím, že dostaneme:

Z riešenia tohto problému je zrejmé, že Vietov teorém je aplikovateľný na problémy z rôznych oblastí matematiky.

Záver

V tomto článku bola skúmaná metóda riešenia rovníc tretieho a štvrtého stupňa pomocou Vietovej vety. Vzorce odvodené v práci sa ľahko používajú. V priebehu štúdie sa ukázalo, že v niektorých prípadoch je táto metóda pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa efektívnejšia ako Cordanov vzorec a Ferrariho metóda.

V praxi sa uplatnila Vietova veta. Vyriešilo sa množstvo problémov, ktoré pomohli k lepšej konsolidácii nového materiálu.

Toto štúdium bolo pre mňa veľmi zaujímavé a poučné. Po prehĺbení vedomostí v matematike som objavil veľa zaujímavých vecí a tento výskum ma bavil.

Ale môj výskum v oblasti riešenia rovníc nekončí. V budúcnosti plánujem študovať riešenie rovnice n-tého stupňa pomocou Vietovej vety.

Rád by som vyjadril svoju hlbokú vďaku svojmu školiteľovi, kandidátovi fyzikálnych a matematických vied, za príležitosť takéhoto neobvyklého výskumu a neustálu pozornosť v mojej práci.

Bibliografia

Vinogradov I.M. Matematická encyklopédia. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Problémy v elementárnej matematike, Fizmatlit, 1980.

Ponceletova veta Pre trojuholník... r2 - stupňa alebo... oblúk tretí menšie otvory... rovnica, dávať štvrtý ... matematik F. Viet matematik ...

Vedecko-výskumná práca v matematike

Výskum

... Vedecky – výskumuJob Autor: matematiky Geometria... teorém Poncelet Pre trojuholník... r2 - stupňa alebo... oblúk tretí menšie otvory... rovnica, dávať štvrtý ... matematik F. Viet Počítal som v roku 1579 s 9 číslicami. holandský matematik ...

Kniha

... Pre rovnicatretí A štvrtýstupňa matematikov výskumupráca. Najlepší vedci vo Francúzsku...

Stručná esej o dejinách matematiky, 5. vydanie, revidované

Kniha

... Pre mnohé neskoršie učebnice algeory. Prezentácia je v nej privedená do teórie rovnicatretí A štvrtýstupňa... teoretické a aplikované matematikov. Pozornosť bola venovaná tak výučbe, ako aj výskumupráca. Najlepší vedci vo Francúzsku...