Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!
Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tan x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja nende valemeid käsitleme edasi.
Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame üles igaühe juurvalemid.
1. Võrrand "sin x=a".
„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.
Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Võrrand „cos x=a”.
`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole sellel reaalarvude hulgas lahendeid.
Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes. 
3. Võrrand „tg x=a”.
Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Võrrand „ctg x=a”.
Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid
Siinuse jaoks: 
Koosinuse jaoks: 
Tangensi ja kotangensi jaoks: 
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid
Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:
- selle lihtsaimaks muutmise abil;
- lahendage ülalpool kirjutatud juurvalemite ja tabelite abil saadud lihtsaim võrrand.
Vaatame näidete abil peamisi lahendusviise.
Algebraline meetod.
See meetod hõlmab muutuja asendamist ja selle asendamist võrdsusega.
Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",
leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:
1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktoriseerimine.
Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.
Lahendus. Liigutame kõik võrdsuse liikmed vasakule: `sin x+cos x-1=0`. Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:
"sin x — 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Taandamine homogeenseks võrrandiks
Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi taandama ühele kahest vormist:
`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).
Seejärel jagage mõlemad osad väärtusega „cos x \ne 0” (esimesel juhul) ja „cos^2 x \ne 0” teise puhul. Saame `tg x` võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb teadaolevate meetoditega lahendada.
Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame selle vasaku ja parema külje `cos^2 x \ne 0`-ga, saame:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Tutvustame asendust „tg x=t”, mille tulemuseks on „t^2 + t – 2=0”. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:
- „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
- „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.
Liikumine poolnurgale
Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Lahendus. Rakendame topeltnurga valemeid, mille tulemuseks on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.
Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:
- „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
- „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Abinurga tutvustus
Trigonomeetrilises võrrandis 'a sin x + b cos x =c', kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagage mõlemad pooled väärtusega "sqrt (a^2+b^2)".
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".
Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt nende ruutude summa on 1 ja moodulid ei ole suuremad kui 1. Tähistame neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, siis:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Vaatame lähemalt järgmist näidet:
Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.
Lahendus. Jagage võrdsuse mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)-ga, saame:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.
Tähistame `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, siis võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:
„sin (x+\varphi)=2/5”,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid
Need on võrdsused murdudega, mille lugejad ja nimetajad sisaldavad trigonomeetrilisi funktsioone.
Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Lahendus. Korrutage ja jagage võrdsuse parem külg arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0
Arvestades, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Võrdlustame murru lugeja nulliga: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Seejärel „sin x=0” või „1-sin x=0”.
- „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
- „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.
Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.
Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".
Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppimine algab 10. klassist, ühtse riigieksami jaoks on alati ülesandeid, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need on teile kindlasti kasulikud!
Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata seda tuletada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.
Lainevõrrand, osatuletistega diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab häirete levimise protsessi teatud keskkonnas. Tikhonov A.N. ja Samarsky A.A., Equations of Mathematical Physics, 3. väljaanne, M., 1977. - lk. 155...
Hüperboolsete osadiferentsiaalvõrrandite klassifikatsioonid
Soojusvõrrand on paraboolset tüüpi osaline diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab soojuse levimise protsessi pidevas keskkonnas (gaas...
Järjekorrasüsteemide teoorias kasutatavad matemaatilised meetodid
Süsteemi olekute tõenäosused saab leida Kolmogorovi diferentsiaalvõrrandite süsteemist, mis on koostatud järgmise reegli järgi: Neist igaühe vasakus servas on i-nda oleku tõenäosuse tuletis...
Mittestatsionaarne Riccati võrrand
1. Üldine Riccati võrrand on kujul: , (1.1) kus P, Q, R on x pidevad funktsioonid, kui x muutub intervallis. Võrrand (1.1) sisaldab erijuhtudena võrrandeid, mida oleme juba käsitlenud: kus saame a lineaarvõrrand, -võrrandiga Bernoulli...
Transpordialaste teadusuuringute ja katsete planeerimise alused
Leiame funktsionaalse sõltuvuse Y = f(X) (regressioonivõrrand), kasutades vähimruutude meetodit (LSM). Kasutage ligikaudsete funktsioonidena lineaarseid (Y = a0 + a1X) ja ruutsõltuvusi (Y = a0 + a1X + a2X2). Vähimruutude meetodit kasutades saadakse väärtused a0...
Asetame polaarkoordinaatide süsteemi pooluse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunkti, polaartelg ühildub positiivse x-teljega (joonis 3). Riis. 3 Võtke sirge võrrand normaalkujul: (3.1) - risti pikkus...
Polaarkoordinaatide süsteem tasapinnal
Koostame polaarkoordinaatides võrrandi poolust läbivale ringile, mille keskpunkt on polaarteljel ja raadius R. Täisnurksest kolmnurgast OAA saame OA = OA (joonis 4)...
Valimiteooria kontseptsioonid. Levitamise seeria. Korrelatsioon- ja regressioonanalüüs
Uuring: a) paarilise lineaarse regressiooni mõiste; b) normaalvõrrandisüsteemi koostamine; c) vähimruutude meetodit kasutavate hinnangute omadused; d) meetod lineaarse regressiooni võrrandi leidmiseks. Oletame...
Diferentsiaalvõrrandite lahenduste konstrueerimine astmeridade kujul
Konstrueeritud teooria rakendamise näitena vaatleme Besseli võrrandit: (6.1) Kus. Ainsuse punkt z =0 on korrapärane. Lennuki viimases osas pole muid funktsioone. Seetõttu on võrrandis (6.1) defineeriv võrrand selline, mis on ...
Maatriksvõrrandite lahendamine
Maatriksvõrrandit XA=B saab lahendada ka kahel viisil: 1. Pöördmaatriks arvutatakse mis tahes tuntud meetodiga. Siis näeb maatriksvõrrandi lahendus välja järgmine: 2...
Maatriksvõrrandite lahendamine
Eelpool kirjeldatud meetodid ei sobi võrrandite lahendamiseks kujul AX=XB, AX+XB=C. Samuti ei sobi need võrrandite lahendamiseks, milles vähemalt üks tundmatu maatriksi X tegurist on singulaarmaatriks...
Maatriksvõrrandite lahendamine
Võrrandid kujul AX = HA lahendatakse samamoodi nagu eelmisel juhul ehk elemendi kaupa. Siin taandub lahendus permutatsioonimaatriksi leidmisele. Vaatame näidet lähemalt. Näide. Leia kõik maatriksid...
Rombikujulise kontuuriga järjekorravõrgu statsionaarne töö
Olekust võib see minna ühte järgmistest olekutest: - rakenduse saabumise tõttu esimese sõlme järjekorda intensiivsusega; - selles töödeldud taotluse laekumise tõttu esimesest sõlmest kolmanda sõlme järjekorda intensiivsusega...
Trigonomeetrilised funktsioonid
Arvu arktangens on arv, mille siinus on võrdne a: kui ja. Kõik võrrandi juured on leitavad valemiga:...
Arvulised meetodid matemaatiliste ülesannete lahendamiseks
Et edukalt lahendada trigonomeetrilised võrrandid mugav kasutada vähendamise meetod varem lahendatud probleemidele. Mõelgem välja, mis on selle meetodi olemus?
Igas kavandatud ülesandes peate nägema varem lahendatud ülesannet ja seejärel proovima järjestikuste samaväärsete teisenduste abil taandada teile antud ülesanne lihtsamaks.
Seega loovad nad trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel tavaliselt teatud lõpliku ekvivalentsete võrrandite jada, mille viimaseks lüliks on ilmse lahendiga võrrand. Oluline on vaid meeles pidada, et kui kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskused pole arenenud, on keerulisemate võrrandite lahendamine keeruline ja ebaefektiivne.
Lisaks ei tohi trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel kunagi unustada, et lahendusviise on mitu.
Näide 1. Leidke võrrandi cos x = -1/2 juurte arv intervallil.
Lahendus:
Meetod I Joonistame funktsioonid y = cos x ja y = -1/2 ning leiame nende ühispunktide arvu intervallil (joonis 1).
Kuna funktsioonide graafikutel on intervallil kaks ühist punkti, sisaldab võrrand sellel intervallil kahte juurt.
II meetod. Kasutades trigonomeetrilist ringi (joonis 2), saame teada punktide arvu, mis kuuluvad intervalli, milles cos x = -1/2. Jooniselt on näha, et võrrandil on kaks juurt. 
III meetod. Kasutades trigonomeetrilise võrrandi juurte valemit, lahendame võrrandi cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – täisarv (k € Z);
x = ± (π – kaared 1/2) + 2πk, k – täisarv (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – täisarv (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – täisarv (k € Z).
Intervall sisaldab juure 2π/3 ja -2π/3 + 2π, k on täisarv. Seega on võrrandil antud intervallil kaks juurt.
Vastus: 2.
Edaspidi lahendatakse trigonomeetrilisi võrrandeid kasutades ühte pakutud meetoditest, mis paljudel juhtudel ei välista ka teiste meetodite kasutamist.
Näide 2. Leidke võrrandi tg (x + π/4) = 1 lahendite arv intervallil [-2π; 2π].
Lahendus:
Kasutades trigonomeetrilise võrrandi juurte valemit, saame:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k – täisarv (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – täisarv (k € Z);
x = πk, k – täisarv (k € Z);
Intervall [-2π; 2π] kuuluvad arvude hulka -2π; -π; 0; π; 2π. Seega on võrrandil antud intervallil viis juurt.
Vastus: 5.
Näide 3. Leidke võrrandi cos 2 x + sin x · cos x = 1 juurte arv intervallil [-π; π].
Lahendus:
Kuna 1 = sin 2 x + cos 2 x (põhiline trigonomeetriline identsus), on algne võrrand järgmine:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Korrutis on võrdne nulliga, mis tähendab, et vähemalt üks teguritest peab olema võrdne nulliga, seega:
sin x = 0 või sin x – cos x = 0.
Kuna muutuja väärtused, mille juures cos x = 0 ei ole teise võrrandi juured (sama arvu siinus ja koosinus ei saa olla samaaegselt võrdsed nulliga), jagame teise võrrandi mõlemad pooled. cos x poolt:
sin x = 0 või sin x / cos x - 1 = 0.
Teises võrrandis kasutame asjaolu, et tg x = sin x / cos x, siis:
sin x = 0 või tan x = 1. Kasutades valemeid saame:
x = πk või x = π/4 + πk, k – täisarv (k € Z).
Esimesest juurte seeriast kuni intervallini [-π; π] kuuluvad arvudesse -π; 0; π. Teisest seeriast: (π/4 – π) ja π/4.
Seega kuuluvad algvõrrandi viis juurt intervalli [-π; π].
Vastus: 5.
Näide 4. Leidke võrrandi tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 juurte summa vahemikus [-π; 1,1π].
Lahendus:
Kirjutame võrrandi ümber järgmiselt:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ja tehke asendus.
Olgu tg x + сtgx = a. Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:
(tg x + сtg x) 2 = a 2. Laiendame sulgusid:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.
Kuna tg x · сtgx = 1, siis tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, mis tähendab
tg 2 x + сtg 2 x = a 2–2.
Nüüd näeb algne võrrand välja selline:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta teoreemi kasutades leiame, et a = -1 või a = -2.
Teeme vastupidise asendamise, meil on:
tg x + сtgx = -1 või tg x + сtgx = -2. Lahendame saadud võrrandid.
tg x + 1/tgx = -1 või tg x + 1/tgx = -2.
Kahe vastastikku pöördarvu omaduse põhjal teeme kindlaks, et esimesel võrrandil pole juuri ja teisest võrrandist on meil:
tg x = -1, st. x = -π/4 + πk, k – täisarv (k € Z).
Intervall [-π; 1,1π] kuuluvad juurtesse: -π/4; -π/4 + π. Nende summa:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Vastus: π/2.
Näide 5. Leia võrrandi sin 3x + sin x = sin 2x juurte aritmeetiline keskmine intervallil [-π; 0,5π].
Lahendus:
Kasutame valemit sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2, siis
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ja võrrand muutub
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Võtame sulgudest välja ühisteguri sin 2x
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Lahendage saadud võrrand:
sin 2x = 0 või 2cos x – 1 = 0; 
sin 2x = 0 või cos x = 1/2;
2x = πk või x = ±π/3 + 2πk, k – täisarv (k € Z).
Seega on meil juured
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – täisarv (k € Z).
Intervall [-π; 0,5π] kuuluvad juurte hulka -π; -π/2; 0; π/2 (esimesest juurte seeriast); π/3 (teisest seeriast); -π/3 (kolmandast seeriast). Nende aritmeetiline keskmine on:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Vastus: -π/6.
Näide 6. Leia võrrandi sin x + cos x = 0 juurte arv intervallil [-1,25π; 2π].
Lahendus:
See võrrand on esimese astme homogeenne võrrand. Jagame selle mõlemad osad cosx-iga (muutuja väärtused, mille juures cos x = 0, ei ole selle võrrandi juured, kuna sama arvu siinus ja koosinus ei saa olla samaaegselt võrdsed nulliga). Algne võrrand on:
x = -π/4 + πk, k – täisarv (k € Z).
Intervall [-1,25π; 2π] kuuluvad juurte hulka -π/4; (-π/4 + π); ja (-π/4 + 2π).
Seega sisaldab antud intervall võrrandi kolme juurt.
Vastus: 3.
Õppige tegema kõige olulisemat - kujutage selgelt ette probleemi lahendamise plaani ja siis on iga trigonomeetriline võrrand teie käeulatuses.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.
Programmi alguses said õpilased ettekujutuse trigonomeetriliste võrrandite lahendamisest, tutvusid kaarkoosinuse ja kaarsiinuse mõistetega ning näiteid võrrandite cos t = a ja sin t = a lahenditest. Selles videoõpetuses vaatleme võrrandite tg x = a ja ctg x = a lahendamist.
Selle teema uurimise alustamiseks vaatleme võrrandeid tg x = 3 ja tg x = - 3. Kui lahendame võrrandi tg x = 3 graafiku abil, näeme, et funktsioonide y = tg x ja graafikute lõikepunkt y = 3-l on lõpmatu arv lahendeid, kus x = x 1 + πk. Väärtus x 1 on funktsioonide y = tan x ja y = 3 graafikute lõikepunkti x koordinaat. Autor tutvustab arctangensi mõistet: arctan 3 on arv, mille tan on võrdne 3-ga ja see arv kuulub vahemikku -π/2 kuni π/2. Arktangensi mõistet kasutades saab võrrandi tan x = 3 lahendi kirjutada kujul x = arctan 3 + πk.
Analoogiliselt lahendatakse võrrand tg x = - 3. Funktsioonide y = tg x ja y = - 3 konstrueeritud graafikutest on selge, et graafikute lõikepunktid ja seega ka võrrandite lahendid olema x = x 2 + πk. Arktangensi abil saab lahendi kirjutada kujul x = arctan (- 3) + πk. Järgmisel joonisel näeme, et arctg (- 3) = - arctg 3.
Arktangensi üldine definitsioon on järgmine: arctangens a on arv vahemikust -π/2 kuni π/2, mille puutuja on võrdne a-ga. Siis on võrrandi tan x = a lahend x = arctan a + πk.
Autor toob näite 1. Leia lahendus avaldisele arctan Tutvustame tähistust: arvu arktangens on võrdne x-ga, siis tg x on võrdne antud arvuga, kus x kuulub segmenti alates -π /2 kuni π/2. Nagu eelmiste teemade näidetes, kasutame väärtuste tabelit. Selle tabeli järgi vastab selle arvu puutuja väärtusele x = π/3. Kirjutame üles võrrandi lahend: antud arvu arktangent võrdub π/3, π/3 kuulub samuti intervalli -π/2 kuni π/2.
Näide 2 - arvutage negatiivse arvu arktangens. Võrdsust arctg (- a) = - arctg a kasutades sisestame x väärtuse. Sarnaselt näitele 2 kirjutame üles x väärtuse, mis kuulub lõigule -π/2 kuni π/2. Väärtuste tabelist leiame, et x = π/3, seega -- tg x = - π/3. Vastus võrrandile on - π/3.
Vaatleme näidet 3. Lahendage võrrand tg x = 1. Kirjutage, et x = arctan 1 + πk. Tabelis vastab väärtus tg 1 väärtusele x = π/4, seega arctg 1 = π/4. Asendame selle väärtuse algse valemiga x ja kirjutame vastuseks x = π/4 + πk.
Näide 4: arvutage tan x = - 4,1. Sel juhul x = arctan (- 4,1) + πk. Sest Sel juhul pole arctg väärtust võimalik leida, vastus näeb välja selline: x = arctg (- 4.1) + πk.
Näites 5 vaadeldakse võrratuse tg x > 1 lahendit. Selle lahendamiseks koostame funktsioonide y = tan x ja y = 1 graafikud. Nagu jooniselt näha, lõikuvad need graafikud punktides x = π/4 + πk. Sest sel juhul tg x > 1, toome graafikul esile tangentoidpiirkonna, mis asub graafiku y = 1 kohal, kus x kuulub vahemikku π/4 kuni π/2. Kirjutame vastuse kujul π/4 + πk< x < π/2 + πk.
Järgmiseks vaatleme võrrandit cot x = a. Joonisel on toodud funktsioonide y = cot x, y = a, y = - a graafikud, millel on palju lõikepunkte. Lahendused saab kirjutada kujul x = x 1 + πk, kus x 1 = arcctg a ja x = x 2 + πk, kus x 2 = arcctg (- a). Märgitakse, et x 2 = π - x 1 . See tähendab võrdsust arcctg (- a) = π - arcctg a. Kaarekotangens on järgmine: kaare kotangens a on arv vahemikust 0 kuni π, mille kotangens on võrdne a-ga. Võrrandi сtg x = a lahend kirjutatakse järgmiselt: x = arcctg a + πk.
Videotunni lõpus tehakse veel üks oluline järeldus - avaldise ctg x = a saab kirjutada kujul tg x = 1/a, eeldusel, et a ei ole võrdne nulliga.
TEKSTI DEKOODE:
Vaatleme võrrandite tg x = 3 ja tg x = - 3 lahendamist. Esimese võrrandi graafiliselt lahendades näeme, et funktsioonide y = tg x ja y = 3 graafikutel on lõpmatult palju lõikepunkte, mille abstsissid me kirjutame vormis
x = x 1 + πk, kus x 1 on sirge y = 3 lõikepunkti abstsiss tangentoidi peaharuga (joonis 1), millele tähistus leiutati.
arctan 3 (kaare puutuja kolmest).
Kuidas mõista arctg 3?
See on arv, mille puutuja on 3 ja see arv kuulub intervalli (- ;). Siis saab kõik võrrandi tg x = 3 juured kirjutada valemiga x = arctan 3+πk.
Samamoodi saab võrrandi tg x = - 3 lahendi kirjutada kujul x = x 2 + πk, kus x 2 on sirge y = - 3 lõikepunkti abstsiss sirge põhiharuga. tangentoid (joon. 1), mille puhul tähistus arctg(- 3) (kaare puutuja miinus kolm). Siis saab kõik võrrandi juured kirjutada valemiga: x = arctan(-3)+ πk. Joonisel on näha, et arctg(- 3)= - arctg 3.
Sõnastame arctangensi definitsiooni. Arktangens a on arv intervallist (-;), mille puutuja on võrdne a-ga.
Sageli kasutatakse võrdsust: arctg(-a) = -arctg a, mis kehtib iga a kohta.
Teades arctangensi definitsiooni, saame teha üldise järelduse võrrandi lahendi kohta
tg x= a: võrrandil tg x = a on lahendus x = arctan a + πk.
Vaatame näiteid.
NÄIDE 1. Arvutage arktaan.
Lahendus. Olgu arctg = x, siis tgх = ja xϵ (- ;). Kuva väärtuste tabel Seetõttu x =, kuna tg = ja ϵ (- ;).
Niisiis, arctan =.
NÄIDE 2. Arvutage arktaan (-).
Lahendus. Kasutades võrdsust arctg(- a) = - arctg a, kirjutame:
arctg(-) = - arctg . Olgu - arctg = x, siis - tgх = ja xϵ (- ;). Seetõttu x =, kuna tg = ja ϵ (- ;). Kuva väärtuste tabel
See tähendab - arctg=- tgх= - .
NÄIDE 3. Lahendage võrrand tgх = 1.
1. Kirjutage üles lahendusvalem: x = arctan 1 + πk.
2. Leia arktangensi väärtus
kuna tg = . Kuva väärtuste tabel
Nii et arctan1= .
3. Pange leitud väärtus lahendusvalemisse:
NÄIDE 4. Lahendage võrrand tgх = - 4,1 (puutuja x võrdub miinus nelja punktiga üks).
Lahendus. Kirjutame lahendusvalemi: x = arctan (- 4,1) + πk.
Arktangensi väärtust me arvutada ei saa, seega jätame võrrandi lahendi saadud kujul.
NÄIDE 5. Lahendage võrratus tgх 1.
Lahendus. Lahendame selle graafiliselt.
- Konstrueerime puutuja
y = tgx ja sirge y = 1 (joonis 2). Need ristuvad sellistes punktides nagu x = + πk.
2. Valime x-telje intervall, milles tangentoidi põhiharu asub sirge y = 1 kohal, kuna tingimusega tgх 1. See on intervall (;).
3. Kasutame funktsiooni perioodilisust.
Omadus 2. y=tg x on perioodiline funktsioon põhiperioodiga π.
Võttes arvesse funktsiooni y = tgх perioodilisust, kirjutame vastuse:
(;). Vastuse saab kirjutada topeltvõrratusena:
Liigume edasi võrrandi ctg x = a juurde. Esitame positiivse ja negatiivse võrrandi a lahenduse graafilise illustratsiooni (joonis 3).
Funktsioonide y = ctg x ja y = a graafikud ja ka
y=ctg x ja y=-a
neil on lõpmatult palju ühiseid punkte, mille abstsissid näevad välja järgmised:
x = x 1 +, kus x 1 on sirge y = a ja tangentoidi põhiharu lõikepunkti abstsiss ja
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, kus x 2 on sirge lõikepunkti abstsiss
y = - a tangentoidi peaharuga ja x 2 = arcсtg (- a).
Pange tähele, et x 2 = π - x 1. Niisiis, paneme kirja olulise võrdsuse:
arcсtg (-a) = π - arcсtg а.
Sõnastame definitsiooni: kaare kotangens a on arv intervallist (0;π), mille kotangent on võrdne a-ga.
Võrrandi ctg x = a lahend kirjutatakse kujul: x = arcctg a + .
Pange tähele, et võrrandi ctg x = a saab teisendada kujule
tg x = , välja arvatud juhul, kui a = 0.
