Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

Содержание

См. также: Методы разложения многочленов на множители
Корни квадратного уравнения
Решение кубических уравнений

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2 .

Выносим x 2 за скобки:
.
2 + x - 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .

.

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3 .

Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 - 20 .

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) .

;
.

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) :

;

;
.

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1 . Делим многочлен на x - (-1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;


;
.

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Предположим, что уравнение

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504 ;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120 ;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60 ;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24 ;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0 ;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0 ;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0 ;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .

Итак, мы нашли один корень:
x 1 = -1 .
Делим многочлен на x - x 1 = x - (-1) = x + 1 :


Тогда,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x 2 = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Если квадратный трехчлен является неполным (b = 0 или c = 0) , то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Задания для самостоятельного решения

№1. Квадратный трёхчлен разложен на множители: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Найдите a .

Решение:

Для начала необходимо приравнять квадратных трехчлен к нулю, чтобы найти x 1 и x 2 .

x 2 + 6 x − 27 = 0

a = 1, b = 6, c = − 27

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 – значит будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Зная корни разложим квадратный трехчлен на множители:

x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)

№2. Уравнение x 2 + p x + q = 0 имеет корни − 5 ; 7. Найдите q .

Решение:

1 способ: (надо знать, как раскладывается квадратный трехчлен на множители)

Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a x 2 + b x + c , то его можно разложить на множители следующим образом: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Поскольку в заданном квадратном трехчлене старший коэффициент (множитель перед x 2) равен единице, то разложение будет следующим:

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35

x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35

2 способ: (надо знать теорему Виета)

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + p x + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .

{ x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.

Прежде всего укажем на некоторые употребительные названия. Станем рассматривать многочлены, в состав которых входит лишь одна какая-нибудь буква, напр., буква x . Тогда самым простым является многочлен, в котором два члена, причем в одном из них имеется буква x в первой степени, а в другом вовсе буквы x не имеется, напр., 3x – 5 или 15 – 7x или 8z + 7 (здесь уже вместо буквы x взята буква z ) и т. д. Такие многочлены называются линейными двучленами .

3x² – 5x + 7 или x² + 2x – 1
или 5y² + 7y + 8 или z² – 5z – 2 и т. д.

Такие многочлены называются квадратными трехчленами .

Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:

x³ + 2x² – x + 1 или 3x³ – 5x² – 2x – 3 и т. д.,

многочлен четвертой степени, напр.:

x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 и т. д.

Возможно обозначать коэффициенты при x , при x², при x³ и т. д. также буквами, напр., буквами a, b, c и т. д. Тогда получим:

1) общий вид линейного относительно x двучлена ax + b,

2) общий вид квадратного трехчлена (относительно x ): ax² + bx + c,

3) общий вид кубического трехчлена (относительно x ): ax³ + bx² + cx + d и т. д.

Заменяя в этих формулах буквы a, b, c, d … различными числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные трехчлены и т. д. Напр., в формуле ax² + bx + c, выражающей общий вид квадратного трехчлена, заменим букву a числом +3, букву b числом –2 и букву c числом –1, получим квадратный трехчлен 3x² – 2x – 1. В частном случае возможно получить и двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если a = +1, b = 0 и c = –3, то получим квадратный двучлен x² – 3.

Можно научиться раскладывать некоторые квадратные трехчлены довольно быстро на линейные множители. Ограничимся, однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) коэффициентом при старшем члене (при x²) служит +1,

2) можно подыскать такие два целых числа (со знаками, или два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась коэффициенту при x в первой степени и их произведение равнялось члену, свободному от x (где буквы x вовсе нет).

Примеры. 1. x² + 5x + 6; легко в уме подыскать два числа (со знаками), чтобы их сумма равнялась +5 (коэффициенту при x ) и чтобы их произведение = +6 (члену, свободному от x), – эти числа суть: +2 и +3 [в самом деле, +2 + 3 = +5 и (+2) ∙ (+3) = +6]. При помощи этих двух чисел заменим член +5x двумя членами, а именно: +2x + 3x (конечно, +2x + 3x = +5x); тогда наш техчлен искусственно будет обращен в четырехчлен x² + 2x + 3x + 6. Применим теперь к нему прием группировки, относя первые два члена в одну группу и последние два – в другую:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

В первой группе мы вынесли за скобку x и во второй +3, получили два члена, у которых оказался общий множитель (x + 2), который также вынесли за скобку, и наш трехчлен x² + 5x + 6 разложился на 2 линейных множителя: x + 2 и x + 3.

2. x² – x – 12. Здесь надо подыскать два числа (относительных), чтобы их сумма равнялась –1 и чтобы их произведение равнялось –12. Такие числа суть: –4 и +3.

Проверка: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. При помощи этих чисел заменим член –x двумя членами: –x = –4x + 3x, – получим:

x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).

3. x² – 7x + 6; здесь нужные числа суть: –6 и –1. [Проверка: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].

x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).

Здесь члены второй группы –x + 6 пришлось заключить в скобки, со знаком минус перед ними.

4. x² + 8x – 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их сумма равнялась +8 и чтобы их произведение равнялось –48. Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших чисел имеет знак +, то абсолютная величина положительного числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48 на два множителя (а это можно сделать по-разному), получим: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Из этих разложений легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно: 48 = 4 ∙ 12. Тогда наши числа суть: +12 и –4. Дальнейшее просто:

x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).

5. x² + 7x – 12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма равнялась +7 и произведение = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. По-видимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, но их надо взять с разными знаками, чтобы их произведение равнялось –12, а тогда их сумма ни в коем случае не может равняться +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Другие разложения на множители также не дают требуемых чисел; поэтому мы приходим к заключению, что данных квадратных трехчлен мы еще не умеем разложить на линейные множители, так как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму из условий, какие были установлены вначале).

На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .