Теорема 12.11 (признак сравнения несобственных интегралов). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке [а, «>) и удовлетворяют на нем условию 0 fix) ?(х). Тогда из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

и наоборот, из расходимости интеграла (12.64) следует расходимость интеграла (12.63).

Доказательство. Введем обозначения:

Функция Р(К) является неубывающей; в самом деле, если а Я 2 , то

J fix) dx>0, и тогда

Возьмем последовательность значений {/?„} -> «>; тогда соответствующая последовательность значений функции {F(R n)} является монотонной и неубывающей. Пусть интеграл (12.63) сходится, тогда последовательность {67 (R it)} ограничена; но тогда ограничена и последовательность {F (/?„)}, а значит, в силу теоремы 7.13 она сходится. Следовательно, существует предел F (R) при R -+ «>, т.е. интеграл (12.64) сходится.

Теперь докажем вторую часть теоремы; пусть интеграл (12.64) расходится. Если предположить, что интеграл (12.63) сходится, то по доказанному выше интеграл (12.64) также должен сходиться, что противоречит условию. Теорема доказана. ?

Замечание. Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов второго рода. Если функции /(х) и g (х) непрерывны на полуинтервале [а> b) и для всех точек в некоторой окрестности особой точки b выполнены

условия 0 (х), то из сходимости интеграла Jg(x)dx следует сходи-

мость интеграла J/(x)dx, а из расходимости интеграла J/(x)dx - расходи-

мость интеграла Jg(x)dx.

Рассмотрим примеры на исследование сходимости несобственных интегралов.

Пример 27. Т . ^-.

Х 3 (1 + е Л)

Решение. Сравним подынтегральную функцию в этом интеграле с функцией

Дг. Очевидно, что -г- -

х г* (1+0 x J

грал J-jdx сходится; следовательно, в силу признака сравнения сходится и дан- 1 х

ный интеграл.

Пример 28. I-.

Решение. Сравнивая подынтегральную функцию этого интеграла с функцией 1/х,

видим, что (1 + In х)/х > 1/х на промежутке 1

дится, следовательно, по признаку сравнения расходится и данный интеграл.

В заключение приведем без доказательства критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода.

12.10.4. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Определение 5. Несобственный йнтеграл J/(x)dx называется абсолютно

сходящимся , если сходится интеграл J|/(x)|dx.

Определение 6. Несобственный интеграл J /(х) dx называется условно схо-

дящимся , если он сходится, а интеграл J|/(x)|dx расходится.

Заметим, что из абсолютной сходимости интеграла следует и его сходимость в силу оценки 3 определенного интеграла и критерия Коши.

Теорема 12.13 (признак Дирихле - Абеля*). Пусть функция/(х) непрерывна и имеет ограниченную первообразную F (х) на промежутке [а, «>), а функция g(x) имеет непрерывную производную на этом промежутке, не возрастает и стремится к нулю при х -> ©о. Тогда несобственный интеграл

сходится.

Доказательство. Применим интегрирование по частям к интегралу J /(x)g(x)dx

на произвольном отрезке R R" с [а , °°). Имеем:

Теорема 12.12. Для сходимости несобственного интеграла (12.64) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 можно найти такое число А > 0, что для любых R" и /?", больших, чем А, выполняется неравенство:

По условию теоремы F(x) ограничена, т.е. |F(x)| К. Функция g(x) не возрастает и стремится к нулю при х -» «>, значит. g(x) > 0, a g"(x)

Абель Нильс Хенрик (1802-1829) - норвежский математик.

Поскольку по условию теоремы g(x) -» 0 при х -> ©°, для произвольного числа е > 0 можно найти число А> такое, что при R" > Л будет выполнено неравенство g(R") Подставляя это в оценку (12.68), получаем:

что соответствует критерию Коши сходимости интеграла (12.66). Теорема доказана. ?

Рассмотрим примеры использования признака Дирихле - Абеля сходимости несобственных интегралов.

Пример 29. f^^dx, а>0.

Решение. Положим /(х) = sin х, g(x) = l/x"; легко убедиться, что все условия теоремы выполнены, т.е. данный интеграл сходится. При а > 1 данный интег-

рал сходится абсолютно. Действительно, |sin х/хР 1/д Л, интеграл J(l/x e)dx

сходится, т.е. по признаку сравнения (теорема 12.11) сходится абсолютно и данный интеграл.

Пример 30. Jsin х 2 dx - интеграл Френеля, о

Решение. Представим этот интеграл в виде суммы:

Поскольку sin х 2 - непрерывная функция на отрезке (0, 1J, первый интеграл в (12.69) существует. Для выяснения сходимости несобственного интеграла в правой части (12.69) положим/(х) = х sin х 2 , g (х) = 1/х. Тогда для функции /(х) первообразная F(x) = -cosx 2 /! ограничена на промежутке |1, «>), а#(х) - положительна, стремится к нулю при х -» °° и имеет непрерывную производную на (1, ©о). Значит по признаку Дирихле - Абеля второй интеграл в (12.69) сходится, т.е. интеграл Френеля также сходится.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Вспомним определение интеграла как предела интегральных сумм:

В определении предполагается, что интервал интегрирования конечен, а функция f (x) непрерывна в нем. Нарушение этих предположений приводит к несобственным интегралам.

Определение. Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании “b” , то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f (x) и обозначают символом

В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится.

Если указанный предел не существует или существует, но бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:

где с - любая фиксированная точка на оси Ох.

Итак, несобственные интегралы могут быть с бесконечно нижней границей, с бесконечно верхней границей, а также с двумя бесконечными границами.

Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость

Интеграл существует только тогда, когда существует каждый из интегралов: и .

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Полагая с = 0, получим:

т.е. интеграл сходится.

Иногда нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится, сравнив его с другим интегралом.

Теорема сравнения несобственных интегралов.

Пусть в интервале функция f (x) имеет несколько (конечное число) точек разрыва первого рода, это “препятствие” легко устранить, разбив отрезок точками разрыва на несколько отрезков, вычислить определенные интегралы на каждом отдельном участке и результаты сложить.

Рассмотрим определенный интеграл от функции, неограниченной при приближении к одному из концов отрезка , например, .

(В таких случаях обычно говорят: ’’Функция имеет бесконечный разрыв на правом конце отрезка интегрирования’’.)

Ясно, что обычное определение интеграла здесь теряет свой смысл.

Определение . Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной при а £ х < b и неограниченной при x ® b - 0, называется предел:

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце отрезка:

Следовательно, на участке [ -1, 0] интеграл расходится.

Значит на участке интеграл также расходится.

Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке [-1, 1]. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат. Действительно,

, что невозможно.

Итак, для исследования несобственного интеграла от разрывной функции, необходимо "разбить" его на несколько интегралов и исследовать их.

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1
.

Таким образом, данный интеграл сходится при a>1 и расходится при a£1.

Пример 2 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению:
.

Таким образом, данный интеграл сходится при a<1 и расходится при a³1.

Пример 3 Исследовать на сходимость .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Сходимость первого интеграла I1 исследуем с помощью эквивалентной функции: (т. к. n>0), а интеграл сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I2:

А интеграл сходится при m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 и m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Пример 4 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой (если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

Так как arctgx »x при x®0, то интеграл I1 эквивалентен интегралу , который сходится при m+1>-1 т. е. при m>-2 (пример1).

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I2 подберем эквивалентную:

т. к. arctgx » p/2 при x® ¥. Следовательно, по второму признаку сравнения интеграл I2 будет сходится при m+n<-1, и расходится в противном случае.

Объединяя условия сходимости интегралов I1 и I2 получим условия сходимости исходного интеграла: m>-2 и m+n<-1 одновременно.

Замечание. В примерах 2-4 использовался 2 признак сравнения, который обеспечивает необходимые и достаточные условия сходимости, что позволяет, установив сходимость при некотором условии на значения параметров, не доказывать расходимость интеграла при нарушении полученных условий сходимости.

Пример 5 Исследовать на сходимость .

Данный интеграл содержит особую точку 0, в которой подынтегральная функция может обращается в бесконечность при p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Интеграл I1 является несобственным интегралом второго рода, и подынтегральная функция эквивалентна при x®0 функции xp (e-x ®1 при x®0), т. е. I1 сходится при p>-1 (пример 1).

Интеграл I2 является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя. Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

При a>0 и любом p. Из этого, и того, что функция xpe-ax непрерывна, следует, что эта функция ограничена, т. е. существует такая константа M>0, что xpe-ax < M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Т. е. интеграл I2 сходится при любом p.

Таким образом, исходный интеграл сходится при p>-1.

Пример 6 Исследовать на сходимость .

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I1 полностью эквивалентен интегралу I1 из примера 5 и, следовательно, сходится при q<1.

Рассмотрим интеграл I2 . При условии 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения и a=(1-p)/2.).

Итак, I2 сходится при p>1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p£0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I2 эквивалентен , который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I1 расходится) и расходится в противном случае.

При p<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что При 1-p>0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено T - Q E (1- P ) T ³ M=const>0. Тогда для интеграла I2 справедлива оценка

,

Где интеграл в правой части расходится, что и доказывает расходимость интеграла I2 .

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q<1 и p>1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость .

Разобьем исходный интеграл на два:

.

Сходимость. Интеграл I1 эквивалентен , т. е. сходится при p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Интеграл I2 сходится про признаку Дирихле-Абеля при p>0 т. к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/xp монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p£0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

.

Возьмем в качестве R1и R2 следующие величины: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогда

, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0

Абсолютная сходимость Абсолютная сходимость интеграла I1 уже установлена, рассмотрим абсолютную сходимость I2 . Оценим интеграл сверху:

, т. е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p£1 оценим интеграл снизу

.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

.

Если оба интеграла сходятся, то и интеграл от разности сходится, если один из интегралов расходится, а другой сходится - то интеграл от разности расходится. В случае расходимости обоих интегралов сходимость интеграла от разности подлежит дальнейшему исследованию. Нас интересует второй из описанных случаев.

Расходится (пример 1) при p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл оценивается снизу расходящимся интегралом, т. е. расходится.

Случай p³1 нас не интересует, т. к. при этих значениях параметра интеграл расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0