Методы планирования эксперимента. Планирование экспериментов Планирование эксперимента и анализ экспериментальных данных

Лекция 1. Вводная. Основные понятия и определения

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется “отклик”, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – “функция отклика”.

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб.

При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения

, i=1,... n.

Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии

где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др.

В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и др.

Представление результатов экспериментов

При использовании методов планирования эксперимента необходимо найти ответы на 4 вопроса:

Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?

Как найти коэффициенты В0, В1, …, Bm?

Как оценить точность представления функции отклика?

Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?

Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 1).

Рис. 1. Поверхность отклика

Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика - достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y =F(X) (рис. 2).

Рис. 2. Построение функции отклика одной переменной по опытным данным

По его виду можно подобрать математическое выражение функции отклика. Если мы не уверены, что опыты хорошо воспроизводятся, то обычно опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных.

Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в 3х-мерном пространстве (рис. 1) можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из факторов (рис. 3). Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений.

Рис. 3. Сечения поверхности отклика при фиксированных откликах (а) и переменных (б,в).

При трех и более факторах задача становится практически неразрешимой. Если и будут найдены решения, то использовать совокупность выражений достаточно трудно, а часто и не реально.

Например, пусть необходимо исследовать влияние U, f и Rr на Мп и P2 асинхронного двигателя (АД) (рис. 4).

Рис. 4. Исследование влияния U, f и Rr на Мп и P2 АД

Если в диапазоне изменения каждого фактора взять хотя бы по пять точек

то для того чтобы выполнить опыты при всех возможных сочетаниях значений факторов (их три) необходимо выполнить 53=125 опытов и сформировать по 52=25 кривых для каждой из двух функций отклика. Если мы хотим хотя бы продублировать опыты чтобы снизить погрешность, то число опытов пропорционально возрастает, поэтому произвольное выполнение опытов при числе факторов более двух и использование их результатов - практически нереально.

Лекция 2. Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома

Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12 + … + ВnnXn2 +….

Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.

Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов.

Рис. 5. Пространство кодированных факторов

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 5), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, …, Хnср

1. История возникновения планирования эксперимента

Планирование эксперимента – продукт нашего времени, однако истоки его теряются в глубине веков.

Истоки планирования эксперимента уходят в глубокую древность и связаны с числовой мистикой, пророчествами и суевериями.

Это собственно не планирование физического эксперимента, а планирование числового эксперимента, т.е. расположение чисел так, чтобы выполнялись некоторые строгие условия, например, на равенство сумм по строкам, столбцам и диагоналям квадратной таблицы, клеточки которой заполнены числами натурального ряда.

Такие условия выполняются в магических квадратах, которым, по-видимому, принадлежит первенство в планировании эксперимента.

Согласно одной легенде примерно в 2200 г. до н.э. китайский император Ю выполнял мистические вычисления с помощью магического квадрата, который был изображен на панцире божественной черепахи.

Квадрат императора Ю

Клетки этого квадрата заполнены числами от 1 до 9, и суммы чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям равны 15.

В 1514 г. немецкий художник Альбрехт Дюрер изобразил магический квадрат в правом углу своей знаменитой гравюры-аллегории «Меланхолия». Два числа в нижнем горизонтальном ряду A5 и 14) составляют год создания гравюры. В этом состояло своеобразное «приложение» магического квадрата.

Квадрат Дюрера

В течение нескольких веков построение магических квадратов занимало умы индийских, арабских, немецких, французских математиков.

В настоящее время магические квадраты используются при планировании эксперимента в условиях линейного дрейфа, при планировании экономических расчетов и составлении рационов питания, в теории кодирования и т.д.

Построение магических квадратов является задачей комбинаторного анализа, основы которого в его современном понимании заложены Г. Лейбницем. Он не только рассмотрел и решил основные комбинаторные задачи, но и указал на большое практическое применение комбинаторного анализа: к кодированию и декодированию, к играм и статистике, к логике изобретений и логике геометрии, к военному искусству, грамматике, медицине, юриспруденции, технологии и к комбинации наблюдений. Последняя область применения наиболее близка к планированию эксперимента.

Одной из комбинаторных задач, имеющей прямое отношение к планированию эксперимента, занимался известный петербургский математик Л. Эйлер. В 1779 г. он предложил задачу о 36 офицерах как некоторый математический курьез.

Он поставил вопрос, можно ли выбрать 36 офицеров 6 рангов из 6 полков по одному офицеру каждого ранга от каждого полка и расположить их в каре так, чтобы в каждом ряду и в каждой шеренге было бы по одному офицеру каждого ранга и по одному от каждого полка. Задача эквивалентна построению парных ортогональных 6x6 квадратов. Оказалось, что эту задачу решить невозможно. Эйлер высказал предположение, что не существует пары ортогональных квадратов порядка п=1 (mod 4).

Задачей Эйлера, в частности, и латинскими квадратами вообще занимались впоследствии многие математики, однако почти никто из них не задумывался над практическим применением латинских квадратов.

В настоящее время латинские квадраты являются одним из наиболее популярных способов ограничения на рандомизацию при наличии источников неоднородностей дискретного типа в планировании эксперимента. Группировка элементов латинского квадрата, благодаря своим свойствам (каждый элемент появляется один и только один раз в каждой строке и в каждом столбце квадрата), позволяет защитить главные эффекты от влияния источника неоднородностей. Широко используются латинские квадраты и как средство сокращения перебора в комбинаторных задачах.

Возникновение современных статистических методов планирования эксперимента связано с именем Р. Фишера.

С 1918 г. он начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 г. появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению.

Среди методов планирования первым был дисперсионный анализ (кстати, Фишеру принадлежит и термин «дисперсия»). Фишер создал основы этого метода, описав полные классификации дисперсионного анализа (однофакторный и многофакторный эксперименты) и неполные классификации дисперсионного анализа без ограничения и с ограничением на рандомизацию. При этом он широко использовал латинские квадраты и блок-схемы. Вместе с Ф. Йетсом он описал их статистические свойства. В 1942 г. А. Кишен рассмотрел планирование по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов.

Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого 1946–1947 гг.) Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы X. Манна A947–1950 гг.).

Исследования Р. Фишера, проводившиеся в связи с работами по агробиологии, знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йегс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью полного факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило резко сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.

В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента.

Эта работа подытожила предыдущие. В ней ясно сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движения по градиенту и отыскания интерполяционного полинома (степенного ряда) в области экстремума функции отклика («почти стационарной» области).

В 1954–1955 гг. Дж. Бокс, а затем Дж. Бокс и П. Юл показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических механизмов процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Здесь планирование эксперимента пересекалось с исследованиями по химической кинетике. Интересно отметить, что кинетику можно рассматривать как метод описания процесса с помощью дифференциальных уравнений, традиции которого восходят к И. Ньютону. Описание процесса дифференциальными уравнениями, называемое детерминистическим, нередко противопоставляется статистическим моделям.

Бокс и Дж. Хантер сформулировали принцип ротатабельности для описания «почти стационарной» области, развивающейся в настоящее время в важную ветвь теории планирования эксперимента. В той же работе показана возможность планирования с разбиением на ортогональные блоки, указанная ранее независимо де Бауном.

Дальнейшим развитием этой идеи было планирование, ортогональное к неконтролируемому временному дрейфу, которое следует рассматривать как важное открытие в экспериментальной технике – значительное увеличение возможностей экспериментатора.

2. Математическое планирование эксперимента в научных исследованиях

2.1 Основные понятия и определения

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n ) независимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, Х n ) и мы хотим выяснить характер этой зависимости – Y=F(Х 1 , Х 2 , …, Х n) , о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется «отклик», а сама зависимость Y=F(Х 1 , Х 2 , …, Х n) – «функция отклика».

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y . В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода – оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Независимые переменные Х 1 , Х 2 , …, Х n – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y . Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 – гиперкуб.

, i =1,… n .

где В 1 , …, В m – некоторые коэффициенты; е – погрешность.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

· планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

· планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

· планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

· планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

· планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране – в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др.

2.2 Представление результатов экспериментов

При использовании методов планирования эксперимента необходимо найти ответы на 4 вопроса:

· Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?

· Как найти коэффициенты В 0 , В 1 , …, B m ?

· Как оценить точность представления функции отклика?

· Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y ?

Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х 1 , Х 2 , …, Х n называется поверхностью отклика (рис. 1).

Рис. 1. Поверхность отклика

Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х 1 , то нахождение функции отклика – достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y =F(X) (рис. 2).

Рис. 2. Построение функции отклика одной переменной по опытным данным

Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в 3 х -мерном пространстве (рис. 1) можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из факторов (рис. 3). Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений.

Рис. 3. Сечения поверхности отклика при фиксированных откликах (а) и переменных (б, в)

2.3 Применение математического планирования эксперимента в научных исследованиях

В современной математической теории оптимального планирования эксперимента существует 2 основных раздела:

1. планирование эксперимента для изучения механизмов сложных процессов и свойств многокомпонентных систем.

2. планирование эксперимента для оптимизации технологических процессов и свойств многокомпонентных систем.

Планирование эксперимента – это выбор числа опытов и условий их проведения необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Эксперимент, который ставится для решений задач оптимизации, называется экстремальным. Примерами задач оптимизации являются выбор оптимального состава многокомпонентных смесей, повышение производительности действующей установки, повышение качества продукции и снижение затрат на её получение. Прежде чем планировать эксперимент необходимо сформулировать цель исследования. От точной формулировки цели зависит успех исследования. Необходимо также удостовериться, что объект исследования соответствует предъявляемым ему требованиям. В технологическом исследовании целью исследования при оптимизации процесса чаще всего является повышение выхода продукта, улучшение качества, снижение себестоимости.

Эксперимент может проводиться непосредственно на объекте или на его модели. Модель отличается от объекта не только масштабом, а иногда природой. Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть перенесён на модель. Для описания понятия «объект исследования» можно использовать представление о кибернетической системе, которая носит название чёрный ящик.

Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования и называются выходными параметрами ( y ) или параметрами оптимизации .

Для проведения эксперимента необходимо воздействовать на поведение чёрного ящика. Все способы воздействия обозначаются через «x» и называются входными параметрами или факторами . Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений, и такие значения называются уровнями . Фиксированный набор уровней и факторов определяет одно из возможных состояний чёрного ящика, одновременно они являются условиями проведения одного из возможных опытов. Результаты эксперимента используются для получения математической модели объекта исследования. Использование для объекта всех возможных опытов приводит к абсурдно большим экспериментам. В связи с этим эксперименты необходимо планировать.

Задачей планирования является выбор необходимых для эксперимента опытов, методов математической обработки их результатов и принятия решений. Частный случай этой задачи – планирование экстремального эксперимента. То есть эксперимента поставленного с целью поиска оптимальных условий функционирования объекта. Таким образом, планирование экстремального эксперимента – это выбор количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий. При планировании эксперимента объект исследования должен обладать обязательными свойствами:

1.управляемым

2.результаты эксперимента должны быть воспроизводимыми.

Эксперимент называется воспроизводимым , если при фиксированных условиях опыта получается один и тот же выход в пределах заданной относительно небольшой ошибки эксперимента (2%-5%). Эксперимент проводят при выборе некоторых уровней для всех факторов, затем он повторяется через неравные промежутки времени. И значения параметров оптимизации сравниваются. Разброс этих параметров характеризует воспроизводимость результатов. Если он не превышает заранее заданной величины, то объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов.

При планировании эксперимента активное вмешательство предполагает процесс и возможность выбора в каждом опыте тех факторов, которые представляют интерес. Экспериментальное исследование влияния входных параметров (факторов) на выходные может производиться методом пассивного или активного эксперимента. Если эксперимент сводится к получению результатов наблюдения за поведение системы при случайных изменениях входных параметров, то он называется пассивным . Если же при проведении эксперимента входные параметры изменяются по заранее заданному плану, то такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. На практике не существует абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемый, так и неуправляемый факторы. Неуправляемые факторы действуют на воспроизводимость эксперимента. Если все факторы неуправляемы, возникает задача установления связи между параметром оптимизации и факторами по результатам наблюдений или по результатам пассивного эксперимента. Возможна также плохая воспроизводимость изменения факторов во времени.

3. Параметры оптимизации

3.1 Виды параметров оптимизации

Параметр оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными (рис. 1).

Прокомментируем некоторые элементы схемы. Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль, себестоимость и рентабельность, обычно используются при исследовании действующих промышленных объектов, тогда как затраты на эксперимент имеет смысл оценивать в любых исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на эксперимент» пропорциональны числу опытов, которые необходимо поставить для решения данной задачи. Это в значительной мере определяет выбор плана эксперимента.

Среди технико-экономических параметров наибольшее распространение имеет производительность. Такие параметры, как долговечность, надежность и стабильность, связаны с длительными наблюдениями. Имеется некоторый опыт их использования при изучении дорогостоящих ответственных объектов, например радиоэлектронной аппаратуры.

Почти во всех исследованиях приходится учитывать количество и качество получаемого продукта. Как меру количества продукта используют выход, например, процент выхода готовой продукции.

Показатели качества чрезвычайно разнообразны. В нашей схеме они сгруппированы по видам свойств. Характеристики количества и качества продукта образуют группу технико-технологических параметров.

В группе «прочие» сгруппированы различные параметры, которые реже встречаются, но не являются менее важными. Сюда попали статистические параметры, используемые для улучшения характеристик случайных величин или случайных функций.

3.2 Требования к параметру оптимизации

Параметр оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Мы должны уметь его измерять при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, будем называть областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

Уметь измерять параметр оптимизации – это значит располагать подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может не существовать или он слишком дорог. Если нет способа количественного измерения результата, то приходится воспользоваться приемом, называемым ранжированием (ранговым подходом). При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.

Ранг – это количественная оценка параметра оптимизации, но она носит условный (субъективный) характер. Мы ставим в соответствие качественному признаку некоторое число – ранг. Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации можно построить ранговый аналог. Потребность в построении такого аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении исследователя численные характеристики неточны или неизвестен способ построения удовлетворительных численных оценок. При прочих равных условиях всегда нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый подход менее чувствителен и с его помощью трудно изучать тонкие эффекты.

Пример: Технолог разработал новый вид продукта. Вам необходимо оптимизировать этот процесс.

Цель процесса – получение вкусного продукта, но такая формулировка цели еще не дает возможности приступить к оптимизации: необходимо выбрать количественный критерий, характеризующий степень достижения цели. Можно принять следующее решение: очень вкусный продукт получает отметку 5, просто вкусный продукт – отметку 4 и т.д.

Можно ли после такого решения переходить к оптимизации процесса? Нам важно количественно оценить результат оптимизации. Решает ли отметка эту задачу? Конечно, потому что, как мы договорились, отметка 5 соответствует очень вкусному продукту и т.д. Другое дело, что этот подход, называемый ранговым, часто оказывается грубым, нечувствительным. Но возможности такой количественной оценки результатов не должна вызывать сомнений.

Следующее требование: параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Например: регистрация показания прибора.

Еще одно требование, связанное с количественной природой параметра оптимизации, – однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. (Однако обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов.)

Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле. Это требование является главным, определяющим корректность постановки задачи.

Представление об эффективности не остается постоянным в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов. Это приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так, например, на первых стадиях исследования технологических процессов в качестве параметра оптимизации часто используется выход продукта. Однако в дальнейшем, когда возможность повышения выхода исчерпана, нас начинают интересовать такие параметры, как себестоимость, чистота продукта и т.д.

Говоря об оценке эффективности функционирования системы, важно помнить, что речь идет о системе в целом. Часто система состоит из ряда подсистем, каждая из которых может оцениваться своим локальным параметром оптимизации.

Следующее требование к параметру оптимизации – требование универсальности или полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект. В частности, технологические параметры оптимизации недостаточно универсальны: они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров.

Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым.

Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов эксперимента.

Таким образом, параметр оптимизации должен быть:

– эффективным с точки зрения достижения цели;

– универсальным;

– количественным и выражаться одним числом;

– статистически эффективным;

– имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым.

В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. В ходе исследования могут меняться априорные представления об объекте исследования, что приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации.

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, только один, часто обобщенный, может служить параметром оптимизации. Остальные рассматриваются как ограничения.

4. Факторы оптимизации

4.1 Определение фактора

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования.

Так же, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Фактор считают заданным, если вместе с его названием указана область его определения.

Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор.

Совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множества значений, образующих область определения. Область определения может быть непрерывной и дискретной. Однако в основном, в задачах планирования эксперимента, используются дискретные области определения. Так, для факторов с непрерывной областью определения, таких, как температура, время, количество вещества и т.п., всегда выбираются дискретные множества уровней.

В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер.

Факторы классифицируют в зависимости от того, является ли фактор переменной величиной, которую можно оценивать количественно: измерять, взвешивать, титровать и т.п., или же он – некоторая переменная, характеризующаяся качественными свойствами.

Факторы разделяются на количественные и качественные.

Качественные факторы – это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т.д.

Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала в том смысле, как это понимается для количественных факторов, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда, т.е. производит кодирование. Порядок уровней может быть произволен, но после кодирования он фиксируется.

Качественным факторам не соответствует числовая шкала, и порядок уровней факторов не играет роли.

Время реакции, температура, концентрация реагирующих веществ, скорость подачи веществ, величина рН – это примеры наиболее часто встречающихся количественных факторов. Различные реагенты, адсорбенты, вулканизующие агенты, кислоты, металлы являются примером уровней качественных факторов.

4.2 Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента

При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т.е. может управлять фактором. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Пример: Вы изучаете процесс синтеза аммиака. Колонна синтеза установлена на открытой площадке. Является ли температура воздуха фактором, который можно включить в планирование эксперимента?

Температура воздуха – фактор неуправляемый. Мы еще не научились делать погоду по заказу. А в планировании могут участвовать только те факторы, которыми можно управлять, – устанавливать и поддерживать на выбранном уровне в течение опыта или менять по заданной программе. Температурой окружающей среды в данном случае управлять невозможно. Ее можно только контролировать.

Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора будем называть операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.

С операциональным определением связаны выбор размерности фактора и точность его фиксирования.

Точность замера факторов должна быть возможно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах необходимо учитывать, быть может, доли секунды.

Факторы должны быть непосредственными воздействиями на объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который, является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать сложные факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т.п.

Таким образом, установили, что факторы – это переменные величины, соответствующие способам воздействия внешней среды на объект.

Они определяют как сам объект, так и его состояние. Требования к факторам: управляемость и однозначность.

Управлять фактором – это значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течение опыта или менять по заданной программе. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования.

Требования к совокупности факторов: совместимость и отсутствие линейной корреляции. Выбранное множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведет к неправильному определению оптимальных условий или к большой ошибке опыта. Факторы могут быть количественными и качественными.

5. Ошибки опыта

Изучение всех влияющих на исследуемый объект факторов одновременно провести невозможно, поэтому в эксперименте рассматривается их ограниченное число. Остальные активные факторы стабилизируются, т.е. устанавливаются на каких-то одинаковых для всех опытов уровнях.

Некоторые факторы не могут быть обеспечены системами стабилизации (например, погодные условия, самочувствие оператора и т.д.), другие же стабилизируются с какой-то погрешностью (например, содержание какого-либо компонента в среде зависит от ошибки при взятии навески и приготовления раствора). Учитывая также, что измерение параметра у осуществляется прибором, обладающим какой-то погрешностью, зависящей от класса точности прибора, можно прийти к выводу, что результаты повторностей одного и того же опыта у к будут приближенными и должны отличаться один от другого и от истинного значения выхода процесса. Неконтролируемое, случайное изменение и множества других влияющих на процесс факторов вызывает случайные отклонения измеряемой величины у к от ее истинного значения – ошибку опыта.

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (или параллельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и нужно оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится по возможности в одинаковых условиях несколько раз и затем берется среднее арифметическое всех результатов. Среднее арифметическое у равно сумме всех n отдельных результатов, деленной на количество параллельных опытов n:

Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического можно представить как разность y 2 – , где y 2 – результат отдельного опыта. Наличие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений повторных опытов. Для измерения этой изменчивости чаще всего используют дисперсию.

Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения. Дисперсия обозначается s 2 и выражается формулой:

где (n-1) – число степеней свободы, равное количеству опытов минус единица. Одна степень свободы использована для вычисления среднего.

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется средним квадратическим отклонением, стандартом или квадратичной ошибкой:

Ошибка опыта является суммарной величиной, результатом многих ошибок: ошибок измерений факторов, ошибок измерений параметра оптимизации и др. Каждую из этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие.

Все ошибки принято разделять на два класса: систематические и случайные (рисунок 1).

Систематические ошибки порождаются причинами, действующими регулярно, в определенном направлении. Чаще всего эти ошибки можно изучить и определить количественно. Систематическая ошибка – это ошибка, которая остаётся постоянно или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Эти ошибки появляются вследствие неисправности приборов, неточности метода измерения, какого либо упущения экспериментатора, либо использования для вычисления неточных данных. Обнаружить систематические ошибки, а также устранить их во многих случаях нелегко. Требуется тщательный разбор методов анализа, строгая проверка всех измерительных приборов и безусловное выполнение выработанных практикой правил экспериментальных работ. Если систематические ошибки вызваны известными причинами, то их можно определить. Подобные погрешности можно устранить введением поправок.

Систематические ошибки находят, калибруя измерительные приборы и сопоставляя опытные данные с изменяющимися внешними условиями (например, при градуировке термопары по реперным точкам, при сравнении с эталонным прибором). Если систематические ошибки вызываются внешними условиями (переменной температуры, сырья и т.д.), следует компенсировать их влияние.

Случайными ошибками называются те, которые появляются нерегулярно, причины, возникновения которых неизвестны и которые невозможно учесть заранее. Случайные ошибки вызываются и объективными причинами и субъективными. Например, несовершенством приборов, их освещением, расположением, изменением температуры в процессе измерений, загрязнением реактивов, изменением электрического тока в цепи. Когда случайная ошибка больше величины погрешности прибора, необходимо многократно повторить одно и тоже измерение. Это позволяет сделать случайную ошибку сравнимой с погрешностью вносимой прибором. Если же она меньше погрешности прибора, то уменьшать её нет смысла. Такие ошибки имеют значение, которое отличается в отдельных измерениях. Т.е. их значения могут быть неодинаковыми для измерений сделанных даже в одинаковых условиях. Поскольку причины, приводящие к случайным ошибкам неодинаковы в каждом эксперименте, и не могут быть учтены, поэтому исключить случайные ошибки нельзя, можно лишь оценить их значения. При многократном определении какого-либо показателя могут встречаться результаты, которые значительно отличаются от других результатов той же серии. Они могут быть следствием грубой ошибки, которая вызвана невнимательностью экспериментатора.

Систематические и случайные ошибки состоят из множества элементарных ошибок. Для того чтобы исключать инструментальные ошибки, следует проверять приборы перед опытом, иногда в течение опыта и обязательно после опыта. Ошибки при проведении самого опыта возникают вследствие неравномерного нагрева реакционной среды, разного способа перемешивания и т.п.

При повторении опытов такие ошибки могут вызвать большой разброс экспериментальных результатов.

Очень важно исключить из экспериментальных данных грубые ошибки, так называемый брак при повторных опытах. Грубые ошибки легко обнаружить. Для выявления ошибок необходимо произвести измерения в других условиях или повторить измерения через некоторое время. Для предотвращения грубых ошибок нужно соблюдать аккуратность в записях, тщательность в работе и записи результатов эксперимента. Грубая ошибка должна быть исключена из экспериментальных данных. Для отброса ошибочных данных существуют определённые правила.

Например, используют критерий Стьюдента t(Р; f): Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение критерия t по модулю больше табличного значения t(Р; f).

Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка дисперсии S 2 (y k) с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки рассчитываются с помощью критерий Стьюдента t(Р; f):

ε() = t (Р; f)* S(y k)/ = t (Р; f)* S()

ε(y k) = t(Р; f)* S(y k)

6. Результат прямого измерения – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения

Результаты, которые получаются при экспериментальном исследовании какого-либо технологического процесса, зависят от целого ряда факторов. Поэтому результат исследования является случайной величиной, распределённой по нормальному закону распределения. Оно названо нормальным, т. к. именно это распределение для случайной величины является обычным и называется гаусовским или лапласским. Под распределением случайной величины понимают совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям.

При экспериментальном исследовании какого-либо технологического процесса измеряемый результат последнего является случайной величиной, на которую оказывает влияние огромное число факторов (изменение погодных условий, самочувствие оператора, неоднородность сырья, влияние износа измерительной и стабилизирующей аппаратуры и т.д. и т.п.). Именно поэтому результат исследования является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Однако если исследователь какой-либо активный фактор не заметил или отнес его к неактивным, а неконтролируемое изменение этого фактора может вызвать несоразмерно большое изменение эффективности процесса и параметра, характеризующего эту эффективность, то распределение вероятности последнего может нормальному закону не подчиниться.

Точно так же приведет к нарушению нормальности закона распределения наличие в массиве экспериментальных данных грубых ошибок. Именно поэтому в первую очередь проводят анализ на наличие в экспериментальных данных грубых ошибок с принятой доверительной вероятностью.

Случайная величина будет распределена по нормальному закону, если она представляет собой сумму очень большого числа взаимно зависимых случайных величин, влияния каждой из которых ничтожно мало. Если измерения искомой величины y проведены много раз, то результат можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показывала бы, как часто получались те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой. Что бы построить гистограмму нужно разбить весь диапазон измеренных значений на равные интервалы. И посчитать сколько раз каждая величина попадает в каждый интервал.

Если измерения продолжать до тех пор, пока число измеренных значений n не станет очень большим, то ширину интервала можно сделать очень малой. Гистограмма перейдёт в непрерывную прямую, которая называется кривой распределения .

В основе теории случайных ошибок лежат два предположения:

1.при большом числе измерений случайные погрешности одинаково велики, но с разными знаками встречаются одинаково часто;

2.большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые. Т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом её величины.

Согласно закону больших чисел при бесконечно большом числе измерений n, истинное значение измеряемой величины y равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений ỹ

Для всех m-повторностей можно записать:

Разделив это уравнение на число повторностей m, получим после подстановки:

За экспериментальную оценку истинного значения (математического ожидания) критерия оптимальности у принимается среднеарифметическая оценка результатов всех т повторностей:

Если число m велико (m→∞), то будет справедливо равенство:

Таким образом, при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины y равно среднеарифметическому значению ỹ всех результатов произведённых измерений: y═ỹ, при m→∞.

При ограниченном числе измерений (m≠∞) среднеарифметическое значение y будет отличаться от истинного значения, т.е. равенство y═ỹ будет неточным, а приближённым: y≈ỹ и величину этого расхождения необходимо оценить.

Если в распоряжении исследователя имеется только единичный результат измерения y k , то оценка истинного значения измеряемой величины будет менее точной. чем среднеарифметическая оценка при любом числе повторностей: |y─ỹ|<|y-yk|.

Появление того или иного значения yk в процессе измерения является случайным событием. Функция плотности нормального распределения случайной величины характеризуется двумя параметрами:

· истинным значением y;

· среднеквадратичным отклонением σ.

Рисунок – 1а – кривая плотности нормального распределения; 1б –кривая плотности вероятности нормально распределенной случайной величины при различных дисперсиях

Плотность нормального распределения (рис. 1а) симметрична относительно y и достигает максимального значения при yk= y, стремится к 0 при увеличении.

Квадрат среднеквадратичного отклонения называется дисперсией случайной величины и является количественной характеристикой разброса результатов вокруг истинного значения y. Мера рассеяния результатов отдельных измерений yk от среднего значения ỹ должна выражаться в тех же единицах, то и значения измеряемой величины. В связи с этим в качестве показателя разброса гораздо чаще используют величину σ:

Значения этой величины определяют форму кривой распределения py. Площади под тремя кривыми одинаковы, но при малых значения σ кривые идут более круто и имеют большее значение py. С увеличением σ значение py уменьшается и кривая распределения растягивается вдоль оси y. Т.о. кривая 1 характеризует плотность распределения случайной величины, воспроизводимость которой в повторных измерениях лучше, чем воспроизводимость случайных величин имеющих плотность распределения 2, 4. На практике не возможно произвести слишком много замеров. Поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истинное значение y. В этом случае хорошим приближением к истинному значению можно считать ỹ, а достаточно точной оценкой ошибки выборочную дисперсию ρ²n, вытекающую из закона распределения, но относящуюся к конечному числу измерения. Такое название величины ρ²n объясняется тем, что из всего множества возможных значений yk, т.е. из генеральной совокупности выбирают лишь конечное число значений равное m, называемых выборкой, которая характеризуется выборочным средним значением и выборочной дисперсией.

7. Экспериментальные оценки истинных значений измеряемой случайной величины и её среднеквадратичного отклонения

Если в распоряжении исследователя находится конечное число независимых результатов повторности одного и того же опыта, то он может получить лишь экспериментальные оценки истинного значения и дисперсии результата опыта.

Оценки должны обладать следующими свойствами:

1.Несмещённости, проявляющейся в том, что теоретическое среднее совпадает с истинным значением измеряемого параметра.

2.Состоятельности, когда оценки при неограниченном увеличении числа измерений могут иметь сколь угодно малый доверительный интервал при доверительной вероятности.

3.Эффективности, проявляющейся в том, что из всех несмешанных оценок данная оценка будет иметь наименьшее рассеяние (дисперсию).

Экспериментальная оценка среднеквадратичного отклонения обозначается S с указанием в скобках символа анализируемой величины, т.е.

S (yk) – среднеквадратичного отклонение единичного результата.

S (y) – среднеквадратичное отклонение среднего результата.

Квадрат экспериментальной оценки среднеквадратичного отклонения S² является экспериментальной оценкой дисперсии:

Для обработки результатов наблюдения можно использовать следующую схему:

Определение среднего значения полученных результатов:

Определение отклонения от среднего значения для каждого результата:

Эти отклонения характеризуют абсолютную ошибку определения. Случайные ошибки имеют разные знаки, когда значение результата опыта превышает среднее значение, ошибка опыта считается положительной, когда значение результата опыта меньше среднего значения, ошибка считается отрицательной.

Чем точнее произведены измерения, тем ближе значение отдельных результатов и среднее значение.

Если по m результатам рассчитывают оценку истинного значения , а затем, используя те же результаты, рассчитывают оценки абсолютных отклонений:

то оценку дисперсии единичного результата находят по зависимости:

Разность между числом т независимых результатов у к и числом уравнений, в которых эти результаты уже были использованы для расчета неизвестных оценок, называют числом степеней свободы f :

Для оценки дисперсии эталонного процесса f=m.

Поскольку средняя оценка является более точной, чем единичная у к, дисперсия средних будет меньше дисперсииединичных результатов в m раз, если рассчитано по всем m единичным результатам у к :

Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка дисперсии S 2 (y к) с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки рассчитывают с помощью критерия Стьюдента t(P; f):

где Р – доверительная вероятность (Р=1-q, q– уровень значимости).

Проверка надёжности полученных результатов по критерию Стьюдента для проведенного числа опытов m при избранной доверительной вероятности (надёжности) Р=0,95; 0,99. Это значит, что 95% или 99% абсолютных отклонений результатов лежит в указанных пределах. Критерий t(P; f) с доверительной вероятностью Р показывает во сколько раз модуль разности между истинным значением определённой величины y и средним значением ỹ больше стандартного отклонения среднего результата.

8. Определение грубых ошибок среди результатов повторностей опыта

При статистическом анализе экспериментальных данных для процессов, негативный результат которых не создает ситуаций, опасных для жизни людей или утраты больших материальных ценностей, доверительная вероятность обычно принимают равной Р=0,95

Среди результатов y k повторностей опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других. Это может быть связано либо с какой-то грубой ошибкой, либо с неизбежным случайным влиянием неучтенных факторов на результат данной повторности опыта.

Признаком наличия «выделяющегося» результата среди других является большая величина отклонения │▲y k │= y k – yˉ.

Если ▲y k >y пред, то такие результаты относятся к грубым ошибкам. Предельное абсолютное отклонение определяют в зависимости от сложившейся ситуации различными методами. Если, например, проводиться статистический анализ экспериментальных данных опыта с эталонным процессом (известно истинное значение результата опыта и ▲y k =y k -y) и если исследователь имеет в своем распоряжении оценку дисперсии S 2 (y k) с таким большим числом степеней свободы, то может принять f→∞ и S 2 (y k)=σ 2 , то для определения грубых ошибок можно применить правило «2-х сигм»: все результаты, абсолютные отклонения которых по модулю превышают величину двух среднеквадратичных отклонений с надежностью 0,95 считаются грубыми ошибками и исключаются из массива экспериментальных данных (вероятность исключения достоверных результатов равна уровню значимости q=0,05).

Если доверительная вероятность отличается от 0,95 то пользуются правилом «одной сигмы» (Р=0,68) или правилом «трех сигм» (Р=0,997), или по заданной вероятности Р=2Ф(t) – 1 находят Ф(t) по справочным данным и параметр t, по которому и рассчитывают абсолютное отклонение:

Если в распоряжении исследователя имеется лишь приближенная оценка дисперсии с небольшим (конечным) числом степеней свободы, то применение правила «сигм» может привести либо к необоснованному исключению достоверных результатов либо к необоснованному оставлению ошибочных результатов.

В этой ситуации для определения грубых ошибок можно применить критерий максимального отклонения r max (P, m), взятый из соответствующих таблиц. Для этого r max сравнивают с величиной r, равной

(22)

Если r > r max , то данный результат должен исключаться из дальнейшего анализа, оценка y ˉ должна быть пересчитана, изменяются абсолютные отклонения ▲y k и соответственно оценка дисперсии S 2 (y k) и S 2 (yˉ). Анализ на грубые ошибки повторяют при новых значениях оценок yˉ и S 2 (y k), прекращают его при r <= r max .

При пользовании формулой (22) следует применять оценку дисперсии, полученную по результатам повторностей опыта, среди которых находится сомнительный результат.

Для определения грубых ошибок существуют и другие методы, среди которых наиболее быстрым является метод «по размаху» , основанный на оценке максимальных различий полученных результатов. Анализ по этому методу проводят в такой последовательности:

1)располагают результаты y k в упорядоченный ряд, в котором максимальному результату присваивается номер первый (y1), а максимальному – наибольший (y m).

2)Если результатом, вызывающим сомнение, будет y m , рассчитывают отношение

если сомнительным результатом будет y 1 – отношение

3)при заданном уровни значимости q и известном числе повторностей m по приложению 6 находят табличное значение критерия α Т.

4)если α > α Т, то подозреваемый результат является ошибочным и его следует исключить.

После исключения грубой ошибки находят по таблице новую величину α Т и решают судьбу следующего «подозреваемого» результата, сравнивая α Т и рассчитанный для него α.

Если есть основание предполагать, что 2 наибольших (2 наименьших) результата являются «промахами», то их можно выявить в один прием, используя соответствующий столбец таблицы приложения 6 для определения α Т и рассчитывая α по формуле:

Средневзвешенные оценки дисперсии. Анализ однородности исходных оценок дисперсии

Если в распоряжении экспериментатора имеются результаты многократных измерений величин критерия оптимальности в опытах при различных условиях ведения процесса, то появляется возможность расчета средневзвешенной оценки дисперсии единичного результата, единой для всех опытов эксперимента.

В каждом из N опытов (номер опыта и = 1+ N ) оценка дисперсии единичного результата равна

где т и – число повторностей и-го опыта.

Средневзвешенная оценка дисперсии единичного результата рассчитывается по всем оценкам дисперсии единичного результата опытов:

а) при различных т и

где - число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии; т и – 1 = f u – «вес» соответствующей и-ой оценки дисперсии, равный числу степеней свободы f u ;

б) прит и = т = const

где N(m-1)=f– число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии.

Прежде чем пользоваться соотношениями (28) и (29) для расчета средневзвешенных уточненных оценок дисперсии (чем больше число степеней свободы, тем более точной будет оценка дисперсии), надо доказать однородность исходных оценок дисперсии.

Определение «однородные» в статистике означает «являющиеся оценкой одного и того же параметра» (в данном случае – дисперсии σ 2).

Если измеряемая случайная величина у ик распределена по нормальному закону во всем исследуемом диапазоне, то независимо от значений и дисперсия σ не будет изменять своей величины и оценки этой дисперсии должны быть однородными. Однородность этих оценок проявляется в том, что они могут отличаться друг от друга лишь незначительно, в пределах, зависящих от принятой вероятности и объема экспериментальных данных.

Если т и = т и f = const, то однородность оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия Кохрена G kp . Вычисляют отношение максимальной дисперсии S 2 ( y uk ) max к сумме всех дисперсий

и сравнивают это отношение с величиной критерия Кохрена G kp ( P ; f ; N ). Если G < Gkp , то оценки однородны.

Таблица значений критерия Кохрена в зависимости от числа степеней свободы числителя f u , числа сравниваемых дисперсий N и принятого уровня значимости q = 1 – Р дана в приложении.

Если число повторностей в опытах различно ( f lt ≠ const), однородность оценок дисперсии можно проанализировать с помощью критерия Фишера F Т. Для этого из N оценок дисперсии выбирают 2: максимальную S 2 (y uk) max и минимальную S 2 (y uk) min . Если вычисленное значение F их отношения меньше Ft ,

то все N оценок дисперсии будут однородны.

Значения критерия Фишера F T даны в приложении в зависимости от принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f 1 иf 2 оценок S 2 (y uk) max и S 2 (y uk) min соответственно.

Если оценки дисперсии непосредственно измеряемого параметра у оказались неоднородными, т.е. оценками различных дисперсий, то средневзвешенная оценка не может быть рассчитана. И кроме того, величины у к уже нельзя считать подчиняющимися нормальному закону, при котором дисперсия может быть лишь одной и неизменной при любом у.

Причиной нарушения нормального закона распределения может быть наличие оставшихся грубых ошибок (анализ на грубые ошибки либо не проводился, либо проведен недостаточно тщательно).

Другой причиной может быть наличие активного фактора, ошибочно отнесенного исследователем к неактивным и не снабженного системой стабилизации. Поскольку условия изменились, этот фактор стал значимо влиять на процесс.

9. Планирование и обработка результатов однофакторных экспериментов

9.1 Формализация экспериментальных данных методом наименьших квадратов

Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью у = f(C). Если конкретному значению С и соответствует единственное значение у и, то такая зависимость называется функциональной. Эту зависимость получают путем строгих логических доказательств, не нуждающихся в опытной проверке. Например, площадь квадрата ω может быть представлена функциональной зависимостью от размера стороны квадрата а: ω = а 2 .

Если у и остается неизменным в то время как С и изменяется, то у не зависит от С. Например, угол при вершине квадрата равный π/2, не зависит от размера стороны а и.

Если для оценки величин у и и С и используются данные наблюдений, величины случайные, то функциональная зависимость между ними существовать не может.

Измерив отдельно сторону а и площадь ω квадрата, можно убедиться, что полученные результаты не могут быть представлены с абсолютной точностью зависимостью ω = а 2 .

К формализации экспериментальных данных, т.е. построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить эвристическую (детерминированную) математическую модель из-за недостаточного понимания механизма процесса или его чрезмерной сложности.

Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказать поведение объекта за пределами изученного диапазона изменения переменных.

Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математической модели, исследователь должен определить необходимый объем опытных данных с учетом количества принятых к исследованию факторов, воспроизводимости процесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения.

Если по результатам эксперимента, состоящего из двух опытов, получено линейное однофакторное уравнение у = b 0 + b 1 С , то построенная по этому уравнению прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки. Следовательно, для того чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает данный процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает возможность осуществить корректную процедуру проверки пригодности уравнения. Однако проверку обычно проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения, а по всем экспериментальным точкам, число которых (N) должно превышать число коэффициентов уравнения (N ")

Так как N > N ", решение такой системы требует специального подхода.

9.2 Симметричный и равномерный план однофакторного эксперимента

Задача в значительной степени упростится, если при планировании эксперимента, можно будет обеспечить условие:

При натуральной размерности факторов выполнить условие ΣC u =0 невозможно, т. к. в этом случае величина фактора должна иметь как положительные значения, так и отрицательные.

Если же точку отсчета величины фактора перенести в середину диапазона изменения фактора (центр эксперимента)

то появляется возможность удовлетворить условию в виде , где С " u =С u – С 0.

Для равномерного плана С u – С (u -1) = λ = const,

где λ – интервал варьирования фактора.

Условие может быть выполнено, если для обозначения величины фактора использовать безразмерные выражения:

отсюда легко увидеть, что условие эквивалентно условию и такие планы называют симметричными.

При составлении плана диапазон фактора ориентировочно ограничивают величинами С min и С max , назначенными после изучения литературы по теме исследования. От опыта к опыту предусматривают такое изменение величины фактора, которое позволило бы достоверно уловить имеющимися в распоряжении исследователя приборами изменение выхода процесса .

С учетом величины λ и диапазона (С max – C min) определяют число опытов, округляя его до нечетного N:

Затем определяют величины факторов в каждом из N опытов и уточняют исследуемый диапазон фактора С N – С 1:

где х u – безразмерное выражение фактора, аналогичное полученному по соотношению

Для расчета коэффициентов уравнения используем формулу:

множители а ju и знаменатель l j берем из приложения.

Число опытов эксперимента может быть четным или нечетным, и, как правило, должно быть больше числа коэффициентов N" уравнения.

Чем больше разность (N – N"), тем с большей точностью можно получить оценки коэффициентов данного уравнения и тем в большей степени эти оценки будут освобождены от влияния случайных неуточненных факторов.

Задачи планирования эксперимента (ПЭ). Основные понятия ПЭ. Планирование эксперимента как метод получения функции связи. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Статистическая обработка результатов ПФЭ. Оптимизация РЭС методом крутого восхождения. Оптимизация РЭС симплексным методом.

Понятие планирования эксперимента(вопр.25)

Методы планирования эксперимента позволяют решать задачи выделения критичных первичных параметров (отсеивающие эксперименты: однофакторный эксперимент, метод случайного баланса), получения математического описания функции связи (ПФЭ), оптимизации РЭС (метод крутого восхождения и симплексный метод).

Выбранный критерий оптимизации должен отвечать ряду требований.

ПФЭ проводится по определенному плану (матрице ПФЭ). Для сокращения объема эксперимента используют дробные реплики.

Статистическая обработка результатов ПФЭ содержит проверку воспроизводимости опыта, оценку значимости коэффициентов модели, проверку адекватности модели.

Следует рассмотреть особенности метода крутого восхождения, симплексного метода оптимизации и последовательность проведения эксперимента для каждого из них.

Мысль о том, что эксперимент можно планировать, восходит к глубокой древности. Наш далекий предок, убедившийся, что острым камнем можно убить даже мамонта, несомненно выдвигал гипотезы , которые после целенаправленной экспериментальной проверки привели к созданию копья, дротика, а затем и лука со стрелами. Он, однако, не пользовался статистическими методами, поэтому остается непонятным, как он вообще выжил и обеспечил тем самым наше существование .

В конце 20-х г.г. XX века Рональд Фишер впервые показал целесообразность одновременного варьирования всеми факторами.

Идея метода Бокса-Уилсона проста: экспериментатору предлагается ставить последовательно небольшие серии опытов , в каждой из которых одновременно изменяются по определенным правилам все факторы. Серии организуются таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было выбрать условия проведения (т. е. спланировать) следующую серию. Так последовательно шаг за шагом достигается область оптимума . Применение ПЭ делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, повышает производительность труда и надежность результатов.

ПЭ позволяет:

– сократить количество опытов;

– найти оптимум;

– получить количественные оценки влияния факторов;

– определить ошибки.

Планирование эксперимента (ПЭ) по ГОСТ 24026–80 – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. Иначе, ПЭ – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и изучением оптимальных программ проведения экспериментальных исследований.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов.

В ПЭ вводится понятие объекта исследования – системы, которая определенным образом реагирует на интересующее исследователя возмущение.

В проектировании ЭС объектом исследования может быть любое РЭУ (рисунок 42).

Рисунок 42 – Объект исследования

Объект исследования должен отвечать двум основным требованиям:

– воспроизводимость (повторяемость опытов);

– управляемость (условие проведения активного эксперимента заключающееся в возможности установки требуемых значений факторов и поддержании их на этом уровне).

Применение методов ПЭ для исследования РЭС основывается на том, что объект исследования (РЭС) можно представит кибернетической моделью – «черным ящиком» (см. рисунок 2), для которого может быть записана функция связи (см. формулу 1.1).

Для объекта исследования (усилителя на рисунке 42) формула 1.1 имеет вид:
,

где
,
,
,…,
.

В ПЭ функция связи или математическая модель объекта исследования – численные характеристики целей исследования (выходы «черного ящика»), выходные параметры РЭУ, параметры оптимизации.

Состояние «черного ящика» определяется набором факторов, переменных величин, влияющих на значение выходного параметра.

По ГОСТ 24026–80 фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результат эксперимента.

Для применения методов ПЭ фактор должен быть:

– управляемым (выбрав нужное значение фактора, его можно установить и поддерживать постоянным в течение эксперимента);

– однозначным;

– независимым (не быть функцией другого фактора);

– совместимым в совокупности с другими факторами (т. е. все комбинации факторов осуществимы);

– количественным;

– точность установки (измерения) значения фактора должна быть высока.

Каждый фактор в проводимом эксперименте может принимать одно или несколько значений – уровни факторов. По ГОСТ 24026–80 уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений – непрерывный ряд. Практически принимается, что фактор имеет определенное количество дискретных уровней.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика» – условия проведения одного опыта.

Если перебрать все возможные наборы уровней факторов, то получим полное множество различных состояний «черного ящика» – ,

где p – количество уровней,

n – количество факторов.

Если эксперимент проводится для 2-х факторов на 2-х уровнях варьирования, то имеем 2 2 = 4 состояния;

для 3-х факторов на 2-х уровнях – 2 3 = 8;

для 3-х факторов на 3-х уровнях – 3 3 = 27;

для 5-ти факторов на 5-ти уровнях – 5 5 = 3125 состояний «черного ящика» или опытов.

В ПЭ вводится понятие «факторное пространство». Факторным называется пространство , координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Для «черного ящика» с двумя факторами x 1 , x 2 можно геометрически представить факторное пространство в виде рисунка 43. Здесь факторы изменяются (варьируются) на 2-х уровнях.

Для уменьшения количества опытов необходимо отказаться от экспериментов, которые содержат все возможные опыты. На вопрос: «Сколько опытов надо включить в эксперимент?» дают ответ методы ПЭ.

Известно, что минимальное количество опытов имеем при 2-х уровневом варьировании.

Итак, количество опытов 2 n .

Количество факторов n , участвующих в эксперименте, определяется с помощью отсеивающих экспериментов (однофакторного эксперимента, метода случайного баланса .

Рисунок 43 – Поверхность отклика

Так как каждому набору значений факторов соответствует некоторое (определенное) значение параметра выходного параметра y (параметра оптимизации), то имеем некоторую геометрическую поверхность отклика – геометрическое представление функции отклика.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Математическое описание поверхности отклика (математическая модель) – уравнение, связывающее параметр оптимизации y с факторами (уравнение связи, функция отклика, формула 1.1). В ПЭ принимаются следующие предположения о функции отклика (поверхности отклика):

– поверхность отклика – гладкая, непрерывная функция,

– функция имеет единственный экстремум.

Планирование эксперимента как метод получения функции связи(вопр.27)

Итак, вопрос о минимизации количества опытов связан с выбором количества уровней варьирования факторов p . В ПЭ принимают p =2, при этом количество опытов N = 2 n .

При выборе подобласти для ПЭ проходят два этапа:

– выбор основного уровня фактора (x i 0);

– выбор интервала варьирования (λ i ).

Введем обозначения:

–
–натуральное значение основного уровня i - го фактора (базовое значение, базовый уровень),

i – номер фактора.

Пример, если R 1 = 10 кОм (см. рисунок 42), то
кОм,

для R 2 = 3кОм –
кОм и т.д.;

–
–натуральное значение верхнего уровня фактора, которое определяется по формуле x imax = x i 0 + λ i ,

где – натуральное значение интервала варьирования i - го фактора.

В примере (см. рисунок 42) принимается = 20 кОм, тогда

x 1 max = 120 кОМ;

–
–натуральное значение нижнего уровня фактора, которое определяется по формуле x imin = x i 0 - λ I , в нашем примере x 1 min = 80 кОм.

На величину интервала варьирования накладываются естественные ограничения:

– интервал варьирования должен быть не меньше ошибки измерения фактора;

– интервал варьирования должен быть на больше пределов области определения фактора .

Выбор интервала варьирования неформализуемый этап, на котором используется следующая априорная информация:

– высокая точность установки значений факторов;

– предположение о кривизне поверхности отклика;

– диапазон возможного изменения факторов.

Для РЭС принимают = (0,1,…,0,3) x i 0 .

В примере (см. рисунок 42) подсчитаем значения трех факторов при заданном базовом уровне (x i 0 ) и интервале варьирования ().

Таблица 3.1 – Значения факторов

Параметр	Номинальное значение , кОм	Интервал , кОм
Параметр	Номинальное значение , кОм	Интервал , кОм	, кОм	, кОм

В ПЭ используются не натуральные, а кодированные значения факторов.

Кодирование факторов (по ГОСТ 24026–80 – «нормализация факторов») проводится по формуле:

Тогда если x 1 = x 1 max , то имеем x i =+1, если x 1 = x 1 min , – x i = –1, x i – кодированное значение фактора.

В самом простом случае ПЭ позволяет получить математическое описание функции связи (математическую модель объекта исследования – РЭУ) в виде неполного квадратичного полинома:

При этом осуществляется варьирование на двух уровнях (p =2), и минимальное количество опытов равно N =2 n , где n – количество наиболее влияющих факторов, включенных в эксперимент после проведения отсеивающих экспериментов.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

ПФЭ проводится по плану, который называется матрицей ПФЭ, или матрицей плана (таблицы 3.2 и 3.3).

Матрицей плана называют стандартную форму записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, стоки которой отвечают опытам, столбцы – факторам.

Таблица 3.2 – Матрица ПФЭ для двух факторов

			y j
			y 1
			y 2
			y 3
			y 4

В матрице ПФЭ знак ”–” (минус) соответствует ”+1”, а ”+” (плюс) ”соответствует ”–1”.

В матрице ПФЭ для двух факторов (n = 2) (см. таблицу 3.2) количество уровней варьирования – p = 2, количество опытов N = 2 2 = 4.

Таблица 3.3 – Матрица ПФЭ для трех факторов

				y j

В матрице ПФЭ для трех факторов (n = 3) (см. таблицу 3.3) количество уровней варьирования – p = 2, количество опытов N = 2 3 = 8.

В соответствии с планом проводится ПФЭ. Для примера на рисунке 42 принимаем n =3 и реализуем матрицу ПФЭ по таблице 3.3. Для этого:

x 1 , x 2 ,… x n на уровни по первой строке матрицы (см. таблицу 3.3) (–1, –1,…,–1);

– измеряют первое значение выходного параметра y 1 ;

– устанавливают значения факторов x 1 , x 2 ,… x n на уровни по второй строке матрицы (см. таблицу 3.3) (+1, –1,…,–1);

– измеряют второе значение выходного параметра y 2 , и так далее до последнего опыта N (y n ).

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности в силу ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (параллельных) опытов может не дать совпадающих результатов из-за ошибки воспроизводимости.

Если предположить, что закон распределения случайной величины y j – нормальный, то можно найти ее среднее значение при повторных опытах (по каждой строке матрицы).

Статистическая проверка гипотез

I гипотеза – о воспроизводимости опыта.

Для проверки этой гипотезы проводят серию повторных (параллельных) опытов (дублирование опытов по каждой строке матрицы). Вычисляют среднее значение выходного параметра

где l – номер повторного опыта,

–количество повторных, (параллельных) опытов.

Можно вычислить дисперсию каждого - го опыта (по каждой строке матрицы):

Дисперсия эксперимента определяется в результате усреднения дисперсий всех опытов:

Формулу можно применять, если дисперсии однородны, т. е. нет дисперсий больше остальных.

Гипотеза о равенстве (однородности) дисперсий проверяется по G - критерию Кохрена:

По таблице для степеней свободы

,
находят
.

Если
, то гипотеза об однородности дисперсий верна, опыт воспроизводим. Следовательно дисперсии можно усреднять, можно оценить дисперсию эксперимента , но для определенного уровня значимостиq .

Уровень значимости q – вероятность совершения ошибки (отклонение верной гипотезы или принятие неверной гипотезы).

Опыт может быть невоспроизводим при:

– наличии неуправляемых, неконтролируемых факторов;

– дрейфе фактора (изменении во времени);

– корреляции факторов.

Вычислив коэффициенты модели по формулам

для
,

для (
), проверяютгипотезу II – значимости коэффициентов по t - критерию Стьюдента.

По таблице находим
для
– числа степеней свободы и уровня значимости q . Количество дублируемых опытов (k ) в общем случае равно N .

Если
, то коэффициенты модели значимы.

Если
, то коэффициенты модели незначимы, т.е.
.

Статистическая незначимость коэффициентов модели b i может быть обусловлена следующими причинами:

– уровень базового значения фактора x i 0 близок к точке частного экстремума по переменной x i ;

– интервал варьирования мал;

– фактор x i не влияет на выходной параметр y (ошибочно включен в эксперимент);

– велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых факторов.

Запишем модель только со значимыми коэффициентами:

III гипотеза – адекватности модели.

Проверяется гипотеза о равенстве (однородности) двух дисперсий. Подсчитывается дисперсия адекватности по формуле:

где d – количество значимых коэффициентов модели;

–рассчитанное по модели значение выходного параметра. Для вычисления x i и x ih соответствующие первой строке матрицы. Для вычисления подставляют в модель со значимыми коэффициентами значенияx i и x ih соответствующие второй строке матрицы и т. д.

Модель адекватна результатам эксперимента, если выполняется условие

–определяется по таблице для
,
и уровня значимостиq .

Модель неадекватна результатам эксперимента если:

– не подходит форма аппроксимирующего полинома;

– большой интервал варьирования;

– велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых факторов или не включены в эксперимент значимые факторы.

Планирование экстремальных экспериментов

Метод крутого восхождения

Объект исследования – РЭС: усилитель, генератор, источник питания.

В качестве примера принимаем усилитель (рисунок 42).

Процедура метода крутого восхождения(вопр.30)

1 С центром в исходной точке (базовой, нулевой)
проводим ПФЭ для этого:

а) определяем интервал варьирования по каждому фактору и вычисляем уровни варьирования факторов (см. таблица 3.1);

б) строим матрицу ПФЭ N =2 n (см. таблицу 3.3);

в) проводим ПФЭ и измеряем значения выходного параметра y j ;

г) проводим статистическую обработку результатов эксперимента (проверяем I гипотезу о воспроизводимости опыта);

д) вычисляем линейные коэффициенты модели b 0 , b 1 , b 2 , b 3 и записываем уравнение в виде линейного полинома .

Например

Проверяем значимость коэффициентов модели и адекватность модели.

2 Записываем градиент функции отклика:

Для приведенного примера: .

3 Поставим задачу нахождения
.

Вычисляем произведение
по каждому фактору, где
– относительная величина интервала варьирования (таблица 3.4).

Таблица 3.4 – Параметры для проведения метода крутого восхождения

Параметр
b i

b i λ i
λ i кв
Округл. λ i кв
, кОм

4 Находим
и определяем базовыйi -й фактор с
.

В примере базовый фактор .

Для базового фактора принимаем шаг крутого восхождения
.

5 Вычисляем шаг крутого восхождения по остальным факторам по формуле

в числителе b i берется со своим знаком.

;

Округляем
.

Переведем относительную величину шага крутого восхождения в натуральное значение:

6 «Идем» в направлении максимума (экстремума) по градиенту.

Для этого нужно провести опыты в новых точках плана.

Сначала проводим «мысленные» опыты. «Мысленные» опыты заключаются в вычислении «предсказанных» значений выходного параметра
в определенных точках
факторного пространства.

Для этого:

а) подсчитываем значения факторов в «мысленных» опытах по формуле

где h = 1, 2, …, f –номер шага крутого восхождения (таблица 3.5);

Таблица 3.5 – «Шаги» крутого восхождения

N + h	Номер «шага» (h )

б) кодируем значения факторов для «мысленных» опытов и заносим в таблицу 3.6:

;

Таблица 3.6 – Значения кодированных факторов

N + h		x 2

в) подставляя кодированные значения факторов в уравнение

вычисляем выходной параметр
(,не вычисляют, они есть в ПФЭ).

Подсчитываем , , для модели примера:

7 Сравниваем результаты «мысленных» опытов с результатами эксперимента.

Выбираем
, соответствующее (N + h ) «мысленному» опыту.

Проверяем на объекте исследования (усилителе)
(точку с параметрами
).

Принимаем условия (N + h )-го опыта за центр нового ПФЭ (базовая точка).

Например, для
= –
кОм;
кОм;
кОм.

8 Проводим ПФЭ и статистическую обработку результатов. Находим новую модель (с другими коэффициентами) и повторяем движение к оптимуму.

Так как каждый цикл приближает нас к оптимуму, нужно уменьшить шаг
, или 0,01.

Движение к оптимуму прекращают, когда все коэффициенты модели окажутся
.

Симплексный метод оптимизации(вопр.31)

Основной особенностью симплексного метода поиска экстремума является совмещение процессов изучения поверхности отклика и перемещения по ней. Это достигается тем, что эксперименты ставятся только в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплекса.

В основу плана положен не гиперкуб, используемый для ПФЭ, а симплекс – простейшая геометрическая фигура, при заданном количестве факторов.

Что такое симплекс?

n -мерный симплекс – это выпуклая фигура, образованная (n + 1)-й точками (вершинами), не принадлежащими одновременно ни одному (n – 1)-мерному подпространству n -мерного пространства (X n ).

Для двух факторов x 1 и x 2 (n =2) двумерный симплекс имеет вид треугольника на плоскости (рисунок 44).

Рисунок 44 – Двумерный симплекс с тремя вершинами

Для трех факторов x 1 , x 2 и x 3 (n =3) трехмерный симплекс имеет вид треугольной пирамиды (рисунок 45).

Рисунок 45 – Трехмерный симплекс с четырьмя вершинами

Для одного фактора x 1 (n =1) одномерный симплекс имеет вид отрезка на прямой (рисунок 46).

Рисунок 46 – Одномерный симплекс с двумя вершинами

Использование симплекса основано на его свойстве, которое заключается в том, что отбросив одну из вершин с худшим результатом и используя оставшуюся грань, можно получить новый симплекс, добавив одну точку, зеркальную относительно отброшенной. В вершинах симплекса ставят эксперимент, затем точку с минимальным значением выходного параметра (y j ) отбрасывают и строят новый симплекс с новой вершиной – зеркальным отображением отброшенной. Формируется цепочка симплексов, перемещающихся по поверхности отклика в область экстремума (рисунок 47).

Рисунок 47– Движение к оптимуму по поверхности отклика

Для упрощения вычислений принимают условие, что все ребра симплекса равны.

Если одну из вершин симплекса поместить в начало координат, а остальные расположить так, чтобы ребра, выходящие из этой вершины образовывали одинаковые углы с соответствующими осями координат (рисунок 48), то координаты вершин симплекса могут быть представлены матрицей.

Рисунок 48 – Двумерный симплекс с вершиной в начале координат

Матрица координат вершин многомерного симплекса

Если расстояние между вершинами равно 1, то

;

Процедура последовательного симплекса

1 Пусть нужно найти
,

2 Задается шаг варьирования по каждому фактору x i . Пример в таблице 3.7.

Таблица 3.7– Значения факторов для первоначального симплекса

Параметр	x i

	x 2
	x 3

3 Задается размер симплекса (расстояние между вершинами)
регулярный симплекс.

4 Обозначаются вершины симплекса С j , где j – номер вершины. В примере j =4.

5 Производится ориентация первоначального симплекса. Для этого одну из вершин начального симплекса (С j 0 ) помещают в начало координат. А именно, за нулевую точку начального симплекса принимают номинальные значения факторов.

Строится матрица координат вершин симплекса с первой вершиной в начале координат и значения координат вершин заносятся в таблицу (таблица 3.8).

Таблица 3.8 – Координаты вершин симплекса

Координаты вершин
	x i	x n

Вычисляют координаты остальных вершин начального симплекса (С j 0 ):

Результаты вычислений заносят в таблицу (таблица 3.9).

Таблица 3.9 – Координаты вершин и результаты эксперимента

симплекса (С j0 )	Координаты вершин			y j
симплекса (С j0 )				y j
	x 11 = x 10	x 21 = x 20	x 31 = x 30
				y 2



С j *	x 1 j *	x 2 j *	x 3 j *	y j *

Значения координат вершин вычисляются по формулам. Для примера n =3 имеем:

;
;
;

;
;
.

6 Реализуется эксперимент в вершинах симплекса.

Для этого устанавливают значения факторов, соответствующие первой вершине начального симплекса С 10 , и измеряют значения выходного параметра у 1 . Устанавливают значения факторов, соответствующие второй вершине С 20 , и измеряют у 2 .

Рассчитанные для примера значения факторов, соответствующие координатам вершин, приводятся в таблице 3.10.

Таблица 3.10 – Значения факторов в вершинах симплекса

симплекса (С j0 )	Координаты вершин	y j
симплекса (С j0 )		y j
		y 1 (5В)
		y 2 (6В)
		y 3 (4 В)
		y 4 (8В)
		y 3 *(9В)
		y 1 *(5В)

Расчет координат вершин для n =3:

С 20 х 12 = 10+0,95∙2=11,9 кОм;

х 22 = 3,0+0,24∙0,6=3,144 кОм;

х 32 = 100+0,24∙20=104,8 кОм;

С 30 х 13 = 10+0,24∙2=10,48 кОм;

х 23 = 3,0+0,95∙0,6=3,57 кОм;

х 33 = 100+0,24∙20=104,8 кОм;

С 40 х 14 = 10+0,24∙2=10,48 кОм;

х 24 = 3,0+0,24∙0,6=3,144 кОм;

х 34 = 100+0,95∙20=119 кОм.

7 Сравнивают значения выходного параметра и отбрасывают вершину, соответствующую минимальному значению y .

8 Вычисляют координаты новой вершины зеркального отображения наихудшей точки («звездной точки») по формуле

где – обозначение координатыj -ой вершины (точки), i =1,2,…,n – номер фактора, j =1,2,…, (n +1) – номер вершины симплекса.

В примере
В – минимальное значение, следовательно, зеркальная точка будет
. Для нее координаты вершины вычисляются как:

9 Проводят эксперимент в новой вершине С 3 * нового симплекса (С 10 , С 20 , С 3 *, С y 3 *.

10 Сравнивают значения выходного параметра нового симплекса (y 1 , y 2 , y 3 *, у 4) и отбрасывают вершины с минимальным y (например y 1 =5В). Строим новый симплекс с новой вершиной С 1 *.

Для этого вычисляют координаты вершины:

Снова проводят эксперимент в новой вершине С * 1 нового симплекса (С 1 *, С 20 , С 3 *, С 40) и измеряют значение выходного параметра y 1 *.

Сравниваем точки с выходными параметрами y 1 *=5, y 2 =6, y 3 * =9, y 4 =8. Отбрасываем вершину с минимальным y 1 *=5. И снова определяем новую «звездную точку».

Движение к оптимуму прекращают, если симплекс начинает вращение, т.е. одна и та же вершина встречается более чем в (n +1) последовательных симплексах.

11 В завершение проводят ПФЭ и статистическую обработку результатов. Находят модель. Движение к оптимуму прекращают, когда все коэффициенты модели окажутся
.

Техническое задание (ТЗ , техзадание )(вопр.8) - исходный документ для проектирования сооружения или промышленного комплекса, конструирования технического устройства (прибора, машины, системы управления и т. д.), разработки информационных систем, стандартов либо проведения научно-исследовательских работ (НИР).

ТЗ содержит основные технические требования, предъявляемые к сооружению, изделию или услуге и исходные данные для разработки; в ТЗ указываются назначение объекта, область его применения, стадии разработки конструкторской (проектной, технологической, программной и т.п.) документации, её состав, сроки исполнения и т. д., а также особые требования, обусловленные спецификой самого объекта либо условиями его эксплуатации. Как правило, ТЗ составляют на основе анализа результатов предварительных исследований, расчётов и моделирования.

Как инструмент коммуникации в связке общения заказчик-исполнитель, техническое задание позволяет:

обеим сторонам

представить готовый продукт
выполнить попунктную проверку готового продукта (приёмочное тестирование - проведение испытаний )
уменьшить число ошибок, связанных с изменением требований в результате их неполноты или ошибочности (на всех стадиях и этапах создания, за исключением испытаний )

заказчику

осознать, что именно ему нужно
требовать от исполнителя соответствия продукта всем условиям, оговорённым в ТЗ

исполнителю

понять суть задачи, показать заказчику «технический облик» будущего изделия, программного изделия или автоматизированной системы
спланировать выполнение проекта и работать по намеченному плану
отказаться от выполнения работ, не указанных в ТЗ

Техническое задание - исходный документ определяющий порядок и условия проведения работ по Договору, содержащий цель, задачи, принципы выполнения, ожидаемые результаты и сроки выполнения работ.

Техническое задание является основополагающим документом всего проекта и всех взамоотношений заказчика и разработчика. Корректное ТЗ, написанное и согласованное между всеми заинтересованными и ответсвенными лицами является залогом успешной реализации проекта.

Вопр 9.

Стадия разработки	Этапы выполнения работ
Техническое предложение	Подбор материалов. Разработка технического предложения с присвоением документам литеры «П». Рассмотрение и утверждение технического предложения
Эскизный проект	Разработка эскизного проекта с присвоением документам литеры «Э». Изготовление и испытание макетов (при необходимости) Рассмотрение и утверждение эскизного проекта.
Технический проект	Разработка технического проекта с присвоением документам литеры «Т». Изготовление и испытание макетов (при необходимости). Рассмотрение и утверждение технического проекта.
Рабочая конструкторская документация: а) опытного образца (опытной партии) изделия, предназначенного для серийного (массового) или единичного производства (кроме разового изготовления)	Разработка конструкторской документации, предназначенной для изготовления и испытания опытного образца (опытной партии), без присвоения литеры. Изготовление и предварительные испытания опытного образца (опытной партии). Корректировка конструкторской документации по результатам изготовления и предварительных испытаний опытного образца (опытной партии) с присвоением документам литеры «О». Приемочные испытания опытного образца (опытной партии). Корректировка конструкторской документации по результатам приемочных испытаний опытного образца (опытной партии) с присвоением документам литеры «О 1 «. Для изделия, разрабатываемого по заказу Министерства обороны, при необходимости, - повторное изготовление и испытания опытного образца (опытной партии) по документации с литерой «О 1 « и корректировка конструкторских документов с присвоением им литеры «О 2 «.
б) серийного (массового) производства	Изготовление и испытание установочной серии по документации с литерой «О 1 « (или «О 2 «). Корректировка конструкторской документации по результатам изготовления и испытания установочной серии, а также оснащения технологического процесса изготовления изделия, с присвоением конструкторским документам литеры «А». Для изделия, разрабатываемого по заказу Министерства обороны, при необходимости, - изготовление и испытание головной (контрольной) серии по документации с литерой «А» и соответствующая корректировка документов с присвоением им литеры «Б»

Обязательность выполнения стадий и этапов разработки конструкторской документации устанавливается техническим заданием на разработку.

Примечания: 1. Стадия «Техническое предложение» не распространяется на конструкторскую документацию изделий разрабатываемых по заказу Министерства обороны. 2. Необходимость разработки документации для изготовления и испытания макетов устанавливается разработчиком. 3. Конструкторская документация для изготовления макетов разрабатывается с целью: проверки принципов работы изделия или его составных частей на стадии эскизного проекта; проверки основных конструкторских решений разрабатываемого изделия или его составных частей на стадии технического проекта; предварительной проверки целесообразности изменения отдельных частей изготовляемого изделия до внесения эти изменений в рабочие конструкторские документы опытного образца (опытной партии). 4. Под разовым изготовлением понимается единовременное изготовление одного или более экземпляров изделия, дальнейшее производство которого не предусматривается.

2. Рабочим конструкторским документам изделия единичного производства, предназначенные для разового изготовления, присваивают литеру «И» при их разработке, которой может предшествовать выполнение отдельных стадий разработки (техническое предложение, эскизный проект технический проект) и соответственно этапов работ, указанных в таблице.

1, 2. (Измененная редакция, Изм. № 1).

3. (Исключен, Изм. № 1).

4. Техническое предложение - совокупность конструкторских документов, которые должны содержать технические и технико-экономические обоснования целесообразности разработки документации изделия на основании анализа технического задания заказчика и различных вариантов возможных решений изделий, сравнительной оценки решений с учетом конструктивных и эксплуатационных особенностей разрабатываемого и существующих изделий и патентные исследования.

Техническое предложение после согласования и утверждения в установленном порядке является основанием для разработки эскизного (технического) проекта. Объем работ - по ГОСТ 2.118-73.

5. Эскизный проект - совокупность конструкторских документов, которые должны содержать принципиальные конструктивные решения, дающие общее представление об устройстве и принципе работы изделия, а также данные, определяющие назначение, основные параметры и габаритны размеры разрабатываемого изделия.

Эскизный проект после согласования и утверждения в установленном порядке служит основанием для разработки технического проекта или рабочей конструкторской документации. Объем работ - по ГОСТ 2.119-73.

6. Технический проект - совокупность конструкторских документов, которые должны содержать окончательные технические решения, дающие полное представление об устройстве разрабатываемого изделия, и исходные данные для разработки рабочей документации.

Технический проект после согласования и утверждения в установленном порядке служит основанием для разработки рабочей конструкторской документации. Объем работ - по ГОСТ 2.120-73. 7. Ранее разработанные конструкторские документы применяют при разработке новых или модернизации изготовляемых изделий в следующих случаях:

а) в проектной документации (техническом предложении, эскизном и техническом проектах) и рабочей документации опытного образца (опытной партии) - независимо от литерности применяемых документов;

б) в конструкторской документации с литерами «О 1 « («О 2 «), «А» и «Б», если литерность применяемого документа та же или высшая.

Литерность полного комплекта конструкторской документации определяется низшей из литер, указанных в документах, входящих в комплект, кроме документов покупных изделий.

(Измененная редакция, Изм. № 1).

8. Конструкторские документы, держателями подлинников которых являются другие предприятия, могут применяться только при наличии учтенных копий или дубликатов.

Системный подход(вопр.10) - это направление исследования объекта с разных сторон, комплексно, в отличие от ранее применявшихся (физических, структурных и т.д.). При системном подходе в рамках моделирования систем необходимо прежде всего четко определить цель моделирования. Необходимо помнить, что невозможно полностью смоделировать реально функционирующую систему (систему-оригинал), а необходимо создать модель (систему-модель) под поставленную проблему при решении конкретной задачи. В конечном итоге моделирование должно адекватно отражать реальные процессы поведения исследуемых систем. Одной из целей моделирования является ее познавательная направленность. Выполнению этой цели способствует правильный отбор в создаваемую модель элементов системы, структуры и связей между ними, критерия оценки адекватности модели. При таком подходе упрощается классификация реальных систем и их моделей.

Таким образом, в целом системный подход предполагает следующие этапы решения проблемы:

Изучение предметной области (качественный анализ).

Выявление и формулирование проблемы.

Математическая (количественная) постановка проблемы.

Натурное и/или математическое моделирование исследуемых объектов и процессов.

Статистическая обработка результатов моделирования.

Поиск и оценка альтернативных решений.

Формулирование выводов и предложений по решению проблемы.

Вопр.17 Требования к конструкциям ЭС и показатели их качества При решении задач конструирования заказных БИС и кристаллов СВЧ ИС решаются задачи операции входного контроля исходных данных, покрытия, компоновки, взаимного расположения компонентов при минимуме числа пересечений, трассировки, контроля топологии, изготовления рисунков фотошаблонов и их оригиналов. Главное, что надо отметить, это то, что радиоинженер-конструктор-технолог является пользователем средств вычислительной техники, а не их разработчиком и программистом, поэтому ему нужны основы этих знаний, чтобы грамотно решать свои задачи по автоматизированному конструированию. К основным требованиям, предъявляемым к конструкциям ЭС относятся высокое качество энергоинформационных (электрических) показателей, надежность, прочность, жесткость, технологичность, экономичность и серийноспособность конструкции при малой материалоемкости и потребляемой мощности. Конструкции, отвечающие этим требованиям, должны обладать минимальными массой m, объемом V, потребляемой мощностью Р, частотой отказов l, стоимостью С и сроком разработки Т, должны быть вибро- и ударопрочны, работать в нормальном тепловом режиме и иметь достаточно высокий для производства процент выхода годных изделий. Показатели, характеризующие эти качества, могут быть разбиты на следующие группы: абсолютные (в абсолютных единицах), комплексный (безразмерный, обобщенный), удельные (в удельных величинах) и относительные (безразмерные, нормированные). К абсолютным показателям относят массу конструкции, ее объем, потребляемую мощность, частоту отказов, стоимость и срок разработки. Иногда эту группу показателей называют материальными (М) показателями, отвечающими на вопрос, из чего и как сделано устройство. Группу же энергоинформационных параметров в этих случаях называют функциональными (Ф) показателями, которые отвечают на вопрос для чего и что может делать устройство. Из этих двух групп могут быть получены более общие показатели качества такие, как комплексный показатель и удельные показатели качества. Комплексный показатель качества представляет собой сумму нормированный частных материальных показателей со своими "весовыми" коэффициентами, как коэффициентами значимости этого параметра на суммарное качество конструкции: К=j m m o +j V V o +j l l o +j P P o +j C C o +j T T o , (1) где m o , V o , l o , P o , C o , T o – нормированные значения материальных параметров относительно заданных по техническому заданию либо отношения этих материальных параметров для разных сравнительных вариантов конструкции, j m , j V , j l , j P , j C , j T – коэффициенты значимости частных материальных параметров, определяемые методом экспертных оценок, обычно их значение выбирают в пределах от 0 до 1. Выражение (1) показывает, что чем меньше каждый из материальных параметров, тем выше качество конструкции при одних и тех же функциональных параметрах. Коэффициенты значимости определяются группой экспертов (желательно в количестве не менее 30 человек), которые в зависимости от назначения и объекта установки РЭС присваивают каждый то или иное значение коэффициента значимости параметрам. Далее их результаты оценки суммируются, определяются средние значения и среднеквадратичные этих коэффициентов, находятся допустимые поля отклонений и по ним устраняют "промахи" экспертов, которые исключают из общей суммы и далее повторяют те же операции обработки данных. В результате получают средние, "достоверные" значения этих коэффициентов, и тем самым и само уравнение для расчетов. К удельным показателям качества конструкции относят удельные коэффициенты конструкций: плотность упаковки элементов на площади или в объеме, удельную мощность рассеивания на площади или в объеме (теплонапряженность конструкции), удельную массу (плотность) конструкции, величину истечения газа из объема конструкции (степень герметичности), Удельные коэффициенты оценивают прогресс развития новых конструкций по сравнению с предыдущими аналогами и прототипами. Они выражаются как k=М/Ф и для каждого из типов радиоустройств или болков имеют конкретное выражение размерности величин. Так для антенных устройств, если для них в качестве основного параметра взять массу, удельный коэффициент k А =m/G [кг/ед.усиления], где G – коэффициент усиления антенны; для передающих устройств k пер =m/Р вых [кг/Вт], где Р вых – выходная мощность передатчика. Поскольку передающие устройства характеризуются большим количеством функциональных параметров (коэффициентом усиления, коэффициентом шума, полосой пропускания, выходной мощностью и др.), то функциональная сложность и качество выполняемых функций для микросборочных конструктивов может быть оценено количеством разработанных микросборок (n МСБ), тогда k пер =m/ n МСБ [кг/МСБ]. Аналогично можно рассчитать удельные коэффициенты и по отношению к другим материальным параметрам и получить для сравнения аналогов их величины, выраженные в [см 3 /ед.усиления], [см 3 /Вт], [см 3 /МСБ], [руб/ед.усиления],[руб/Вт], [руб/МСБ] и т.п. Такие оценки наиболее наглядны и не требуют доказательств, что лучше а что хуже без всяких эмоций. Плотность упаковки элементов на площади или в объеме оценивается следующими выражениями g S =N/S и g V =N/V, где N – количество элементов, S и V – занимаемые ими площадь или объем соответственно. Количество элементов определяется какN=N ИС *n э +n ЭРЭ, где N ИС – количество ИС в устройстве, n э – количество элементов в одной ИС (кристалле или в корпусе), n ЭРЭ – количество навесных электрорадиоэлементов в конструкции ячейки, блока, стойки. Плотность упаковки является главным показателем уровня интеграции конструктивов того или иного уровня. Так если для полупроводниковых ИС с объемом кристалла в 1 мм 3 и количеством элементов в нем равным 40 единиц, g ИС =40*10 3 эл/см 3 , то на уровне блока цифровых РЭС g б =40 эл/см 3 . Происходит это за счет того, что кристаллы корпусируются, далее корпусированные ИС рзмещаются на плате с известным зазором и при компоновке ФЯ в блок опять-таки появляются дополнительные зазоры между пакетом ФЯ и внутренними стенками корпуса. Да и сам корпус имеет объем (объем стенок и лицевой панели), в котором нет полезных (схемных) элементов. Иначе говоря, при переходе с одного уровня компоновки на другой происходит потеря (дезинтеграция) полезного объема. Как будет сказано ниже, коэффициент дезинтеграции определяется отношение суммарного объема к полезному объему. Для блока цифрового типа он выражается какq V =V б /N ИС *V ИС, где V ИС – объем одной микросхемы (либо бескорпусной, либо корпусированной в зависимости от метода конструирования). Учтя это выражение, можно записать, что g б = (N ИС *n э)/(q V * N ИС *V ИС) =g ИС / q V , (2) где g ИС =n э / V ИС – плотность упаковки элементов в ИС. Как показано выше, в бескорпусных ИС цифрового типа малой степени интеграции эта величина составляет 40 тыс.эл./см 3 . При установке бескорпусных ИС в корпус, например IV типа, происходит увеличение объема примерно в 200 раз, а при установке корпусированных ИС на плату и далее компоновке их в объеме корпуса еще в 5 раз, т.е. суммарный коэффициент дезинтеграции составляет уже 10 3 , при этом и получается g б =40 эл/см 3 , что характерно для блоков III поколения РЭС цифрового типа. Из выражения (2) следует, что конструирование цифровых устройств высокой интеграции требует от разработчика не только применения БИС и СБИС, но и достаточно компактной компоновки. Для конструкций аналоговых ЭС, где не наблюдается четко выраженных регулярных структур активных элементов, где их число становится соизмеримым или даже меньшим, чем число пассивных навесных ЭРЭ (обычно одну аналоговую ИС "обрамляют" до 10 пассивных элементов: конденсаторов вместе с катушками и фильтрами), коэффициенты дезинтеграции объема еще более возрастает (в 3…4 раза). Из этого следует, что сравнивать конструктивы разного уровня иерархии и различных по назначению и принципу действия нельзя, т.е. этот показатель качества для всех ЭС не является универсальным. К тому же добавим, что если в одной компактной конструкции применили ИС малой степени интеграции (до 100 элементов на корпус), а в другой – плохо скомпоноввнной, но на БИС, то может оказаться по этому показателю, что вторая конструкция лучше, хотя явно видно, что она хуже. Поэтому в случае применения элементной базы разной степени интеграции сравнение конструкций по плотности компоновки неправомерно. Таким образом, плотность упаковки элементов в объеме конструктива является действительной оценкой качества конструкции, но пользоваться этим критерием для сравнения надо грамотно и объективно. Удельная мощность рассеивания определяет тепловую напряженность в объеме конструктива и рассчитывается как Р уд.расс =Р расс /V, где Р расс @(0,8…0,9)Р для цифровых регулярных структур. В аналоговых, в особенности в приемоусилительных ячейках и блоках, мощности рассеивания и теплонапряженности невелики и тепловой режим обычно бывает нормальным и с большим запасом по этому параметру. В устройствах цифрового типа это, как правило, не наблюдается. Чем выше требования на быстродействие вычислительных средств, тем больше величина потребляемой мощности, тем выше теплонапряженность. Для РЭС на бескорпусных МСБ эта проблема еще более усугубляется, так как объем при переходе от III к IV поколению уменьшается, как было отмечено выше, в 5…6 раз. Поэтому в конструкциях блоков цифрового типа на бескорпусных МСБ обязательным является наличие мощных теплоотводов (металлических рамок, медных печатных шин и т.п.) В некоторых случаях в бортовых РЭС применяют и системы охлаждения, выбор типа которых проводится по критерию удельной мощности рассеивания с поверхности блока (Р¢ уд.расс =Р расс /S, Вт/см 2). Для блоков цифрового типа III поколения допускаемая тепловая напряженность составляет 20…30 Вт/дм 3 в условиях естественной конвекции и при перегреве корпуса относительно среды не более, чем 40 О С, а для блоков IV поколения порядка 40 Вт/дм 3 и более. Удельная масса конструкции выражается как m¢=m/V. Этот параметр ранее считался за главный критерий оценки качества аппаратуры и далее было условное деление конструкций на "тонущую РЭА" (m¢>1 г/см 3) и "плавающую РЭА" (m¢<1 г/см 3). Если конструкция была тонущая, то считали, что она компактна и хорошо скомпонована (мало воздуха и пустот в корпусе). Однако с появление IV поколения конструкций РЭС, где преобладающей долей массы являлись металлические рамки и с более толстыми стенками корпус (для обеспечения требуемой жесткости корпуса при накачке внутрь его азота), даже плохо скомпонованные ячейки оказывались тонущими. И чем больше и впустую расходовался металл, тем более возрастал этот показатель, переставший отражать качество компоновки и конструкции в целом. Поэтому для сравнения качества конструкций по этому критерию отказались, но он оказался полезным для решения другой задачи, а именно, распределение ресурса масс в конструктивах. Величина истечения газа из объема конструкции оценивает степень ее герметичности и определяется как D=V г *р/t , (3) где V г - объем газа в блоке, дм 3 ; р – величина перепада внутреннего и внешнего давления (избыточного давления) в блоке, Па (1 Па=7,5 мкм рт.ст.); t - срок службы или хранения, с. Для блоков с объемом V г =0,15…0,2 дм 3 в ответственных случаях при выдержке нормального давления к концу срока службы (8 лет) требуется D=6,65*10 -6 дм 3 *Па/с (или 5,5*10 -5 дм 3 *мкм рт.ст/с), в менее ответственных случаях полная вакуумная герметизация не обеспечивается и степень герметичности может быть уменьшена до значения 10 -3 дм 3 *мкм.рт.ст/с. В группе относительных показателей находятся коэффициенты дезинтеграции объема и массы, показатель функционального расчленения, величина перегрузки конструкции при вибрациях и ударах, а также многие параметры технологичности конструкции такие, как коэффициенты унификации и стандартизации, коэффициент повторяемости материалов и изделий электронной техники, коэффициент автоматизации и механизации и др. Последние достаточно хорошо известны из технологических дисциплин, поэтому повторять их содержание и влияние на качество конструкции не станем. Как уже отмечалось выше при рассмотрении плотности упаковки, в конструкциях РЭС разного уровня компоновки присутствуют потери полезного объема, а следовательно, и масс при корпусировании ИС, компоновке их в ячейки и далее в блоки, стойки. Уровень их может быть весьма значительным (в десятки и сотни раз). Оценки этих потерь (дезинтеграции) объемов и масс проводится с помощью коэффициентов дезинтеграции q V и q m соответственно, выражаемые как отношение суммарного объема (массы) конструктива к его полезному объему (массе), или q V =V/V N , q m =m/m N , (4) где V N =SV с.э., m N =Sm с.э. – полезный объем и масса схемных элементов. При переходе с одного уровня компоновки на более высший уровень коэффициенты дезинтеграции объема (или массы) q V(m) показывают, во сколько раз увеличиваются суммарные объем (или масса) комплектующих изделий к следующей конкретной форме их компоновки, например при переходе от нулевого уровня – корпусированных микросхем к первому – функциональной ячейке имеемq V(m) =V(m) ФЯ /SV(m) ИС, при переходе от уровня ячейки к блоку q V(m) = V(m) б /SV(m) ФЯ и т.д., где V(m) ИС, V(m) ФЯ, V(m) б – соответственно объемы (или массы) микросхемы, ячейки, блока. Как и в случае критерия плотности упаковки заметим, что коэффициенты дезинтеграции реально отражают качество конструкции, в частности ее компактность, но и они не могут быть использованы для сравнения конструктивов, если они относятся к разным поколениям, разным уровням конструктивной иерархии или ЭС различного назначения и принципа действия. Анализ существующих наиболее типовых и компактных конструктивов различных поколений и различного назначения позволил получить средние значения их коэффициентов дезинтеграции объема и массы (табл. 1). там же приведены значения удельной массы конструктивов. Показатель функционального разукрупнения конструкции представляет собой отношение количества элементов N в конструктиве к количеству выводов М из него, или ПФР=N/M. Например для цифровой бескорпусной МСБ, содержащей 12 бескорпусных ИС с 40 элементами в каждом кристалле (N=40*12=480 элементов) и 16 выходными площадками, имеем ПФР=480/16=30. Чем выше ПФР, тем ближе конструкция к конструктиву высокой интеграции, тем меньше монтажных соединений между ними, тем выше надежность и меньше масса и габариты. Наибольшее число функций и элементов монтажа "вбирают" в себя БИС¢ы и СБИС¢ы. Однако и у них есть предел степени интеграции, оговариваемый именно количеством допустимых выводов от активной площади кристалла к периферийным контактным площадкам. Наконец, величина перегрузки n действующих на конструкцию вибраций или ударов оценивается как отношение возникающего от их действия ускорения масс элементов конструкции к ускорению свободного падения, или n=a/g, где а – величина ускорения при вибрации (или ударе). Вибро- и ударопрочность конструкции определяются значениями величин допускаемых перегрузок при вибрациях и ударах, которые может выдержать конструкция без разрушения своих связей между элементами. Для того, чтобы эти свойства были обеспечены, необходимо, чтобы реально возникающие в тех или иных условиях эксплуатации перегрузки не превышали предельно допустимых для конкретной конструкции.

Вопр.26

, i=1,... n.

где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Вопр.18 Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам (см. рис.1.5,в).

В общем случае, схема эксперимента может быть представлена в виде, представленном на рис.1.5, в. В схеме используются следующие группы параметров:

1. управляющие (входные )

2. параметры состояния (выходные )

3. возмущающие воздействия ()

При многофакторном и полном факторном эксперименте выходных параметров может быть несколько. Пример такого пассивного многофакторного эксперимента будет рассмотрен в шестой главе настоящей книги.

Управляющие параметры представляют собой независимые переменные, которые можно изменять для управления выходными параметрами. Управляющие параметры называют факторами . Если (один управляющий параметр), то эксперимент однофакторный. Многофакторный эксперимент соответствует конечному числу управляющих параметров. Полный факторный эксперимент соответствует наличию возмущающих воздействий в многофакторном эксперименте.

Диапазон изменения факторов или число значений, которое они могут принимать называется уровнем фактора .

Полный факторный эксперимент характеризуется тем, что при фиксированных возмущающих воздействиях минимальное число уровней каждого фактора равно двум. В этом случае, зафиксировав все факторы кроме одного, необходимо провести два измерения, соответствующих двум уровням этого фактора. Последовательно осуществляя такую процедуру для каждого из факторов , получим необходимое число опытов в полном факторном эксперименте для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов , где - число факторов.

Прежде всего полезно было бы дать определение понятия «эксперимент». Однако, попытка дать строгое определение этого понятия «в достаточно общей и к тому же краткой форме практически невозможно». Некоторые считают, что лучше пользоваться метафорами. Пример метафорического определения дал известный французский ученый-экспериментатор Кювье: «Наблюдатель слушает природу, экспериментатор вопрошает и принуждает ее разоблачиться».

Приведем здесь все же одно из возможных определений

Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Примеры «хороших» и «плохих» экспериментов

Хотя определение понятия научного эксперимента вызывает трудности, примеры хорошо и плохо поставленных экспериментов привести достаточно легко. Следуя монографии , рассмотрим один из широко известных примеров – взвешивание трех объектов a, b, c на аналитических весах.

а) традиционная схема (табл.1)

(Кстати сказать, схема, приведенные в таблицах 1, 2 , называются матрицами планирования. В обеих таблицах каждая строка задает условия проведения одного опыта. Обозначение «+1» указывает на проведение с объектом действия, а «-1» на отсутствие действия

Таблица 1. Традиционная схема взвешивания трех объектов

Традиционная схема выглядит следующим образом. Вначале выполняется холостое взвешивание для определения нулевой точки весов. Затем поочередно взвешивается каждый из объектов. Такая последовательность действий соответствует так называемому однофакторному эксперименту. Изучается поведение каждого фактора в отдельности. Масса каждого из объектов определяется по результатам двух опытов: взвешивания

самого объекта и холостого опыта. Массы объектов А i определяются формулами

А i = y i – y 0 (1)

Дисперсия результата взвешивания такова

 2 {A i } =  2 {y i – y 0 } = 2 2 {y} (2)

где {y} – ошибка взвешивания

Теперь проведем процедуру другим способом, используя схему, приведенную в табл.2. Здесь, как и в предыдущем случае, каждая строка задает условия проведения единичного опыта.

Таблица 2. Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов

Разница с предыдущим случаем состоит в том, что вместо «холостого» взвешивания проводится взвешивание всех трех образцов вместе. Определим по результатам опытов массы объектов

А 1 =

А 2 =
(3)

А 3 =

Для помнящих правила действий с матрицами заметим, что числители выражений (3) получены путем умножения элементов последнего столбца на элементы столбцов a, b и c. Учитывая смысл величины у 4 , заметим, что масса объекта, определяемого по одной из формул (3), входит в нее дважды, что приводит к появлению в знаменателе числа 2, а массы остальных объектов сокращаются. и, таким образом, не влияют на результат.

Определим теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания. Сделаем это, например, для 1-го объекта.

 2 {A} =  2 {
} = 4 2 {y}/ 4 =  2 {y} (4)

Аналогичный результат получается и для объектов b и c.

Таким образом, дисперсия получилась вдвое меньше, хотя количество опытов осталось тем же. Причина увеличения точности состоит в том, что в первом варианте масса образца определялась как результат двукратного взвешивания, а во втором варианте – из четырехкратного. Вторую схему эксперимента можно назвать многофакторной , поскольку при вычислении масс мы оперируем всеми факторами (объектами). Теперь перейдем к последовательному изложению основных определений, используемых в рассматриваемом разделе науки.

4.3.Основные определения, связанные с процессом планирования

Начнем с определения самого предмета теории планирования эксперимента.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Рассматриваются два типа задач планирования эксперимента. интерполяционные и экстремальные. Для первого типа задач эксперимент проводится с целью установления связи между некоторыми свойствами системы и рядом факторов. Для второго типа необходимо определить условия оптимизации работы некоторой системы, качество которой выражается некоторой целевой функцией или рядом функций.

Y=F(Х 1 ,Х 2 , …, Х n ) (5)

Величина Y – называется “откликом”, а сама зависимость Y=F(Х 1 ,Х 2 , …, Х n ) – “функцией отклика”. Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y . В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Каждый фактор может принимать в опыте некоторое количество значений, которые называют уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Полное число состояний в большинстве случаев весьма велико, что исключает исследование путем простого перебора.

Важно отметить два основных требования, которыми должен обладать объект исследования. Первое – это воспроизводимость результатов, то есть повторение результатов при том же наборе уровней при повторении экспе-римента с учетом разброса. Плохая воспроизводимость может быть связана нестационарностью. Тогда необходимо использовать специальные методы.

Второе – это управляемость объекта, то есть возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес.

Независимые переменные Х 1 , Х 2 , …, Х n – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию) и исключить малозначащие факторы.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y . Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то получен-ное пространство называется факторным. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, и.т.д.

Дальнейшее продвижение в этом направлении приведет нас к необхо-димости существенных усложнений. Поэтому мы поясним факторный подход более простым способом. и чтобы не углубляться в формалистику процесса планирования эксперимента вернемся к рассмотрению конкретных примеров.

4.3.Неформальное рассмотрение процесса планирования эксперимента

Перед этим обсудим некоторые общие свойства объектов планирования эксперимента. Можно рассматривать воспроизводимые и невоспроизводимые эксперименты. Для первых из них возможно повторение эксперимента в идентичных условиях. К ним относятся, разумеется, компьютерные эксперименты и лабораторные физические или химические эксперименты. В технике чаще встречаются невоспроизводимые эксперименты. Подобный эксперимент протекает во времени необратимо без возможности его измене-ния или повторения. Обычно изменения, вносимые в процессе эксперимента, малы и их условно можно рассматривать как воспроизводимые. В таких экспериментах можно выбрать последовательность условий.

Рассмотрим два предельных случая Можно выбирать верхнее или нижнее значение независимой случайной величины и изменять его скачкообразно вплоть до достижения другого предельного значения. Но можно выбранные значения чередовать чисто случайным образом, выбирая то большее, то меньшее значение. Первый из этих планов называется последовательным , а второй – случайным (рандомизированным). По смыслу ясно, что для воспроизводимых экспериментов целесообразно применять план первого типа, а для невоспроизводимых - план второго типа.

Хорошим примером необходимости использования последовательного плана является, например, исследование коэффициентов сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса. При этом появляется возможность фикси-ровать изменения, связанные с физикой процесса. Как удачно выражается Шенк в «Теории инженерного эксперимента», в этих случаях «сама последовательность условий является определенным параметром».

Но все же для большинства инженерных экспериментов более подходящим является частично или полностью рандомизированный план .

Рассмотрим доводы в пользу такого подхода.

При натурном, а не лабораторном эксперименте внешние эффекты могут неконтролируемым образом менять условия опыта. Таким образом, при исследовании функции R (Х) как R, так и Х могут меняться за счет влияния фактора y. Эти изменения ошибочно могут восприниматься как

влияние Х на R.

В процессе эксперимента может изменяться работоспособность оператора или ухудшением точности показаний прибора.

Механические воздействия могут вызвать изменение замеренных значений переменной Х. Допустим, что в измерительном приборе или регуляторе имеет место «заедание». Тогда знак ошибки будет меняться в зависимости от направления изменения замеряемой величины и при реализации последовательного плана мы получим систематическую ошибку. Для рандомизации можно использовать, например, генератор случайных чисел.

Однофакторный эксперимент

В данном случае имеется одна регулируемая переменная. Однако, кро-ме того на результат влияют нерегулируемые внешние переменные. Их влия-ние и должно быть скомпенсировано путем рандомизации условий экспери-мента. Рассмотрим следующий пример (Шенк):

Требуется проверить работу нового резца в производственных условиях и определить скорость обработки обеспечивающую максимальный.выход продукции при заданном проценте брака. У нас один фактор –скорость

обработки. Внешние переменные – станки, рабочие, дни недели. Выбираются случайным образом 4 станочника (A, B, C, D) и 4 различные скорости обработки (1, 2, 3, 4). Простейший вариант плана

Он явно плохой, так как не учитывает последовательности изменении условий эксперимента, связанных с психологией, здоровьем, днями недели и.т.д. Рандомизация: выбор скорости по дням производится по жребию.

Этот план более совершенный, его еще можно улучшить. Для этого проведем полную рандомизацию таким образом, чтобы кроме того в данный день каждая скорость обработки встречалась только один раз.

Получившаяся матрица называется латинский квадрат и представляет собой частный случай в семействе планов факторных экспериментов. Он ха-рактерен тем, что каждый символ встречается в каждом столбце и в каждой строке только один раз.

Наконец, можно внести еще одно усовершенствование плана экспери-мента – устранить влияние того, что за каждым рабочим закреплен свой станок. Обозначим станки буквами W, X, Y, Z, таким образом, чтобы каждый рабочий обслуживал каждый станок только дин день. Тогда получим следующий план

Это так называемый греко-латинский квадрат, который позволяет устранить влияние трех факторов. Он является сбалансированным, посколь-ку количество уровней фактора (скорости) и количества значений случайных переменных равны между собой. При большем количестве случайных пере-менных задача существенно усложняется.

Если, например, мы хотим рассмотреть 6 скоростей, то для аналогич-ной сбалансированной схемы (квадрата) нам нужно иметь по шесть станков, рабочих и дней. Но можно сократить объем опытов, ограничив число рабочих тремя. Тогда можно ограничиться двумя Греко-латинскими квадратами 3 х 3

Этот план требует вдвое меньше, чем сбалансированный, но может оказаться вполне удовлетворительным

Планирование эксперимента

Учебное пособие

Воронеж 2013

ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Планирование эксперимента

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2013

УДК: 629.7.02

Попов эксперимента: учеб. пособие. Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 20с.

В учебном пособии рассматривается вопрос планирования эксперимента. Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 652100 «Авиастроение», специальности 160201 «Самолето - и вертолетостроение », дисциплине «Планирование экспериментов и обработка результатов».

Учебное пособие разработано в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы, соглашение № 14.B37.21.1824, связанной с выполнением научно-исследовательской работы (проекта) по теме «Исследование, разработка конструкции неразрезных эллиптических обтекателей воздухозаборников двигателей летательных аппаратов и моделирование технологического процесса»

Табл. 3. Ил. 8. Библиогр.: 4 назв.

Научный редактор канд. техн. наук, доц.

Рецензенты: филиал «Иркут»» в г. Воронеже (зам. руководителя, канд. техн. наук, с. н.с.);

Канд. техн. наук

Введение

Традиционные методы исследований связаны с экспериментами, которые требуют больших затрат, сил и средств.

Эксперименты, как правило, являются многофакторными и связаны с оптимизацией качества материалов, отысканием оптимальных условий проведения технологических процессов, разработкой наиболее рациональных конструкций оборудования и т. д. Системы, которые служат объектом таких исследований, очень часто являются такими сложными, что не поддаются теоретическому изучению в разумные сроки. Поэтому, несмотря на значительный объем выполненных научно-исследовательских работ, из-за отсутствия реальной возможности достаточно полно изучить значительное число объектов исследования, как следствие, многие решения принимаются на основании информации, имеющей случайный характер, и поэтому далеки от оптимальных.

Исходя из выше изложенного возникает необходимость поиска пути, позволяющего вести исследовательскую работу ускоренными темпами и обеспечивающим принятие решений, близких к оптимальным. Этим путем и явились статистические методы планирования эксперимента, предложенные английским статистиком Рональдом Фишером (конец двадцатых годов). Он впервые показал целесообразность одновременного варьирования всеми факторами в противовес широко распространенному однофакторному эксперименту .

Применение планирования эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством является его универсальность, пригодность в огромном большинстве областей исследований. В нашей стране планирование эксперимента развивается с 1960 г. под руководством. Однако даже простая процедура планирования весьма непроста, что обусловлено рядом причин, таких как неверное применение методов планирования, выбор не самого оптимального пути исследования, недостаточность практического опыта, недостаточная математическая подготовленность экспериментатора и т. д.

Цель данного учебного пособия – ознакомление студентов с наиболее часто применяемыми и простыми методами планирования эксперимента, выработка навыков практического применения. Более подробно рассмотрена задача оптимизации процессов.

1 Основные понятия планирования эксперимента

Планирование эксперимента, имеет свою определенную терминологию. Рассмотрим общие термины.

Эксперимент - это система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.

Опыт - воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Опыт - отдельная элементарная часть эксперимента.

Планирование эксперимента - процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все факторы, определяющие процесс, изменяются одновременно по специальным правилам, а результаты эксперимента представляются в виде математической модели.

Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны. К ним относятся: поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей, выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав – свойство и т. д.

Поиск оптимальных условий является одной из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные) условия его реализации. Такие задачи называются – задачами оптимизации. Процесс их решения называется – процессом оптимизации или просто оптимизацией. Примеры задачи оптимизации – выбор оптимального состава многокомпонентных смесей и сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на ее получение и т. п.

Выделяют следующие этапы построения математической модели

1. сбор и анализ априорной информации;

2. выбор факторов и выходных переменных, области экспериментирования;

3. выбор математической модели, с помощью которой будут представляться экспериментальные данные;

5. определение метода анализа данных;

6. проведение эксперимента;

7. проверка статистических предпосылок для полученных экспериментальных данных;

8. обработка результатов;

Факторы определяют состояние объекта. Основное требование к факторам - управляемость. Под управляемостью понимается установление нужного значения фактора (уровня) и поддержание его в течение всего опыта. В этом состоит особенность активного эксперимента. Факторы могут быть количественными и качественными. Примерами количественных факторов являются температура, давление, концентрация и т. п. Их уровням соответствует числовая шкала. Различные катализаторы, конструкции аппаратов, способы лечения, методики преподавания являются примерами качественных факторов. Уровням таких факторов не соответствует числовая шкала, и их порядок не играет роли.

Выходные переменные - это реакции (отклики) на воздействие факторов. Отклик зависит от специфики исследования и может быть экономическим (прибыль, рентабельность), технологическим (выход, надежность), психологическим, статистическим и т. д. Параметр оптимизации должен быть эффективным с точки зрения достижения цели, универсальным, количественным, выражаемым числом, имеющим физический смысл, быть простым и легко вычисляемым.

Затраты машинного времени можно значительно сократить, если на этапе оптимизации параметров использовать экспериментальную факторную математическую модель. Экспериментальные факторные модели, в отличие от теоретических, не используют физических законов, описывающих происходящие в объектах процессы, а представляют собой некоторые формальные зависимости выходных параметров от внутренних и внешних параметров объектов проектирования.

Экспериментальная факторная модель может быть построена на основе проведения экспериментов непосредственно на самом техническом объекте (физические эксперименты), либо вычислительных экспериментов на ЭВМ с теоретической моделью.

Рисунок 1

При построении экспериментальной факторной модели объект моделирования (проектируемая техническая система) представляется в виде "черного ящика", на вход которого подаются некоторые переменные Xи Z, а на выходе можно наблюдать и регистрировать переменные Y.

В процессе проведения эксперимента изменение переменных Xи Zприводит к изменениям выходных переменных Y. Для построения факторной модели необходимо регистрировать эти изменения и осуществить необходимую их статистическую обработку для определения параметров модели.

При проведении физического эксперимента переменными Xможно управлять, изменяя их величину по заданному закону. Переменные Z- неуправляемые, принимающие случайные значения. При этом значения переменных Xи Zможно контролировать и регистрировать с помощью соответствующих измерительных приборов. Кроме того, на объект воздействуют некоторые переменные Е, которые нельзя наблюдать и контролировать. Переменные X= (x1, х2,..., хn) называют контролируемыми управляемыми; переменные Z = (z1, z2,…… zm) - контролируемыми, но неуправляемыми, а переменные E = (ε1, ε2,..., εl) - неконтролируемыми и неуправляемыми.

Переменные X и Z называют факторами. Факторы X являются управляемыми и изменяются как детерминированные переменные, а факторы Z неуправляемые, изменяемые во времени случайным образом, т. е. Z представляют собой случайные процессы. Пространство контролируемых переменных - факторов X и Z - образует факторное пространство.

Выходная переменная Y представляет собой вектор зависимых переменных моделируемого объекта. Ее называют откликом, а зависимость Y от факторов Xи Z- функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика называют поверхностью отклика.

Переменная Е действует в процессе эксперимента бесконтрольно. Если предположить, что факторы X и Z стабилизированы во времени и сохраняют постоянные значения, то под влиянием переменных E функция отклика Y может меняться как систематическим, так и случайным образом. В первом случае говорят о систематической помехе, а во втором - о случайной помехе. При этом полагают, что случайная помеха обладает вероятностными свойствами, не изменяемыми во времени.

Возникновение помех обусловлено ошибками методик проведения физических экспериментов, ошибками измерительных приборов, неконтролируемыми изменениями параметров ихарактеристик объекта и внешней среды.

В вычислительных экспериментах объектом исследования является теоретическая математическая модель, на основе которой необходимо получить экспериментальную факторную модель. Для ее получения необходимо определить структуру и численные значения параметров модели.

Под структурой модели понимается вид математических соотношений между факторами X, Z и откликом Y. Параметры представляют собой коэффициенты уравнений факторной модели. Структуру модели обычно выбирают на основе априорной информации об объекте с учетом назначения и последующего использования модели. Задача определения параметров модели полностью формализована. Она решается методами регрессионного анализа. Экспериментальные факторные модели называют также регрессионными моделями.

Регрессионную модель можно представить выражением

(1.1)

где В - вектор параметров факторной модели.

Вид вектор-функции φ определяется выбранной структурой модели и считается заданным, а параметры В подлежат определению на основе результатов эксперимента.

Различают эксперименты пассивные и активные.

Пассивным называется такой эксперимент, когда значениями факторов управлять нельзя, и они принимают случайные значения. В таком эксперименте существуют только факторы Z. В процессе эксперимента в определенные моменты времени измеряются значения факторов Z и функций откликов Y. После проведения N опытов полученная информация обрабатывается статистическими методами, позволяющими определить параметры факторной модели. Такой подход к построению математической модели лежит в основе метода статистических испытаний (Монте-Карло).

Активным называется такой эксперимент, когда значениями факторов задаются и поддерживают их неизменными в заданных уровнях в каждом опыте в соответствии с планом эксперимента. Следовательно, в этом случае существуют только управляемые факторы X.

Основные особенности экспериментальных факторных моделей следующие: они статистические; представляют собой сравнительно простые функциональные зависимости между оценками математических ожиданий выходных параметров объекта от eё внутренних и внешних параметров; дают адекватное описание установленных зависимостей лишь в области факторного пространства, в которой реализован эксперимент. Статистически регрессионная модель описывает поведение объекта в среднем, характеризуя его неслучайные свойства, которые в полной мере проявляются лишь при многократном повторении опытов в неизменных условиях.

2 Основные принципы планирования эксперимента

Для получения адекватной математической модели необходимо обеспечить выполнение определенных условий проведения эксперимента. Модель называют адекватной, если в оговоренной области варьирования факторов X полученные с помощью модели значения функций отклика Y отличаются от истинных не более чем на заданную величину. Методы построения экспериментальных факторных моделей рассматриваются в теории планирования эксперимента.

Цель планирования эксперимента - получение максимума информации о свойствах исследуемого объекта при минимуме опытов. Такой подход обусловлен высокой стоимостью экспериментов, как физических, так и вычислительных, и вместе с тем необходимостью построения адекватной модели.

При планировании активных экспериментов используются следующие принципы:

– отказ от полного перебора всех возможных состояний объекта;

– постепенное усложнение структуры математической модели;

– сопоставление результатов эксперимента с величиной случайных помех;

– рандомизация опытов;

Детальное представление о свойствах поверхности отклика может быть получено лишь при условии использования густой дискретной сетки значений факторов, покрывающей все факторное пространство. В узлах этой многомерной сетки находятся точки плана, в которых проводятся опыты. Выбор структуры факторной модели основан на постулировании определенной степени гладкости поверхности отклика. Поэтому с целью уменьшения количества опытов принимают небольшое число точек плана, для которых осуществляется реализация эксперимента.

При большом уровне случайной помехи получается большой разброс значений функции отклика Yв опытах, проведенных в одной и той же точке плана. В этом случае оказывается, что чем выше уровень помехи, тем с большей вероятностью простая модель окажется работоспособной. Чем меньше уровень помехи, тем точнее должна быть факторная модель.

Кроме случайной помехи при проведении эксперимента может иметь место систематическая помеха. Наличие этой помехи практически никак не обнаруживается и результат ее воздействия на функцию не поддается контролю. Однако если путем соответствующей организации проведения опытов искусственно создать случайную ситуацию, то систематическую помеху можно перевести в разряд случайных. Такой принцип организации эксперимента называют рандомизациейсистематически действующих помех.

Наличие помех приводит к ошибкам эксперимента. Ошибки подразделяют на систематические и случайные, соответственно наименованиям вызывающих их факторов - помех.

Рандомизацию опытов осуществляют только в физических экспериментах. Следует отметить, что в этих экспериментах систематическую ошибку может порождать наряду с отмеченными ранее факторами также неточное задание значений управляемых факторов, обусловленное некачественной калибровкой приборов для их измерения (инструментальная ошибка), конструктивными или технологическими факторами.

К факторам в активном эксперименте предъявляются определенные требования. Они должны быть:

– управляемыми(установка заданных значений и поддержание постоянными в процессе опыта);

– совместными(их взаимное влияние не должно нарушать процесс функционирования объекта);

–независимыми(уровень любого фактора должен устанавливаться независимо от уровней остальных);

– однозначными(одни факторы не должны быть функцией других);

– непосредственно влияющими на выходные параметры.

Выбор параметров оптимизации (критериев оптимизации) является одним из главных этапов работы на стадии предварительного изучения объекта исследования, т. к. правильная постановка задачи зависит от правильности выбора параметра оптимизации, являющегося функцией цели.

Под параметром оптимизации понимают характеристику цели, заданную количественно. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы.

Реальные объекты или процессы, как правило, очень сложны. Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда очень многих, параметров. Каждый объект может характеризоваться всей совокупностью параметров, или любым подмножеством этой совокупности, или одним – единственным параметром оптимизации. В последнем случае прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметра оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных.

Параметр оптимизации (Функции отклика) – это признак, по которому оптимизируется процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

Количественная оценка параметра оптимизации на практике не всегда возможна. В таких случаях пользуются приемом, называемым ранжированием. При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.

2.1 Виды параметров оптимизации

В зависимости от объекта и цели параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными. Введем некоторую классификацию . Реальные ситуации, как правило довольно сложны. Они часто требуют нескольких, иногда очень многих, параметров. В принципе каждый объект может характеризоваться сразу всей совокупностью параметров, приведенных на рисунке 2, или любым подмножеством из этой совокупности. Движение к оптимуму возможно, если выбран один-единственный параметр оптимизации. Тогда прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь - построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных .

Прокомментируем некоторые элементы схемы.

Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль, себестоимость и рентабельность, обычно используются при исследовании действующих промышленных объектов, тогда как затраты на эксперимент имеет смысл оценивать в любых исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на эксперимент пропорциональны числу опытов, которые необходимо поставить для решения данной задачи. Это в значительной мере определяет выбор плана эксперимента.

Почти во всех исследованиях приходится учитывать количество и качество получаемого продукта. Как меру количества продукта используют выход, например, процент выхода химической реакции, выход годных изделий.

Показатели качества чрезвычайно разнообразны. В схеме они сгруппированы по видам свойств. Характеристики количества и качества продукта образуют группу технико-технологических параметров.

Под рубрикой «прочие» сгруппированы различные параметры, которые реже встречаются, но не являются менее важными. Сюда попали статистические параметры, используемые для улучшения характеристик случайных величин или случайных функций. В качестве примеров назовем задачи на минимизацию дисперсии случайной величины, на уменьшение числа выбросов случайного процесса за фиксированный уровень и т. д. Последняя задача возникает, в частности, при выборе оптимальных настроек автоматических регуляторов или при улучшении свойств нитей (проволока, пряжа, искусственное волокно и др.).

2.2 Требования к параметрам оптимизации

1) параметр оптимизации должен быть количественным.

2) параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Иногда это получается естественно, как регистрация показания прибора. Например, скорость движения машины определяется числом на спидометре. Часто приходится проводить некоторые вычисления. Так бывает при расчете выхода реакции. В химии часто требуется получать продукт с заданным отношением компонентов, например, А:В=3:2. Один из возможных вариантов решения подобных задач состоит в том, чтобы выразить отношение одним числом (1,5) и в качестве параметра оптимизации пользоваться значением отклонений (или квадратов отклонений) от этого числа.

3) однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации, при этом обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов.

4) наиболее важным требованием к параметрам оптимизации является его возможность действительно эффективной оценки функционирования системы. Представление об объекте не остается постоянным в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов. Это приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так, например, на первых стадиях исследования технологических процессов в качестве параметра оптимизации часто используется выход продукта. Однако в дальнейшем, когда возможность повышения выхода исчерпан, начинают интересоваться такими параметрами, как себестоимость, чистота продукта и т. д. Оценка эффективности функционирования системы может осуществляться как для всей системы в целом, так и оценкой эффективности ряда подсистем, составляющих данную систему. Но при этом необходимо учитывать возможность того, что оптимальность каждой из подсистем по своему параметру оптимизации «не исключает возможность гибели системы в целом». Это означает, что попытка добиться оптимума с учетом некоторого локального или промежуточного параметра оптимизации может оказаться неэффективной или даже привести к браку.

5) требование универсальности или полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимают его способность всесторонне охарактеризовать объект. В частности, технологические параметры недостаточно универсальны: они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров.

6) параметр оптимизации желательно должен иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляем. Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов эксперимента. Не представляет труда объяснить, что значит максимум извлечения, максимум содержания ценного компонента. Эти и подобные им технологические параметры оптимизации имеют ясный физический смысл, но иногда для них может не выполняться, например, требование статистической эффективности. Тогда рекомендуется переходить к преобразованию параметра оптимизации. Второе требование, т. е. простота и легко вычисляемость, также весьма существенны. Для процессов разделения термодинамические параметры оптимизации более универсальны. Однако на практике ими пользуются мало: их расчет довольно труден. Из приведенных двух требований первое является более существенным, потому что часто удается найти идеальную характеристику системы и сравнить ее с реальной характеристикой.

2.3Факторы

После выбора объекта исследования и параметра оптимизации нужно рассмотреть все факторы, которые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтенным и принимал произвольные значения, не контролируемые экспериментатором, то это значительно увеличит ошибку опыта. При поддержании этого фактора на определенном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, т. к. нет гарантии, что полученный уровень является оптимальным.

С другой стороны большое число факторов увеличивает число опытов и размерность факторного пространства.

Выбор факторов эксперимента является весьма существенным, от этого зависит успех оптимизации.

Фактор – измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение и влияющая на объект исследования.

Факторы должны иметь область определения, внутри которой задаются его конкретные значения. Область определения может быть непрерывной или дискретной. При планировании эксперимента значения факторов принимаются дискретными, что связано с уровнями факторов. В практических задачах области определения факторов имеют ограничения, которые носят либо принципиальный, либо технический характер.

Факторы разделяются на количественные и качественные.

К количественным относятся те факторы, которые можно измерять, взвешивать и т. д.

Качественные факторы – это различные вещества, технологические способы, приборы, исполнители и т. п.

Хотя к качественным факторам не соответствует числовая шкала, но при планировании эксперимента к ним применяют условную порядковую шкалу в соответствии с уровнями, т. е. производится кодирование. Порядок уровней здесь произволен, но после кодирования он фиксируется.

2.3.1 Требования к факторам эксперимента

1) Факторы должны быть управляемыми, это значит, что выбранное нужное значение фактора можно поддерживать постоянным в течение всего опыта. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора. Например, экспериментальная установка смонтирована на открытой площадке. Здесь температурой воздуха мы не можем управлять, ее можно только контролировать, и потому при выполнении опытов температуру, как фактор, мы не можем учитывать.

2) Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения. Такое определение называется операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.

3) Точность замеров факторов должна быть возможно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. В длительных процессах, измеряемых многими часами, минуты можно не учитывать, а в быстрых процессах приходится учитывать доли секунды.

Исследование существенно усложняется, если фактор измеряется с большой ошибкой или значения факторов трудно поддерживать на выбранном уровне (уровень фактора «плывет»), то приходится применять специальные методы исследования, например, конфлюэнтный анализ .

4) Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать другие факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т. п. Необходимость введения сложных факторов возникает при желании представить динамические особенности объекта в статической форме. Например, требуется найти оптимальный режим подъема температуры в реакторе. Если относительно температуры известно, что она должна нарастать линейно, то в качестве фактора вместо функции (в данном случае линейной) можно использовать тангенс угла наклона, т. е. градиент.

5) При планировании эксперимента одновременно изменяют несколько факторов, поэтому необходимо знать требования к совокупности факторов. Прежде всего выдвигается требование совместимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Несовместимость факторов наблюдается на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. Одно из возможных решений – разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач.

6) При планировании эксперимента важна независимость факторов, т. е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент.

2.3.2 Требования к совокупности факторов

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому очень важно сформулировать требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего выдвигается требование совместимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Это очень важное требование. Представьте себе, что вы поступили легкомысленно, не обратили внимания на требование совместимости факторов и запланировали такие условия опыта, которые могут привести к взрыву установки или осмолению продукта. Согласитесь, что такой результат очень далек от целей оптимизации.

Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. Одно из возможных решений - разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач.

При планировании эксперимента важна независимость факторов, т. е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент. Итак, мы подошли ко второму требованию - отсутствию корреляции между факторами. Требование некоррелированности не означает, что между значениями факторов нет никакой связи. Достаточно, чтобы связь не была линейной.

3 Планирование эксперимента

3.1 План эксперимента

При проведении активного эксперимента задается определенный план варьирования факторов, т. е. эксперимент заранее планируется

План эксперимента - совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

Планирование эксперимента - выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям.

Точка плана - упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта, т. е. точка факторного пространства, в которой проводится эксперимент. Точке плана с номером i соответствует вектор-строка (3.1):

(3.1)

Общая совокупность таких векторов Xi, i= 1, Lобразует план эксперимента, а совокупность различных векторов, число которых обозначим N, - спектр плана.

В активном эксперименте факторы могут принимать только фиксированные значения. Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. Количество принимаемых уровней факторов зависит от выбранной структуры факторной модели и принятого плана эксперимента. Минимальный Xjmin и максимальный Хimах, j=l, n (n - число факторов) уровни всех факторов выделяют в факторном пространстве некоторый гиперпараллелепипед, представляющий собой область планирования. В области планирования находятся все возможные значения факторов, используемые в эксперименте.

Вектор задает точку центра областипланирования. Координаты этой точки Xj0 обычно выбирают из соотношения (3.2)

(3.2)

Точку Х0называют центром эксперимента. Она определяет основной уровень факторов Хj0, j = 1,n. Центр эксперимента стремятся выбрать как можно ближе к точке, которая соответствует искомым оптимальным значениям факторов. Для этого используется априорная информация об объекте.

Интервалом (или шагом) варьирования фактора Xj называют величину, вычисляемую по формулам (3.3, 3.4):

(3.3)

Факторы нормируют, а их уровни кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний -1, а основной 0. Нормирование факторов осуществляют на основе соотношения (3.5, 3.6):

xj =(Xj-X0j)/ΔXj, (3.5)

Рисунок 3 – Геометрическое представление области планирования при двух факторах: Х1 и Х2

Точки 1,2,3,4 являются точкамиплана эксперимента. Например, значения факторов Х1и Х2в точке 1равны соответственно X1min иХ2min, а нормированные их значения xlmin = -1, х2min = -1.

После установления нулевой точки выбирают интервалы варьирования факторов. Это связано с определением таких значений факторов, которые в кодированных величинах соответствуют +1 и –1. Интервалы варьирования выбирают с учетом того, что значения факторов, соответствующие уровням +1 и –1, должны быть достаточно отличимы от значения, соответствующему нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина интервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. С другой стороны, чрезмерное увеличение величины интервалов варьирования нежелательно, т. к. это может привести к снижению эффективности поиска оптимума. А очень малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума.

При выборе интервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента и эффективность оптимизации.

План эксперимента удобно представлять в матричной форме.

Матрица планапредставляет собой прямоугольную таблицу, содержащую информацию о количестве и условиях проведения опытов. Строки матрицы плана соответствуют опытам, а столбцы - факторам. Размерность матрицы плана L х n, где L- число опытов, n- число факторов. При проведении повторных (дублирующих) опытов в одних и тех же точках плана матрица плана содержит ряд совпадающих строк.

Похожие материалы: