По школьным урокам математики всякий помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством - повторяться через определенный интервал - владеют и многие другие функции. Они именуются периодическими. Периодичность - дюже значимое качество функции, зачастую встречающееся в разных задачах. Следственно благотворно уметь определять, является ли функция периодической.
Инструкция
1. Если F(x) - функция довода x, то она именуется периодической, если есть такое число T, что для всякого x F(x + T) = F(x). Это число T и именуется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Скажем, функция F = const для всяких значений довода принимает одно и то же значение, а потому всякое число может считаться ее периодом.Традиционно математика волнует минимальный не равный нулю период функции. Его для краткости и называют примитивно периодом.
2. Типичный пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период идентичен и равен 2?, то есть sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и так дальше. Впрочем, разумеется, тригонометрические функции - не исключительные периодические.
3. Касательно примитивных, базовых функций исключительный метод установить их периодичность либо непериодичность - вычисления. Но для трудных функций теснее есть несколько примитивных правил.
4. Если F(x) - периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F?(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Чай значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а от того что первообразная периодично повторяется, то должна повторяться и производная. Скажем, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется постоянно.Впрочем обратное не неизменно правильно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.
5. Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Скажем sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен?. Наглядно это дозволено представить так: умножая x на какое-либо число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
6. Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Впрочем ее период не будет легкой суммой периодов T1 и T2. Если итог деления T1/T2 - разумное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему всеобщему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Скажем, если период первой функции равен 12, а период 2-й - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это дозволено представить так: функции идут с различной «шириной шага», но если отношение их ширин осмысленно, то рано либо поздно (а вернее, именно через НОК шагов), они вновь сравняются, и их сумма начнет новейший период.
7. Впрочем если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической совсем. Скажем, пускай F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут будет равен 2, а T2 равен 2?. Соотношение периодов равняется? - иррациональному числу. Следственно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.
Многие математические функции имеют одну специфика, облегчающую их построение, – это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные интервалы.
Инструкция
1. Самыми вестимыми периодическими функциями математики являются синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный нрав и стержневой период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит всякое число, основного периода данная функция не имеет, потому что представляет собой прямую.
2. Вообще функция является периодической, если существует такое целое число N, которое отменно от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции – это и есть наименьшее число N, но не нуль. То есть, скажем, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.
3. Изредка при функции может стоять множитель (скажем sin 2x), тот, что увеличит либо сократит период функции. Для того дабы обнаружить период по графику , нужно определить экстремумы функции – самую высокую и самую низкую точки графика функции. Потому что синусоида и косинусоида имеют волнообразный нрав, это довольно легко сделать. От данных точек постройте перпендикулярные прямые до пересечения с осью Х.
4. Расстояние от верхнего экстремума до нижнего будет половиной периода функции. Комфортнее каждого вычислять период от пересечения графика с осью Y и, соответственно, нулевой отметки по оси х. Позже этого нужно умножить полученное значение на два и получить стержневой период функции.
5. Для простоты построения графиков синусоиды и косинусоиды нужно подметить, что если при функции стоит целое число, то ее период удлинится (то есть 2П необходимо умножить на этот показатель) и график будет выглядеть больше мягко, плавно; а если число дробное, напротив, сократится и график станет больше «острым», скачкообразным на вид.
Видео по теме
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Алгебра и начала анализа, 10 класс (профильный уровень) А.Г.Мордкович, П.Е.Семёнов Учитель Волкова С.Е.
Определение 1 Говорят, что функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, если для любого х ∈ Х выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T) . Если функция с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках х + Т, х – Т. Любая функция имеет период, равный нулю при Т = 0 получим f(x – 0) = f(x) = f(x + 0) .
Определение 2 Функцию, имеющую отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида кТ, к ∈ Z), также является её периодом.
Доказательство Пусть 2Т – период функции. Тогда f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Аналогично доказывается, что f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) и т.д. Итак, f(x - кТ) = f(x) = f(x + к T)
Наименьший период среди положительных периодов периодической функции называется основным периодом данной функции.
Особенности графика периодической функции Если Т – основной период функции y = f(x) , то достаточно: построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси х на ±Т, ±2Т, ±3Т и т.д. Обычно выбирают промежуток с концами в точках
Свойства периодических функций 1.Если f(x) – периодическая функция с периодом Т, то функция g(x) = A f(kx + b), где к > 0 , также является периодической с периодом Т 1 = Т/к. 2.Пусть функция f 1 (x) и f 2 (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами Т 1 > 0 и Т 2 >0 . Тогда при Т 1 /Т 2 ∈ Q функция f(x) = f(x) +f 2 (x) – периодическая функция с периодом Т, равным наименьшему общему кратному чисел Т 1 и Т 2 .
Примеры 1. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(0) =4 . Найти значение выражения 2f(3) – f(-3). Решение. Т = 3 , f(3) =f(0+3) = 4 , f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Подставив полученные значения в выражение 2f(3) – f(-3) , получим 8 - 4 =4 . Ответ: 4 .
Примеры 2. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 5, а f(-1) = 1. Найти f(-12), если 2f(3) – 5f(9) = 9. Решение Т = 5 F(-1) = 1 f(9) = f(-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f(3) = 7 Ответ:7.
Используемая литература А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 класс А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 класс. Методическое пособие для учителя
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Периодический закон и периодическая система Д.И. Менделеева.
Обощающий урок по данной теме проводится в виде игры, с использованием элементов технологии педагогических мастерских....
Внеклассное мероприятие "Периодический закон и периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева"
Внеклассное мероприятие раскрывает историю создания периодического закона и периодической системы Д.И. Менделеева. Информация изложена в стихотворной форме, которая способствует быстрому запоминанию м...
Приложение к внеклассному мероприятию "Периодический закон и периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева"
Открытию закона предшествовала длительная и напряженная научная работа Д.И. Менделеева в течение 15 лет, а дальнейшему его углублению было отдано еще 25 лет....
Приложение №7
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 3
Учитель
Короткова
Ася Эдиковна
г. Курганинск
2008г.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение ……………………………………………… 2-3
Периодические функции и их свойства ……………. 4-6
Задачи ………………………………………………… 7-14
Введение
Отметим, что у задач на периодичность в учебно-методической литературе нелёгкая судьба. Объясняется это странной традицией-допускать те или иные небрежности в определении периодических функций, которые приводят к к спорным решениям и провоцируют инциденты на экзаменах.
Например, в книге «Толковый словарь математических терминов» - М, 1965г., даётся следующее определение: «периодическая функция – функция
y = f(х), для которой существует число t > 0, что для всех х и х+t из области определения f(x + t) = f(х).
Приведём контр-пример, показывающий некорректность этого определения. По этому определению периодической с периодом t = 2π будет функция
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 с ограниченной областью определения , что противоречит общепринятой точке зрения о периодических функциях.
Аналогичные проблемы возникают и во многих новейших альтернативных учебниках для школы.
В учебнике А.Н.Колмогорова приводится следующее определение: «Говоря о периодичности функции f, полагают, что имеется такое число Т ≠ 0, что область определения Д (f) вместе с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х параллельным переносом вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние Т. Функцию f называют периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого из области определения значения этой функции в точках х, х – Т, х + Т равны, т.е. f (х + Т) = f (х) = f (х – Т)». Далее в учебнике написано: «Поскольку синус и косинус определена на всей числовой прямой и Sin (х + 2π) = Sin х,
Cos (х + 2π) = Cos х для любого х, синус и косинус – период функции с периодом 2π».
В этом примере почему-то не проверяется требуемое в определении условия что
Sin (х – 2π) = Sin х. В чём дело? Дело в том, что это условие в определении лишнее. Действительно, ведь если Т > 0 – период функции f(х), то Т тоже будет являться периодом этой функции.
Хочу привести ещё одно определение из учебника М.И.Башмакова «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» «Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что равенство
f (х + Т) = f(х) выполняется тождественно при всех значениях х».
В приведённом определении ничего не говорится об области определения функции, хотя имеется в виду х из области определения, не любые действительные х. По такому определению периодической может быть функция у = Sin (√х) 2 , определенная только при х ≥ 0, что неверно.
В едином государственном экзамене имеются задачи на периодичность. В одном научно- периодическом журнале в качестве тренинга по разделу С ЕГЭ было приведено решение задачи: « является ли функция у (х) = Sin 2 (2+х) – 2 Sin 2 Sin х Cos (2+х) периодической?»
В решении проявляется, что у (х – π) = у (х) в ответе – лишняя запись
«Т = π» (ведь вопрос о нахождении наименьшего положительного периода не ставиться). Так ли необходимо для решения этой задачи проводить непростое тригонометрическое образование. Ведь здесь можно ориентироваться на понятие периодичности, как на ключевое в условии задачи.
Решение.
f 1 (x) = Sin х – периодическая функция с периодом Т = 2π
f 2 (x) = Cos х – периодическая функция с периодом Т = 2π, тогда 2π – период и для функций f 3 (x) = Sin (2 + х) и f 4 (x) = Cos (2 + х), (это следует из определения периодичности)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, её периодом является любое число, в том числе и 2π.
Т.к. сумма и произведение периодических функций с общим периодом Т, также является Т-периодичной, то данная функция периодичная.
Надеюсь, что приведённый в этой работе материал, поможет при подготовке к единому государственному экзамену в решении задач на периодичность.
Периодические функции и их свойства
О п р е д е л е н и е: функция f(t) называется периодической, если для любого t из области определения этой функции D f существует число ω ≠ 0, такое, что:
1) числа (t ± ω) є D f ;
2) f (t + ω) = f(t).
1. Если число ω = период функции f (t), то число kω, где k = ±1, ±2, ±3, … тоже являются периодами функции f(t).
П р и м е р. f (t) = Sin t. Число Т = 2π – наименьший положительный период данной функции. Пусть Т 1 = 4π. Покажем, что Т 1 тоже является периодом данной функции.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Значит, Т 1 – период функции f (t) = Sin t.
2. Если функция f(t) – ω – периодическая функция, то функции f (аt), где а є R, и f (t + с), где с – произвольная константа, тоже являются периодическими.
Найдём период функции f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), т.е. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Следовательно, период функции f(аt) – ω 1 = ω/а.
П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin t/2.
П р и м е р 2. Найти период функции у = Sin (t + π/3).
Пусть f(t) = Sin t; у 0 = Sin (t 0 + π/3).
Тогда функция f(t) = Sin t примет тоже значение у 0 при t = t 0 + π/3.
Т.е. все значения, которые принимает функция у принимает и функция f(t). Если t толковать как время, то каждое значение у 0 функцией у = Sin (t + π/3) принимается на π/3 единиц времени раньше, чем функцией f(t) «сдвигом» влево на π/3. Очевидно, период функции от этого не изменится т.е. Т у = Т 1 .
3. Если F(x) – некоторая функция, а f(t) – периодическая функция, причём такая, что f(t) принадлежит области определения функции F(x) – D F , тогда функция F(f (t)) – периодическая функция.
Пусть F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) для любого t є D f .
П р и м е р. Исследовать на периодичность функцию: F(x) = ℓ sin x .
Область определения данной функции D f совпадает с множеством действительных чисел R. f (х) = Sin х.
Множество значений этой функции – [-1; 1]. Т.к. отрезок [-1; 1] принадлежит D f , то функция F(x) периодическая.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – период данной функции.
4. Если функции f 1 (t) и f 2 (t) периодические соответственно с периодами ω 1 и ω 2 и ω 1 /ω 2 = r, где r – рациональное число, то функции
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) и f 1 (t) · f 2 (t) являются периодическими (С 1 и С 2 – константы).
Замечание: 1) Если r = ω 1 /ω 2 = p/q, т.к. r – рациональное число, тогда
ω 1 q = ω 2 p = ω, где ω – наименьшее общие кратное чисел ω 1 и ω 2 (НОК).
Рассмотрим функцию С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t).
Действительно, ω = НОК (ω 1 , ω 2 ) - период данной функции
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – период функции f 1 (t) · f 2 (t), т.к.
f 1 (t + ω) · f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) · f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) · f 2 (t).
О п р е д е л е н и е: Пусть f 1 (t) и f (t) – периодические функции с периодами соответственно ω 1 и ω 2 , тогда два периода называются соизмеримыми, если ω 1 /ω 2 = r – рациональное число.
3) Если периоды ω 1 и ω 2 не соизмеримы, то функции f 1 (t) + f 2 (t) и
f 1 (t) · f 2 (t) не являются периодическими. Т.е., если f 1 (t) и f 2 (t)отличны от константы, периодичны, непрерывны, их периоды не соизмеримы, то f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) · f 2 (t) не являются периодическими.
4) Пусть f(t) = С, где С – произвольная константа. Данная функция периодичная. Её периодом является любое рациональное число, значит, наименьшего положительного периода она не имеет.
5) Утверждение верно и для большего числа функций.
П р и м е р 1. Исследовать на периодичность функцию
F(х) = Sin х + Cos х.
Решение. Пусть f 1 (х) = Sin х, тогда ω 1 = 2πk, где k є Z.
Т 1 = 2π – наименьший положительный период.
f 2 (х) = Cos х, Т 2 = 2π.
Отношение Т 1 /Т 2 = 2π/2π = 1 – рациональное число, т.е. периоды функций f 1 (х) и f 2 (х) соизмеримы. Значит, данная функция периодична. Найдём её период. По определению периодической функции имеем
Sin (х + Т) + Cos (х + Т) = Sin х + Cos х,
Sin (х + Т) - Sin х = Cos х - Cos (х + Т),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin Т/2 (Cos Т+2х/2 - Sin Т+2х/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, следовательно,
Sin Т/2 = 0, тогда Т = 2πk.
Т.к. (х ± 2πk) є D f , где f(х) = Sin х + Cos х,
f(х + t) = f(х), то функция f(х) – периодическая с наименьшим положительным периодом 2π.
П р и м е р 2. Является ли периодическая функция f(х) = Cos 2х · Sin х, каков её период?
Решение. Пусть f 1 (х) = Cos 2х, тогда Т 1 = 2π : 2 = π (см. 2)
Пусть f 2 (х) = Sin х, тогда Т 2 = 2π. Т.к. π/2π = ½ - рациональное число, то данная функция является периодической. Её период Т = НОК
(π, 2π) = 2π.
Итак, данная функция периодическая с периодом 2π.
5. Пусть функция f(t), тождественно не равная константе, непрерывна и периодична, тогда она имеет наименьший положительный период ω 0 , всякий другой период её ω имеет вид: ω = kω 0 , гдк k є Z.
Замечание: 1) В этом свойстве очень важны два условия:
f(t) непрерывна, f(t) ≠ С, где С – константа.
2) Обратное утверждение не верно. Т.е., если все периоды соизмеримы, то отсюда не следует, что существует наименьший положительный период. Т.е. у периодической функции наименьшего положительного периода может и не быть.
П р и м е р 1. f(t) = С, периодическая. Её период – любое действительное число, наименьшего периода нет.
П р и м е р 2. Функция Дирихле:
D(х) =
Любое рациональное число является её периодом, наименьшего положительного периода нет.
6. Если f(t) – непрерывная периодическая функция и ω 0 – её наименьший положительный период, то функция f(αt + β) имеет наименьший положительный период ω 0 //α/. Это утверждение следует из п. 2.
П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin (2х – 5).
Решение. у = Sin (2х – 5) = Sin (2(х – 5/2)).
График функции у получается из графика функции Sin х сначала «сжатием» в два раза, затем «сдвигом» вправо на 2,5. «Сдвиг на периодичность не влияет, Т = π – период данной функции.
Легко получить период данной функции, используя свойство п. 6:
Т = 2π/2 = π.
7. Если f(t) – ω – периодическая функция, и она имеет непрерывную производную f"(t), то f"(t) тоже периодическая функция, Т = ω
П р и м е р 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Её производная f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
П р и м е р 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Её производная
F"(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.
П р и м е р 3. f(t) =tg t, её период Т = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 t – тоже периодическая по свойству п. 7 и имеет период Т = πk. Её наименьший положительный период Т = π.
З А Д А Ч И.
№ 1
Является ли функция f(t) = Sin t + Sin πt периодической?
Решение. Для сравнения решим эту задачу двумя способами.
Во-первых, по определению периодической функции. Допустим, что f(t) – периодическая, тогда для любого t є D f имеем:
Sin (t + Т) + Sin π (t + Т) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + Т) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + Т),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Т.к. это верно для любого t є D f , то в частности и для t 0 , при котором левая часть последнего равенства обращается в ноль.
Тогда имеем: 1) Cos 2t 0 +Т/2 Sin Т/2 = 0. Разрешим относительно Т.
Sin Т/2 = 0 при Т = 2 πk, где k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Разрешим относительно Т.
Sin πТ/2 = 0, тогда Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, где n є Z.
Т.к. имеем тождество, то 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, чего быть не может, т.к. π – иррациональное число, а n/ k – рациональное. Т.е., наше предположение что функция f(t) – периодическая было не верным.
Во – вторых, решение гораздо упрощается, если воспользоваться приведёнными выше свойствами периодических функций:
Пусть f 1 (t) = Sin t, Т 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, Т 2 - 2π/π = 2. Тогда, Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π –иррациональное число, т.е. периоды Т 1 , Т 2 не соизмеримы, значит, f(t) не является периодической.
Ответ: нет.
№ 2
Показать, что если α – иррациональное число, то функция
F(t) = Cos t + Cos αt
не является периодической.
Решение. Пусть f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Тогда их периоды соответственно Т 1 = 2π, Т 2 = 2π//α/ - наименьшие положительные периоды. Найдём, Т 1 /Т 2 = 2π/α//2π = /α/ - иррациональное число. Значит Т 1 и Т 2 несоизмеримы, а функция
f(t) не является периодической.
№ 3
Найти наименьший положительный период функции f(t) = Sin 5t.
Решение. По свойству п.2 имеем:
f(t) – периодическая; Т = 2π/5.
Ответ: 2π/5.
№ 4
Является ли периодической функция F(х) = arccos x + arcsin x?
Решение. Рассмотрим данную функцию
F(х) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
т.е. F(х) – периодическая функция (см. свойство п. 5, пример 1.).
Ответ: да.
№ 5
Является ли периодической функция
F(х) = Sin 2х + Cos 4х + 5 ?
решение. Пусть f 1 (х) = Sin 2х, тогда Т 1 = π;
F 2 (х) = Cos 4х, тогда Т 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (х) = 5, Т 3 – любое действительное число, в частности Т 3 можем предположить равным Т 1 или Т 2 . Тогда период данной функции Т = НОК (π, π/2) = π. Т.е., f(х) – периодическая с периодом Т = π.
Ответ: да.
№ 6
Является ли периодической функция f(х) = х – Е(х), где Е(х) – функция, ставящая аргументу х в соответствие наименьшее целое число, не превосходящее данное.
Решение. Часто функцию f(х) обозначают {x} – дробная часть числа х, т.е.
F(х) = {x} = х – Е(х).
Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует такое число Т >0, что х – Е(х) = х + Т – Е(х + Т). Распишем это равенство
{x} + Е(х) – Е(х) = {x + T} + E(х + Т) – Е(х + Т),
{x} + {x + T} – верно для любого х из области определения D f, при условии, что Т ≠ 0 и Т є Z. Наименьшее положительное из них Т = 1, т.е. Т =1 такое, что
Х + Т – Е(х + Т) = х – Е(х),
Причём, (х ± Тk) є D f , где k є Z.
Ответ: данная функция периодична.
№ 7
Является ли периодичной функция f(х) = Sin х 2 .
Решение. Допустим, что f(х) = Sin х 2 периодическая функция. Тогда по определению периодической функции существует число Т ≠ 0 такое, что: Sin х 2 = Sin (х + Т) 2 для любого х є D f .
Sin х 2 = Sin (х + Т) 2 = 0,
2 Cos х 2 + (х+Т) 2 /2 Sin х 2 -(х+Т) 2 /2 = 0, тогда
Cos х 2 + (х+Т) 2 /2 = 0 или Sin х 2 -(х+Т) 2 /2 = 0.
Рассмотрим первое уравнение:
Cos х 2 + (х+Т) 2 /2 = 0,
Х 2 + (х+Т) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – х 2 – х. (1)
Рассмотрим второе уравнение:
Sin х 2 -(х+Т) 2 /2 = 0,
Х + Т = √- 2πk + х 2 ,
Т = √х 2 - 2πk – х. (2)
Из выражений (1) и (2) видно, что найденные значения Т зависит от х, т.е. не существует такого Т>0, что
Sin х 2 = Sin (х+Т) 2
Для любого х из области определения этой функции. f(х) – не периодична.
Ответ: нет
№ 8
Исследовать на периодичность функцию f(х) = Cos 2 х.
Решение. Представим f(х) по формуле косинуса двойного угла
F(х) = 1/2 + 1/2 Cos 2х.
Пусть f 1 (х) = ½ , тогда Т 1 – это может быть любое действительное число; f 2 (х) = ½ Cos 2х – периодическая функция, т.к. произведение двух периодических функций, имеющих общий период Т 2 = π. Тогда наименьший положительный период данной функции
Т = НОК (Т 1 , Т 2 ) =π.
Итак, функция f(х) = Cos 2 х – π – периодична.
Ответ: π – периодична.
№ 9
Может ли областью определения периодической функции быть:
А) полупрямая [а, ∞),
Б) отрезок ?
Решение. Нет, т.к.
А) по определению периодической функции, если х є D f, то х ± ω тоже
Должны принадлежать области определения функции. Пусть х = а, то
Х 1 = (а – ω) є [а, ∞);
Б) пусть х = 1, то х 1 = (1 + Т) є .
№ 10
Может ли периодическая функция быть:
А) строго монотонной;
Б) чётной;
В) не чётной?
Решение. а) Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует Т≠0 такое, что для любого х из области определения функций D f чтсла
(х ±Т) є D f и f (х±Т) = f(х).
Зафиксируем любое х 0 є D f , т.к. f(х) – периодическая, то (х 0 +Т) є D f и f(х 0 ) = f(х 0 +Т).
Допустим, что f(х) строго монотонна и на всей области определения D f , например, возрастает. Тогда по определению возрастающей функции для любых х 1 и х 2 из области определения D f из неравенства х 1 2 следует, что f(х 1 ) 2 ). Вчастности, из условия х 0 0 + Т, следует, что
F(х 0 ) 0 +Т), что противоречит условию.
Значит, периодическая функция не может быть строго монотонной.
б) Да, периодическая функция может быть чётной. Приведём несколько примеров.
F(х) = Cos х, Cos х = Cos (-х), Т = 2π, f(х) – чётная периодическая функция.
0, если х – рациональное число;
D(х) =
1, если х – иррациональное число.
D(х) = D(-х), область определения функции D(х) симметрична.
Функция Дирехле D(х) является чётной периодической функцией.
f(х) = {x},
f(-х) = -х – Е(-х) = {-x} ≠ {x}.
Данная функция не является чётной.
в) Периодическая функция может быть нечётной.
f(х) = Sin х, f(-х) = Sin (-х) = - Sin = - f(х)
f(х) – нечетная периодическая функция.
f(х) – Sin х · Cos х, f(-х) = Sin (-х) Cos (-х) = - Sin х Cos х = - f(х) ,
f(х) – нечётная и периодическая.
f(х) = ℓ Sin x , f(-х) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(х),
f(х) не является нечётной.
f(х) = tg x – нечётная периодическая функция.
Ответ: нет; да; да.
№ 11
Сколько нулей может иметь периодическая функция на:
1) ; 2) на всей числовой оси, если период функции равен Т?
Решение: 1. а) На отрезке [а, б] периодическая функция может не иметь нулей, например, f(х) = С, С≠0; f(х) = Cos х + 2.
б) На отрезке [а, б] периодическая функция может иметь бесконечное множество нулей, например, функция Дирехле
0, если х – рациональное число,
D(х) =
1, если х – иррациональное число.
в) На отрезке [а, б] периодическая функция может иметь конечное число нулей. Найдём это число.
Пусть Т – период функции. Обозначим
Х 0 = {min x є{a,б}, таких что f(х) = 0}.
Тогда число нулей на отрезке [а, б]: N = 1 + Е (в-х 0 /Т).
Пример 1. х є [-2, 7π/2], f(х) = Cos 2 х – периодическая функция с периодом Т = π; х 0 = -π/2; тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке
N = 1 + Е (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + Е (8π/2π) = 5.
Пример 2. f(х) = х – Е(х), х є [-2; 8,5]. f(х) – периодическая функция, Т + 1,
х 0 = -2. Тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке
N = 1 + Е (8,5 – (-2)/1) = 1 + Е (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Пример 3. f(х) = Cos х, х є [-3π; π], Т 0 = 2π, х 0 = - 5π/2.
Тогда число нулей данной функции на заданном отрезке
N = 1 + Е (π – (-5π/2)/2π) = 1 + Е (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. а) Бесконечное число нулей, т.к. х 0 є D f и f(х 0 ) = 0, то для всех чисел
Х 0 +Тk, где k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, а точек вида х 0 ± Тk бесконечное множество;
б) не иметь нулей; если f(х) – периодическая и для любых
х є D f функция f(х) >0 или f(х)
F(х) = Sin х +3,6; f(х) = С, С ≠ 0;
F(х) = Sin х – 8 + Cos х;
F(х) = Sin х Cos х + 5.
№ 12
Может ли сумма не периодических функций быть периодической?
Решение. Да, может. Например:
- f 1 (х) = х – непериодическая, f 2 (х) = Е(х) – непериодическая
F(х) = f 1 (х) – f 2 (х) = х – Е(х) – периодическая.
- f 1 (х) = х – непериодическая, f(х) = Sin х + х – непериодическая
F(х) = f 2 (х) – f 1 (х) = Sin х – периодическая.
Ответ: да.
№ 13
Функция f(х) и φ(х) периодические с периодами Т 1 и Т 2 соответственно. Всегда ли их произведение есть периодическая функция?
Решение. Нет, только в случае, когда Т 1 и Т 2 – соизмеримы. Например,
F(х) = Sin х · Sin πх, Т 1 = 2π, Т 2 = 2; тогда Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π – иррациональное число, значит, f(х) не является периодической.
f(х) = {х} Cos х = (х – Е(х)) Cos х. Пусть f 1 (х) = х – Е(х), Т 1 = 1;
f 2 (х) = Cos (х), Т 2 = 2π. Т 2 /Т 1 = 2π/1 = 2π, значит f(х) не является периодической.
Ответ: Нет.
Задачи для самостоятельного решения
Какие из функций являются периодическими, найти период?
1. f(х) = Sin 2х, 10. f(х) = Sin х/2 + tg х,
2. f(х) = Cos х/2, 11. f(х) = Sin 3х + Cos 4х,
3. f(х) = tg 3х, 12. f(х) = Sin 2 х+1,
4. f(х) = Cos (1 – 2х), 13. f(х) = tg х + ctg√2х,
5. f(х) = Sin х Cos х, 14. f(х) = Sin πх + Cos х,
6. f(х) = ctg х/3, 15. f(х) = х 2 – Е(х 2 ),
7. f(х) = Sin (3х – π/4), 16. f(х) = (х – Е(х)) 2 ,
8. f(х) = Sin 4 х + Cos 4 х, 17. f(х) = 2 х – Е(х) ,
9. f(х) = Sin 2 х, 18. f(х) = х – n + 1, если n ≤ х≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Пусть f(х) – Т – периодическая функция. Какие из функций периодические (найти Т)?
- φ(х) = f(х + λ) – периодическая, т.к. «сдвиг» вдоль оси Ох на ω не влияет; её период ω = Т.
- φ(х) = а f(х + λ) + в – периодическая функция с периодом ω = Т.
- φ(х) = f(kх) – периодическая функция с периодом ω = Т/k.
- φ(х) = f(ах + в) - периодическая функция с периодом ω = Т/а.
- φ(х) = f(√х) не является периодической, т.к. её область определения D φ = {x/x ≥ 0}, а у периодической функции область определения полуосью быть не может.
- φ(х) = (f(х) + 1/(f(х) – 1) – периодическая функция, т.к.
φ(х +Т) = f(х+Т) + 1/f(х +Т) – 1 = φ(х), ω = Т.
- φ(х) = а f 2 (х) + в f(х) + с.
Пусть φ 1 (х) = а f 2 (х) – периодическая, ω 1 = т/2;
φ 2 (х) = в f(х) – периодическая, ω 2 = Т/Т = Т;
φ 3 (х) = с – периодическая, ω 3 – любое число;
тогда ω = НОК(Т/2; Т) = Т, φ(х) – периодическая.
Иначе, т.к. областью определения данной функции является вся числовая прямая, то множество значений функции f – Е f є D φ , значит, функция
φ(х) – периодическая и ω = Т.
- φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0.
φ(х) – периодическая с периодом ω = Т, т.к. для любого х функция f(х) принимает значения f(х) ≥ 0, т.е. её множество значений Е f є D φ , где
D φ – область определения функции φ(z) = √z.
№ 15
Является ли функция f(х) = х 2 периодической?
Решение. Рассмотрим х ≥ 0, тогда для f(х) существует обратная функция √х, значит, на этом интервале f(х) – монотонная функция, тогда она не может быть периодической (см. № 10).
№ 16
Дан многочлен P(х) = а 0 + а 1 х + а 2 х + …а n х.
Является ли Р(х) периодической функцией?
Решение. 1. Если тождество равно константе, то P(х) – периодическая функция, т.е. если а i = 0, где i ≥ 1.
2.Пусть P(х) ≠ с, где с – некоторая константа. Допустим P(х) – периодическая функция, и пусть P(х) имеет вещественные корни, тогда т.к. P(х) - периодическая функция, то их должно быть бесконечное множество. А по основной теореме алгебры их число k таково, что k ≤ n. Значит, P(х) не является периодической функцией.
3. Пусть P(х) тождественно неравный нулю многочлен, и он не имеет вещественных корней. Допустим, P(х) – периодическая функция. Введём многочлен q(х) = а 0 , q(х) – периодическая функция. Рассмотрим разность P(х) - q(х) = а 1 х 2 + … +а n х n .
Т.к. в левой части равенства стоит периодическая функция, то функция, стоящая в правой части, тоже периодична, причём, она имеет хотя бы один вещественный корень, х = 0. Т.к. функция периодична, то нулей должно быть бесконечное множество. Получили противоречие.
P(х) не является периодической функцией.
№ 17
Дана функция f(t) – Т – периодическая. Является ли функция f к (t), где
k є Z, периодической функцией, как связаны их периоды?
Решение. Доказательство проведём методом математической функции. Пусть
f 1 = f(t), тогда f 2 = f 2 (t) = f(t) · f(t),
F 3 = f 3 (t) = f(t) · f 2 – периодическая функция по свойству п. 4.
………………………………………………………………………….
Пусть f к-1 = f к-1 (t) – периодическая функция и её период Т к-1 соизмерим с периодом Т. Умножим обе части последнего равенства на f(t), получим f к-1 ·f(t) = f(t) ·f к-1 (t),
F к = f к (t) – периодическая функция по свойству п.4. ω ≤ Т.
№ 18
Пусть f(х – произвольная функция, определённая на . Является ли функция f({x}) периодической?
О т в е т: да, т.к. множество значений функции {x} принадлежит области определения функции f(х), то по свойству п.3 f({x}) – периодическая функция, её период ω = Т = 1.
№ 19
F(х) – произвольная функция, определённая на [-1; 1], является ли функция f(sinx) периодической?
О т в е т: да, её период ω = Т = 2π (доказательство аналогично № 18).
Повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T ≠ 0 {\displaystyle T\neq 0} , если для каждой точки x {\displaystyle x} из её области определения точки x + T {\displaystyle x+T} и x − T {\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f (x) = f (x + T) = f (x − T) {\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)} .
Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f (x) = f (x + n T) {\displaystyle f(x)=f(x+nT)} , где n {\displaystyle n} - любое целое число.
Однако если у множества периодов { T , T > 0 , T ∈ R } {\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.
Примеры
Sin (x + 2 π) = sin x , cos (x + 2 π) = cos x , ∀ x ∈ R . {\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
- Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
Некоторые особенности периодических функций
и T 2 {\displaystyle T_{2}} (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции f (x) = sin (2 x) − sin (3 x) {\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)} основной период равен 2 π {\displaystyle 2\pi } , у функции g (x) = sin (3 x) {\displaystyle g(x)=\sin(3x)} период равен 2 π / 3 {\displaystyle 2\pi /3} , а у их суммы f (x) + g (x) = sin (2 x) {\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)} основной период, очевидно, равен π {\displaystyle \pi } .- Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Введение .
Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженеров. В результате постановки и исследования ряда конкретных проблем механики и физики возникла теория тригонометрических рядов. Важнейшую роль ряды Фурье играют во всех областях техники, опирающихся на теорию колебаний и теорию спектрального анализа. Например, в системах передачи данных для описания сигналов практическое применение спектральных представлений неизменно приводит к необходимости экспериментального осуществления разложения Фурье. Особенно велика роль тригонометрических рядов в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов: амплитудный спектр функции находится с помощью ряда Фурье в комплексной форме. Для представления непериодических процессов применяется интеграл Фурье.
Тригонометрические ряды находят важное применение в многочисленных разделах математики и доставляют особенно удобные методы для решения трудных задач математической физики, например, задачи о колебании струны и задачи о распространении тепла в стержне.
Периодические функции.
Многие задачи науки и техники связаны с периодическими функциями, отражающими циклические процессы.
Определение 1. Периодическими называются явления, повторяющиеся в одной и той же последовательности и в одном и том же виде через определенные интервалы аргумента.
Пример. В спектральном анализе – спектры.
Определение 2. Функция у = f (x ) называется периодической с периодом Т , если f (x + Т ) = f (x ) при всех х и x + Т из области определения функции.
На рисунке период изображенной функции Т = 2.
Определение 3. Наименьший положительный период функции называется основным периодом.
Там, где приходится иметь дело с периодическими явлениями, почти всегда встречаются тригонометрические функции.
Период функций 
равен , период функций 
равен .
Период тригонометрических функций с аргументом (ах ) находится по формуле:
.
Пример.
Найти основной период функций 1) 
.
Решение . 1) . 2) .
Лемма. Если f (x ) имеет период Т , то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т , не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е. = .
Основной период сложной периодической функции у = f (x ) (состоящей из суммы периодических функций) – это наименьшее общее кратное периодов составляющих функций.
То есть, если f (x ) = f 1 (x ) + f 2 (x ), Т 1 – период функции f 1 (x ), Т 2 – период функции f 2 (x ), то наименьший положительный период Т должен удовлетворять условию:
T = nT 1 + kT 2 , где (*) –
