Рассмотрим, что такое геометрическая вероятность (геометрическое определение вероятности) на примерах некоторых задач. Пусть дан отрезок длиной . Разделим его пополам (для однозначности точку деления отнесём к левой половине). Наугад выкладывается точка на этот отрезок. Возможны два случая: “точка попала на левую половину” – событие ; “точка попала на правую половину” – событие . Так как точка кладётся наугад, тогда целесообразно считать, что эти события равновозможные. Тогда вероятность события , так же получается и с .
Теперь разделим отрезок на 10 равных частей (длина каждого ). Случайным образом бросаем точку на этот отрезок. Возможные случаи: “точка попала на первый отрезок” – событие , “точка попала на второй отрезок” – событие , “точка попала на третий отрезок” – событие и так до отрезка десятого – . Считая эти события равновозможными получаем, что вероятность каждого из этих событий равняется 0,1. То есть, .
Пусть событие заключается в том, что случайно брошенная точка попала, например на отрезок . Так как событию способствуют четыре из возможных случаев, тогда вероятность можно представить:
Отсюда следует:
– вероятность случайного попадания точки на отрезок длиной , который помещается на отрезке длиной .
Вышеизложенный подход можно обобщить для плоских фигур (см. рис. 1), а также в пространстве для тел.
Рис. 1
Пусть фигура , площадь которой равняется , помещается в фигуре , площадь которой , тогда вероятность события , которое заключается в том, что наугад брошенная точка попадёт в фигуру , равняется отношению площади этих фигур, то есть:
Для формул (1) и (2) имеется ввиду “равновозможность” случайного попадания точки в произвольную точку отрезка или фигуры .
Геометрическая модель
С целью наглядности рассмотрим такую модель:
Пусть фигура – это прямоугольник размера x (его площадь ), описанный вокруг фигуры , нарисованной на асфальте. Вместо точек, которые выбираются наугад в прямоугольнике, будем считать капли дождя, что только начинается. После определённого времени прямоугольник закроем от дождя и посчитаем количество капель , которые попали на весь прямоугольник , а также количество капель , которые попали на фигуру . Вычислим относительную частоту . Нам уже известно что по формуле (2) можно найти вероятность событий , которое заключается в случайном выборе точки из фигуры . В данном случае это соотношение площадей , а с другой стороны . Поэтому у нас получается приближённое равенство , при помощи которого можно найти площадь фигуры ,
Понятно, что этот пример приведён для наглядности, а в действительности лучше вычислять при помощи компьютерной программы. Однако, техника и не всегда может быть под рукой. Хотелось бы показать ещё несколько примеров, чтобы вы более ясно поняли тему геометрической вероятности.
Задачи по теме: “Геометрическое определение вероятности”
Пример 1
Задача
Два студента после занятий договорились встретиться возле входа корпуса. Так как у каждого из них могли появиться непредвиденные обстоятельства, они договорились, что встреча состоится с 14.00 до 15.00. Таким образом, кто первый приходит к месту назначения, тот ждёт 15 минут (но не позже 15.00) и уходит. Найти вероятность встречи, если час ожидания взять:
а) 15 минут;
б) 20 минут;
в) 30 минут.
Решение
Пусть – час прихода первого студента на место встречи, – второго.
Встреча происходит при условии, что:
Множества решений неравенств изображено на рис. 2.
Площадь квадрата . Площадь фигуры .
Поэтому вероятность встречи (событие ):
При минут имеем ;
при минут: ;
при минут: .
Рис. 2
Ответ
Вероятность встречи при ожидании 15 минут приблизительно 0, 44;
Вероятность встречи при ожидании 20 минут = 0, 55;
Вероятность встречи при ожидании 30 минут около 0, 75.
Пример 2
Задача
Найти площадь параболического сегмента, который задан равенствами:
Решение
Параболический сегмент показан на рис. 3.
Рис. 3
Точки пересечения с осью – и .
Эту площадь можно вычислить при помощи определённого интеграла или при помощи формулы:
где – коэффициент при в равенстве параболы.
Покажем, как найти искомую площадь, используя геометрическое определение вероятности . Опишем вокруг параболического сегмента квадрат со стороной 4 единицы. Площадь квадрата кв. ед. (см. рис. 3). При помощи стандартной функции генерирования случайных точек , которые попадают в квадрат, в том числе точек, которые в параболическом сегменте, найдём относительную частоту попадания случайных точек в параболический сегмент. Тогда по формуле (3) находим .
В таблице 1 даны результаты расчётов ближайших значений площади параболического сегмента для разных значений и . Так, из рис. 3 видно, что в квадрат попало 10 точек, а в сегмент – 6, поэтому первого приближения площади у нас получается:
; что и записываем в первой строке табл. 1:
| Площадь | ||
| 10 | 6 | 9,6 |
| 100 | 66 | 10,56 |
| 1 000 | 665 | 10,32 |
| 10 000 | 6 645 | 10,6336 |
| 100 000 | 66 865 | 10,6984 |
| 1000 000 | 666 727 | 10,6671 |
Таблица 1
Ответ
Площадь найдена при использовании геометрического определения вероятности, которая высчитана и записана в таблице.
Геометрическое определение вероятности случайного события обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру
Как было показано в разделе «Классическое определение вероятности» , в случайных экспериментах с конечным числом равновозможных элементарных исходов применяется классическое определение вероятности .
Для введения вероятности событий в случайных экспериментах, возможные результаты которых (элементарные исходы) также являются равновозможными и целиком заполняют отрезок прямой линии, фигуру на плоскости или область в пространстве, применяется геометрическое определение вероятности . В таких экспериментах число элементарных исходов не является конечным , и поэтому классическое определение вероятности к ним применять нельзя.
Проиллюстрируем введение геометрического определения вероятности на примерах.
Пример 1 . На отрезок числовой прямой наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попала на отрезок (рис.1).
Ответ:
Пример 2 . Диагонали KM и LN квадрата KLMN пересекают вписанную в квадрат окружность в точках E и F , точка O - центр окружности (рис. 2).
В квадрат KLMN наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в сектор EOF, отмеченный на рисунке 2 розовым цветом.
Ответ:
Пример 3 . В конус с вершиной S и центром основания O наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в усеченный конус , полученный при сечении конуса плоскостью, проходящей через середину O" высоты конуса и параллельной основанию конуса (рис. 3).
Решение . Множеством элементарных исходов Ω случайного эксперимента по бросанию точки служит множество всех точек конуса с вершиной S и центром основания O .
Попадание точки в усеченный конус является одним из случайных событий, которое мы обозначим буквой A .
При геометрическом определении вероятность события A вычисляется по формуле
Обозначим буквой R радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O , а буквой H - высоту этого конуса. Тогда радиус основания и высота конуса с вершиной S и центром основания O" будут равны
соответственно.
Объем конуса с вершиной S и центром основания O равен
Классическое определение вероятности
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием принято называть событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. К примеру, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.
Событие принято называть достоверным, в случае если в результате испытания оно обязательнопроисходит. Невозможным принято называть событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в результате испытания произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, в случае если никакие два из них не могут появиться вместе.
Случайные события образуют полную группу, в случае если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.
Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход принято называть благоприятствующим появлению события А, в случае если появление этого события влечет за собой появление события А.
Геометрическое определение вероятности
Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - ϶ᴛᴏ отдельные точки G, любое событие - ϶ᴛᴏ подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G ʼʼравноправныʼʼ и тогда вероятность попадания точки в неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объёму) и не зависит от его расположения и формы.
Геометрическая вероятность события А определяется отношением: , где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объёмы) всего пространства элементарных исходов и события А.
Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.
Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов - ϶ᴛᴏ отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, в случае если его центр попадет в полосу, ᴛ.ᴇ. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, ᴛ.ᴇ. .
Для искомой вероятности получаем: .
5. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, относительная частота А определяется формулой:
(2)где m-число появлений события, n-общее число испытаний . Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта͵ а относительную частоту - после опыта.
Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем
В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота͵ принято называть статистической вероятностью этого события.
6. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. К примеру, в случае если из орудия произведены два выстрела и А - попадание при первом выстреле, В - попадание при втором выстреле, то А + В - попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.
В частности, в случае если два события А и B - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.Суммой нескольких событий называют событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. К примеру, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.Пусть события A и В - несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на данный вопрос дает теорема сложения.Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).Доказательство
С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).
Геометрическое определение вероятности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Геометрическое определение вероятности" 2017, 2018.
На практике очень часто встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Иногда в таких случаях можно воспользоваться методом вычисления вероятности, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий.... .
В некотором квадрате случайным образом выбирается точка, какова вероятность того, что эта точка окажется внутри области Д. , где SД- площадь области Д, S- площадь всего квадрата. При классическом определенную нулевую вероятность имело... .
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область. Пусть плоская фигура g (отрезок или тело)... .
Классическое определение вероятности ЛЕКЦИЯ 1. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ А.А. Халафян БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ 1. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория... .[читать подробнее] .
Это определение используется, когда опыт имеет несчетное множество равновозможных исходов. В этом случае пространство элементарных событий можно представить в виде некоторой области G. Каждая точка этой области соответствует элементарному событию. Попадание... .
Геометрическое определение вероятности является расширением понятия классической вероятности на случай несчётного множества элементарных событий. В случае, когда является несчётным множеством, вероятность определяется не на элементарных событиях, а на их множествах.... .
Классическое определение вероятности ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом. Множество &... .
Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Поэтому при решении задач, в которых рассматриваются такие испытания, вместо формулы применяется другой подход, называемый геометрическим определением вероятности. На этом уроке мы познакомимся с понятием геометрической вероятности: введём определение, выясним, что оно похоже на классическое определение вероятности. Также разберём некоторые примеры на разные меры, используемые в определении геометрической вероятности (длину, площадь и объём).
2) Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной 3 м идёт перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он подорвётся?
3) В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность того, что он: 1) прямоугольный; 2) равнобедренный; 3) тупоугольный?
1) Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С. Ал-геб-ра и ма-те-ма-ти-че-ский ана-ли-з для 11 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изуч. математики - М.: Просвещение, 1998.
2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Дрофа.
3) М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.
Формула P(A)=m/n теряет смысл, если число всех равновозможных несовместных случаев неограниченo (образует бесконечное множество). Однако возможно иногда всей совокупности бесконечных равновозможных несовместных случаев дать количественную характеристику S в некоторых мерах длины, площади, объема, времени и так далее, а части этой совокупности, благоприятствующей наступлению рассматриваемого события A - характеристику S б в тех же мерах. Тогда вероятность появления события A определяется соотношением:
Пример №1
. Из промежутка наудачу выбраны два числа x и y. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
Решение.
Испытание состоит в случайном выборе из промежутка пары чисел x и y. Будем это интерпретировать как выбор наудачу точки M(x;y) из множества всех точек квадрата, сторона которого равна двум. Рассмотрим фигуру Ф, представляющую собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют системе неравенств x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная точка M(x;y) принадлежит фигуре Ф.
По формуле (8) искомая вероятность равна отношению площади фигуры Ф к площади квадрата:
Пример №2
. Двое договорились о встрече в определенном месте. Каждый из них приходит в условленное место независимо друг от друга в случайный момент времени из и ожидает не более чем время . Какова вероятность встречи на таких условиях?
Решение.
Обозначим через x время прихода первого в условленное место, а через y - время прихода туда второго лица. Из условия вытекает, что x и y независимо друг от друга пробегают промежуток времени . Испытание состоит в фиксации времени прихода указанных лиц к месту встречи. Тогда пространство элементарных исходов данного испытания интерпретируется как совокупность всех точек M(x;y) квадрата Ω={(x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T}. Интересующее нас событие A - “встреча произошла” наступает в том и только том случае, когда выбранная точка M(x;y) окажется внутри фигуры Ф, представляющей собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству |x – y| ≤ t. По формуле (8) искомая вероятность
представляет собой отношение площади фигуры Ф к площади квадрата Ω:
Анализируя полученный в этой задаче результат, видим, что с возрастанием увеличивается вероятность встречи. Пусть, например, T = 1 час, t = 20 мин, тогда
, то есть чаще чем в половине случаев встречи будут происходить, если многократно договариваться на указанных выше условиях.
Пример №3
. На отрезке l наугад выбраны две точки.
P(0
Пример №4
. В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое ее расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Решение
. Вероятность того, что точка окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а
будет равна отношению площади квадрат к площади круга.
Площадь квадрата: Sкв = a 2 .
Площадь круга: S = πr 2
Тогда вероятность составит: p = Sкв / S = a 2 / πr 2
Пример №5
. С промежутке выбирают наугад два действительных числа. Найдите вероятность того, что их сумма будет больше 4, а произведение - меньше 4.
Решение.
Всего чисел 5: 0,1,2,3,4. Вероятность их появления p=1/5 = 0.2
а) вероятность того, что их сумма будет больше 4
Всего количество таких исходов равно 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 и 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0.2*0.2*8 = 0.32
б) произведение - меньше 4.
Всего количество таких исходов равно 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 и 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3*1
P = 0.2*0.2*13 = 0.52
Задачи для самостоятельного решения
4.3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километром линии? (Вероятность обрыва провода в любом месте считать одинаковой).
Ответ: 1/6.
4.4. В круг радиуса r наугад брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в данный круг правильного треугольника.
Ответ:
4.5. Найдите вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
Ответ: 0;25.
4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно.
Ответ: π/15.
4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64?
Ответ: 0;36.
4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
Ответ: 5/9.
4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго - двум часам.
Ответ: ≈ 0;121.
4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Ответ: ≈ 0;38.
4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом 
, наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Ответ: 1/3.
4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Ответ: 2/3.
4.13. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25, а область g - этой окружностью и параболой 16x - 3y 2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g.
Ответ: ≈ 0;346.
4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09.
Ответ: ≈ 0;198.
