Čo majú spoločné egyptské pyramídy, Mona Lisa Leonarda da Vinciho a logá Twitter a Pepsi?
Neodkladajme odpoveď – všetky boli vytvorené pomocou pravidla zlatého rezu. Zlatý rez je pomer dvoch veličín a a b, ktoré sa navzájom nerovnajú. Tento podiel sa často vyskytuje v prírode a pravidlo zlatého pomeru sa aktívne používa aj vo výtvarnom umení a dizajne - kompozície vytvorené pomocou „božského pomeru“ sú dobre vyvážené a, ako sa hovorí, príjemné pre oči. Čo je to však vlastne zlatý rez a dá sa využiť aj v moderných disciplínach, napríklad vo webdizajne? Poďme na to.
TROCHU MATICE
Povedzme, že máme určitý úsek AB, rozdelený na dve časti bodom C. Pomer dĺžok úsekov je: AC/BC = BC/AB. To znamená, že segment je rozdelený na nerovnaké časti tak, že väčšia časť segmentu tvorí rovnaký podiel v celom, nerozdelenom segmente ako menší segment vo väčšom segmente.
Toto nerovnaké delenie sa nazýva zlatý rez. Zlatý rez je označený symbolom φ. Hodnota φ je 1,618 alebo 1,62. Vo všeobecnosti, veľmi zjednodušene povedané, ide o rozdelenie segmentu alebo akejkoľvek inej hodnoty v pomere 62 % a 38 %.
„Božský pomer“ je ľuďom známy už od staroveku; toto pravidlo sa používalo pri stavbe egyptských pyramíd a Parthenonu; zlatý pomer možno nájsť na maľbe Sixtínskej kaplnky a na maľbách Van Gogha. Zlatý rez je široko používaný aj dnes – príkladmi, ktoré máme neustále pred očami, sú logá Twitter a Pepsi.
Ľudský mozog je navrhnutý tak, že považuje za krásne tie obrázky alebo predmety, v ktorých je možné rozpoznať nerovnaký podiel častí. Keď o niekom povieme, že „má dobré proporcie“, nevedomky tým myslíme zlatý rez.
Zlatý rez je možné aplikovať na rôzne geometrické tvary. Ak vezmeme štvorec a vynásobíme jednu stranu číslom 1,618, dostaneme obdĺžnik.
Teraz, ak na tento obdĺžnik položíme štvorec, môžeme vidieť čiaru zlatého rezu:
Ak budeme pokračovať v používaní tohto pomeru a rozdelíme obdĺžnik na menšie časti, dostaneme tento obrázok:
Zatiaľ nie je jasné, kam nás táto fragmentácia geometrických útvarov zavedie. Ešte trochu a všetko bude jasné. Ak v každom štvorci diagramu nakreslíme hladkú čiaru rovnajúcu sa štvrtine kruhu, dostaneme zlatú špirálu.
Toto je nezvyčajná špirála. Niekedy sa jej hovorí aj Fibonacciho špirála na počesť vedca, ktorý študoval postupnosť, v ktorej každé číslo je skoršie k súčtu dvoch predchádzajúcich. Ide o to, že tento matematický vzťah, ktorý vizuálne vnímame ako špirálu, nájdeme doslova všade – slnečnice, morské mušle, špirálové galaxie a tajfúny – všade je zlatá špirála.
AKO MÔŽETE VYUŽIŤ ZLATÝ POMER V DIZAJNE?
Teoretická časť je teda za nami, prejdime k praxi. Je naozaj možné použiť zlatý rez v dizajne? Áno môžeš. Napríklad vo webdizajne. Berúc do úvahy toto pravidlo, môžete získať správny pomer kompozičných prvkov rozloženia. Výsledkom je, že všetky časti dizajnu, až po tie najmenšie, budú navzájom harmonicky kombinované.
Ak vezmeme typické rozloženie so šírkou 960 pixelov a aplikujeme naň zlatý rez, dostaneme tento obrázok. Pomer medzi dielmi je už známy 1:1,618. Výsledkom je dvojstĺpcové usporiadanie s harmonickou kombináciou dvoch prvkov.
Stránky s dvoma stĺpcami sú veľmi bežné a nie je to ani zďaleka náhodné. Tu je napríklad webová stránka National Geographic. Dva stĺpce, pravidlo zlatého rezu. Dobrý dizajn, usporiadaný, vyvážený a rešpektujúci požiadavky vizuálnej hierarchie.
Ešte jeden príklad. Dizajnérske štúdio Moodley vyvinulo korporátnu identitu pre festival múzických umení v Bregenzi. Keď dizajnéri pracovali na plagáte podujatia, jasne použili pravidlo zlatého rezu, aby správne určili veľkosť a umiestnenie všetkých prvkov a v dôsledku toho získali ideálnu kompozíciu.
Lemon Graphic, ktorý vytvoril vizuálnu identitu pre Terkaya Wealth Management, tiež použil pomer 1:1,618 a zlatú špirálu. Tri prvky dizajnu vizitky dokonale zapadajú do schémy, výsledkom čoho je, že sa všetky časti veľmi dobre spájajú
Tu je ďalšie zaujímavé využitie zlatej špirály. Opäť je pred nami webová stránka National Geographic. Ak sa pozriete na dizajn bližšie, môžete vidieť, že na stránke je ďalšie logo NG, len menšie, ktoré je umiestnené bližšie k stredu špirály.
Samozrejme, nie je to náhodné – dizajnéri veľmi dobre vedeli, čo robia. Toto je skvelé miesto na duplikovanie loga, pretože naše oko sa pri prezeraní stránky prirodzene pohybuje smerom k stredu kompozície. Takto funguje podvedomie a s tým treba pri práci na dizajne počítať.
ZLATÉ KRUHY
„Božská proporcia“ sa dá použiť na akékoľvek geometrické tvary vrátane kruhov. Ak kruh vpíšeme do štvorcov, ktorých pomer je 1:1,618, dostaneme zlaté kruhy.
Tu je logo Pepsi. Všetko je jasné aj bez slov. Pomer aj spôsob dosiahnutia hladkého oblúka prvku bieleho loga.
S logom Twitter je to trochu komplikovanejšie, no aj tu vidieť, že jeho dizajn je založený na použití zlatých kruhov. Trochu sa neriadi pravidlom „božského pomeru“, ale do schémy väčšinou zapadajú všetky jeho prvky.
ZÁVER
Ako vidíte, napriek tomu, že pravidlo zlatého rezu je známe už od nepamäti, nie je vôbec zastarané. Preto sa dá použiť v dizajne. Nie je potrebné snažiť sa čo najlepšie zapadnúť do schémy - dizajn je nepresná disciplína. Ak však potrebujete dosiahnuť harmonickú kombináciu prvkov, nebude na škodu pokúsiť sa uplatniť princípy zlatého rezu.
Človek rozlišuje predmety okolo seba podľa ich tvaru. Záujem o tvar objektu môže byť diktovaný životnou nevyhnutnosťou alebo môže byť spôsobený krásou tvaru. Forma, ktorej konštrukcia je založená na kombinácii symetrie a zlatého rezu, prispieva k najlepšiemu vizuálnemu vnímaniu a dojmu pocitu krásy a harmónie. Celok sa vždy skladá z častí, časti rôznych veľkostí sú v určitom vzťahu medzi sebou aj k celku. Princíp zlatého rezu je najvyšším prejavom štrukturálnej a funkčnej dokonalosti celku a jeho častí v umení, vede, technike a prírode.
Zlatý rez - harmonický pomer
V matematike pomer(lat. proportio) nazývame rovnosť dvoch vzťahov:
a : b = c : d.
Rovný segment AB možno rozdeliť na dve časti nasledujúcimi spôsobmi:
- na dve rovnaké časti - AB : A.C. = AB : B.C.;
- na dve nerovnaké časti v akomkoľvek ohľade (takéto časti netvoria proporcie);
- teda, kedy AB : A.C. = A.C. : B.C..
To druhé je zlaté delenie alebo delenie segmentu v extrémnom a priemernom pomere.
Zlatý rez je také proporčné rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, pri ktorom celý segment súvisí s väčšou časťou, ako samotná väčšia časť súvisí s menšou; alebo inými slovami, menší segment je väčší ako väčší ako celok:
a : b = b : c
alebo
c : b = b : a.
Ryža. 1. Geometrický obraz zlatého rezu
Praktické oboznámenie sa so zlatým rezom začína rozdelením úsečky v zlatom pomere pomocou kružidla a pravítka.
Ryža. 2.B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.
Z bodu B obnoví sa kolmica rovnajúca sa polovici AB. Prijatý bod C spojené čiarou s bodom A. Na výslednej čiare sa vykreslí segment B.C. končiace bodkou D. Úsečka AD prevedené na priame AB. Výsledný bod E rozdeľuje segment AB v zlatom reze.
Segmenty zlatého rezu sú vyjadrené ako nekonečný iracionálny zlomok A.E.= 0,618..., ak AB brať ako jeden BE= 0,382... Na praktické účely sa často používajú približné hodnoty 0,62 a 0,38. Ak segment AB 100 častí, potom väčšia časť segmentu sa rovná 62 a menšia časť je 38 častí.
Vlastnosti zlatého rezu sú opísané rovnicou:
X 2 – X – 1 = 0.
Riešenie tejto rovnice:
Vlastnosti zlatého rezu vytvorili okolo tohto čísla romantickú auru tajomstva a takmer mystického uctievania.
Druhý zlatý rez
Bulharský časopis „Vlasť“ (č. 10, 1983) uverejnil článok Cvetana Tsekova-Karandash „O druhom zlatom reze“, ktorý vyplýva z hlavnej časti a uvádza ďalší pomer 44:56.
Tento podiel sa nachádza v architektúre a vyskytuje sa aj pri vytváraní kompozícií obrazov podlhovastého horizontálneho formátu.
Ryža. 3.
Rozdelenie sa uskutočňuje nasledovne. Úsečka AB rozdelené podľa zlatého rezu. Z bodu C kolmica sa obnoví CD. Polomer AB je tu pointa D, ktorý je spojený čiarou s bodom A. Pravý uhol ACD je rozdelená na polovicu. Z bodu C nakreslí sa čiara, kým sa nepretne s čiarou AD. Bodka E rozdeľuje segment AD v pomere 56:44.
Ryža. 4.
Na obrázku je znázornená poloha čiary druhého zlatého rezu. Nachádza sa uprostred medzi čiarou zlatého rezu a strednou čiarou obdĺžnika.
Zlatý trojuholník
Ak chcete nájsť segmenty zlatého podielu vzostupnej a zostupnej série, môžete použiť pentagram.
Ryža. 5. Konštrukcia pravidelného päťuholníka a pentagramu
Ak chcete postaviť pentagram, musíte postaviť pravidelný päťuholník. Spôsob jeho výstavby vypracoval nemecký maliar a grafik Albrecht Durer (1471...1528). Nechaj O- stred kruhu, A– bod na kruhu a E– stred segmentu O.A.. Kolmo na polomer O.A., obnovený v bode O, pretína kružnicu v bode D. Pomocou kompasu nakreslite segment na priemer C.E. = ED. Dĺžka strany pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu je DC. Rozložte segmenty na kruh DC a získame päť bodov, aby sme nakreslili pravidelný päťuholník. Rohy päťuholníka spojíme cez seba uhlopriečkami a získame pentagram. Všetky uhlopriečky päťuholníka sa navzájom delia na segmenty spojené zlatým rezom.
Každý koniec päťuholníkovej hviezdy predstavuje zlatý trojuholník. Jeho strany zvierajú na vrchole uhol 36° a základňa položená na boku ho delí v pomere zlatého rezu.
Ryža. 6. Konštrukcia zlatého trojuholníka
Vykonávame priamy AB. Z bodu A trikrát naň položte segment Oľubovoľnú hodnotu, cez výsledný bod P nakreslite kolmicu na čiaru AB, na kolmici vpravo a vľavo od bodu P odložte segmenty O. Získané body d A d 1 spojte rovnými čiarami do bodu A. Úsečka dd dajte 1 na riadok Ad 1, získanie bodu C. Rozdelila líniu Ad 1 v pomere k zlatému rezu. Čiary Ad 1 a dd 1 sa používa na zostavenie „zlatého“ obdĺžnika.
História zlatého rezu
Všeobecne sa uznáva, že koncept zlatého rozdelenia zaviedol do vedeckého používania Pytagoras, staroveký grécky filozof a matematik (VI. storočie pred Kristom). Existuje predpoklad, že Pytagoras si požičal svoje znalosti o zlatom rozdelení od Egypťanov a Babylončanov. Pomery Cheopsovej pyramídy, chrámov, basreliéfov, domácich potrieb a dekorácií z hrobky skutočne naznačujú, že egyptskí remeselníci pri ich vytváraní používali pomery zlatého delenia. Francúzsky architekt Le Corbusier zistil, že na reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. v Abydose a na reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramzesa proporcie postáv zodpovedajú hodnotám zlatého delenia. Architekt Khesira, zobrazený na reliéfe drevenej dosky z po ňom pomenovanej hrobky, drží v rukách meracie prístroje, v ktorých sú zaznamenané proporcie zlatého delenia.
Gréci boli zruční geometri. Dokonca učili svoje deti aritmetiku pomocou geometrických útvarov. Pytagorovský štvorec a uhlopriečka tohto štvorca boli základom pre stavbu dynamických obdĺžnikov.
Ryža. 7. Dynamické obdĺžniky
O zlatom delení vedel aj Platón (427...347 pred Kr.). Jeho dialóg „Timaeus“ je venovaný matematickým a estetickým názorom pytagorejskej školy a najmä problematike zlatej divízie.
Fasáda starovekého gréckeho chrámu Parthenon má zlaté proporcie. Počas jeho vykopávok boli objavené kompasy, ktoré používali architekti a sochári starovekého sveta. Pompejský kompas (múzeum v Neapole) obsahuje aj proporcie zlatého delenia.
Ryža. 8.
V starovekej literatúre, ktorá sa k nám dostala, bola zlatá divízia prvýkrát spomenutá v Euklidových Prvkoch. V 2. knihe Živlov je uvedená geometrická konštrukcia zlatého delenia. Po Euklidovi sa štúdiom zlatého delenia zaoberali Hypsikles (2. storočie pred Kristom), Pappus (3. storočie n. l.) a ďalší, ktorí sa so zlatým delením zoznámili v stredovekej Európe prostredníctvom arabských prekladov Euklidových prvkov. K prekladu sa vyjadril prekladateľ J. Campano z Navarry (III. storočie). Tajomstvá zlatej divízie boli žiarlivo strážené a držané v prísnej tajnosti. Boli známi len zasvätencom.
V období renesancie vzrástol záujem o zlatú divíziu medzi vedcami a umelcami vďaka jej využitiu v geometrii aj umení, najmä v architektúre Leonardo da Vinci, umelec a vedec, videl, že talianski umelci majú veľa empirických skúseností, ale málo vedomosti . Otehotnel a začal písať knihu o geometrii, no v tom čase sa objavila kniha mnícha Luca Pacioliho a Leonardo svoj nápad opustil. Podľa súčasníkov a historikov vedy bol Luca Pacioli skutočným majstrom, najväčším matematikom Talianska v období medzi Fibonaccim a Galileom. Luca Pacioli bol žiakom maliara Piera della Francesca, ktorý napísal dve knihy, z ktorých jedna mala názov „O perspektíve v maľbe“. Je považovaný za tvorcu deskriptívnej geometrie.
Luca Pacioli dokonale pochopil dôležitosť vedy pre umenie. V roku 1496 prišiel na pozvanie vojvodu Moreaua do Milána, kde mal prednášky z matematiky. Leonardo da Vinci v tom čase pôsobil aj v Miláne na dvore Moro. V roku 1509 vyšla v Benátkach kniha Lucu Pacioliho „The Divine Proportion“ s brilantne prevedenými ilustráciami, a preto sa verí, že ich vytvoril Leonardo da Vinci. Kniha bola nadšeným chválospevom na zlatý rez. Medzi mnohými výhodami zlatého podielu mních Luca Pacioli nezabudol pomenovať jeho „božskú podstatu“ ako vyjadrenie Božskej Trojice – Boha Otca, Boha Syna a Boha Ducha Svätého (predpokladá sa, že malý segment je zosobnením Boha Syna, väčší segment je Boh Otec a celý segment - Boh Duch Svätý).
E-knihy:
- Mário Livio.
Geometria má dva poklady: jedným z nich je Pytagorova veta a druhým je delenie segmentu v strednom a extrémnom pomere. Prvú možno prirovnať k zlatu; druhý vyzerá skôr ako drahý kameň.
I. Kepler
Vedeli ste, že keď chodíte do školy alebo do práce, počúvate hudbu, robíte domáce práce, relaxujete na dovolenke pri mori alebo podpisujete obchodné zmluvy, neustále sa stretávame s príkladmi zlatého rezu. Rastliny, zvieratá, jedlá a dokonca aj niektoré písmená sú postavené podľa princípu zlatého rezu. Zlatý rez bol dokonca nájdený v molekule DNA.
Chcel by som vám tento neuveriteľný, podľa mňa, fenomén bližšie predstaviť a povedať vám konkrétne, kde a ako sa s ním stretávame a ako ho používame.
Všeobecne sa uznáva, že koncept zlatého rozdelenia zaviedol do vedeckého používania Pytagoras, staroveký grécky filozof a matematik (VI. storočie pred Kristom). Existuje predpoklad, že Pytagoras si požičal svoje znalosti o zlatom rozdelení od Egypťanov a Babylončanov. Pomery Cheopsovej pyramídy, chrámov, basreliéfov, domácich potrieb a šperkov z hrobky Tutanchamóna skutočne naznačujú, že egyptskí remeselníci pri ich vytváraní používali pomery zlatého delenia. Francúzsky architekt Le Corbusier zistil, že na reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. v Abydose a na reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramzesa proporcie postáv zodpovedajú hodnotám zlatého delenia. Architekt Khesira, zobrazený na reliéfe drevenej dosky z po ňom pomenovanej hrobky, drží v rukách meracie prístroje, v ktorých sú zaznamenané proporcie zlatého delenia. Gréci boli zruční geometri. Dokonca učili svoje deti aritmetiku pomocou geometrických útvarov. Pytagorovský štvorec a uhlopriečka tohto štvorca boli základom pre stavbu dynamických obdĺžnikov.
Čo je to zlatý rez, aplikácia zlatého rezu v matematike.
Zlatý rez je také proporčné rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, pri ktorom celý segment súvisí s väčšou časťou, ako samotná väčšia časť súvisí s menšou; alebo inými slovami, menší segment je väčší ako väčší ako celok a: b = b: c alebo c: b = b: a.
Tento podiel možno zostaviť takto:
Z bodu B obnovíme kolmicu rovnajúcu sa polovici AB. Výsledný bod C je spojený priamkou s bodom A. Na výslednej priamke odložíme úsečku BC končiacu bodom D. Úsečku AD prenesieme na úsečku AB. Výsledný bod E rozdeľuje segment AB v zlatom pomere.
Vlastnosti zlatého rezu popisuje rovnica: x*x – x – 1 = 0.
Riešenie tejto rovnice:
V prírode bol objavený aj druhý zlatý rez, ktorý vyplýva z hlavného úseku a dáva ďalší pomer 44:56. Tento podiel bol objavený v architektúre a vyskytuje sa aj pri konštrukcii kompozícií obrazov podlhovastého horizontálneho formátu.
Tento segment AB delíme v pomere zlatého rezu. Z bodu C obnovíme kolmé CD. Pomocou polomeru AB nájdeme bod D, potom ho spojíme priamkou s bodom A. Rozdelíme pravý uhol ACD na polovicu. Z bodu C vedieme priamku k priesečníku s AD. Výsledný bod nazvime písmenom E, ktoré delí segment AD v pomere 44:56.
Na obrázku je znázornená poloha čiary druhého zlatého rezu. Nachádza sa uprostred medzi čiarou zlatého rezu a strednou čiarou obdĺžnika.
Ak je štvorec AEFD izolovaný od zlatého obdĺžnika ABCD, potom sa zvyšná časť EBCF ukáže ako nový zlatý obdĺžnik, ktorý možno opäť rozdeliť na štvorcový GHCF a menší zlatý obdĺžnik EBHG. Mnohonásobným opakovaním tohto postupu získame nekonečnú postupnosť štvorcov a zlatých obdĺžnikov, ktoré sa v konečnom dôsledku zbiehajú do bodu O. Všimnite si, že takéto nekonečné opakovanie tých istých geometrických útvarov, teda štvorca a zlatého obdĺžnika, nám dáva nevedomý estetický zmysel pre rytmus a harmóniu. Predpokladá sa, že práve táto okolnosť je dôvodom, že mnohé predmety obdĺžnikového tvaru, s ktorými sa človek zaoberá (zápalky, zapaľovače, knihy, kufre), majú často tvar zlatého obdĺžnika. Napríklad kreditné karty bežne používame v každodennom živote, ale nevenujeme pozornosť skutočnosti, že v mnohých prípadoch majú kreditné karty tvar zlatého obdĺžnika.
Zlatý obdĺžnik a kreditná karta
Pentagram a Pentagon
Ak nakreslíme všetky uhlopriečky do pentagramu, výsledkom bude známa päťuholníková hviezda. Je dokázané, že priesečníky uhlopriečok v pentagrame sú vždy bodmi zlatého rezu uhlopriečok. V tomto prípade tieto body tvoria nový pentagram FGHKL. V novom pentagrame možno nakresliť uhlopriečky, ktorých priesečník tvorí ďalší pentagram a v tomto procese možno pokračovať donekonečna. Zdá sa teda, že pentagram ABCDE pozostáva z nekonečného počtu pentagramov, ktoré sú zakaždým tvorené priesečníkmi uhlopriečok. Toto nekonečné opakovanie toho istého geometrického útvaru vytvára pocit rytmu a harmónie, ktorý je nevedome zaznamenaný našou mysľou. Pentagram obdivovali najmä Pytagorejci a považovali ho za ich hlavný poznávací znak. Budova amerického vojenského oddelenia má tvar pentagramu a nazýva sa „Pentagon“, čo znamená pravidelný päťuholník.
Povedal som vám teda, čo je zlatý rez, a teraz, keďže moja správa je venovaná uplatňovaniu zlatého rezu, teraz o ňom budem hovoriť.
Problém s králikmi. Fibonacciho čísla.
PROBLÉM KRÁLIKOV
Niekto umiestnil párik králikov na určité miesto, oplotené zo všetkých strán múrom, aby zistil, koľko párov králikov sa počas roka narodí, ak je povaha králikov taká, že po mesiaci pár králikov dáva narodenia ďalšieho páru a králiky rodia od druhého mesiaca po jeho narodení.
Je jasné, že ak prvý pár králikov považujeme za novorodencov, tak v druhom mesiaci budeme mať stále jeden pár; za 3. mesiac - 1+1=2; v 4. mesiaci - 2 + 1 = 3 páry (kvôli dvom existujúcim párom plodí potomstvo iba jeden pár); v 5. mesiaci - 3+2=5 párov (iba 2 párom narodeným v 3. mesiaci sa narodí potomstvo v 5. mesiaci); v 6. mesiaci - 5 + 3 = 8 párov (lebo len tie páry narodené v 4. mesiaci budú rodiť potomstvo) atď.
Z tohto problému vyplynulo objavenie určitého radu postupnosti prirodzených čísel, z ktorých každý člen počnúc tretím sa rovná súčtu dvoch predchádzajúcich členov: Uk = 1,1,2,3,5,8 ,13,21,34,55,89,144,233,377,. ,Táto postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť a jej členovia sa nazývajú Fibonacciho čísla. Pomer ďalšieho člena série k predchádzajúcemu smeruje k zlatému rezu
V algebre sa bežne označuje gréckym písmenom phi.
Zlatý rez neobišiel ani ľudí.
Zlatý rez je základom pre konštruovanie harmonických foriem, keďže je absolútnym zákonom formovania tvaru v prírode, ktorej sme súčasťou. Zákony harmónie sú numerické zákony.
Pri modelovaní bežného človeka si na výpočet zlatých proporcií s najväčšou pravdepodobnosťou neberieme pravítko a kalkulačku. Tieto formy jednoducho intuitívne cítime, pretože podoby človeka sa nám dostávajú do očí častejšie ako čokoľvek iné, no pri vytváraní modelu nezvyčajného tvora, rastliny, stavby by sme mali využiť znalosti geometrie a zlatého rezu tak, aby na výsledok práce sa dá pozerať bez znechutenia, hoci ak hľadáte znechutenie, tak viete, čo máte robiť.
V každom prípade znalosť prírodných zákonov (číselných zákonov) nám pomáha čo najrýchlejšie dosiahnuť požadovaný výsledok.
Nemecký profesor Zeising odviedol v polovici 18. storočia skvelú prácu: zmeral viac ako 2000 telies a navrhol, že zlatý rez vyjadruje priemerný štatistický zákon: delenie tela bodom pupka je jedným z hlavných ukazovateľov zlatého rezu. . Proporcie mužského tela kolíšu v priemernom pomere 13:8 = 1,625 a sú o niečo bližšie k zlatému rezu ako proporcie ženského tela, ku ktorým je priemerná hodnota podielu vyjadrená v pomere 8: 5 = 1,6. U novorodenca je pomer 1:1, do 13 rokov je to 1,6 a do 21 rokov sa rovná pomeru muža. Proporcie zlatého rezu sa objavujú aj vo vzťahu k iným častiam tela – dĺžke ramena, predlaktia a ruky, ruky a prstov atď.
u malých detí (asi ročných) je pomer 1:1.
Nedávno náš súčasný americký chirurg Stephen Marquart vytvoril na princípe „zlatého rezu“ geometrickú masku, ktorá môže slúžiť ako štandard pre krásnu tvár. Ak chcete zistiť, či tvár zodpovedá ideálu, stačí skopírovať masku na priehľadnú fóliu a prekryť ju na fotografiu vhodnej veľkosti.
Takže rozdelením segmentu medzi korunou a Adamovým jablkom vo vzťahu k „zlatému rezu“ dostaneme bod ležiaci na línii obočia (B). S ďalším zlatým delením výsledných častí získame postupne špičku nosa (C), koniec brady (D).
Zlatý rez v ľudskom uchu.
Vo vnútornom uchu človeka sa nachádza orgán nazývaný Slimák ("Slimák"), ktorý vykonáva funkciu prenosu zvukových vibrácií. Táto kostná štruktúra je naplnená tekutinou a má tiež tvar slimáka, ktorý obsahuje stabilný logaritmický špirálovitý tvar = 73º 43'.
Keďže zlatý rez sa človeka dotkol, poviem, že je prítomný dokonca aj v štruktúre molekuly DNA.
Všetky informácie o fyziologických vlastnostiach živých bytostí sú uložené v mikroskopickej molekule DNA, ktorej štruktúra obsahuje aj zákon zlatého pomeru. Molekula DNA pozostáva z dvoch vertikálne prepletených špirál. Dĺžka každej z týchto špirál je 34 angstromov a šírka 21 angstromov. (1 angstrom je sto milióntina centimetra). Takže 21 a 34 sú čísla nasledujúce za sebou v postupnosti Fibonacciho čísel, to znamená, že pomer dĺžky a šírky logaritmickej špirály molekuly DNA nesie vzorec zlatého pomeru 1:1,618.
Každý z nás bol aspoň raz v živote pri mori a v rukách držal mušľu v tvare špirály. No, tu je: taká škrupina je skrútená do špirály. Ak ho rozložíte, dostanete dĺžku o niečo kratšiu ako je dĺžka hada. Malá desaťcentimetrová lastúra má špirálu dlhú 35 cm.Špirály sú v prírode veľmi bežné. Myšlienka zlatého rezu bude neúplná bez toho, aby sme hovorili o špirále.
Archimedova špirála
Tvar špirálovito stočenej mušle zaujal Archimeda. Študoval to a prišiel s rovnicou pre špirálu. Špirála nakreslená podľa tejto rovnice sa volá jeho menom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je Archimedova špirála široko používaná v technológii.
Zlatý rez v maľbe a fotografii.
Vo fotografii
Keď chceme urobiť krásnu fotografiu, často si všimneme, že nevieme mentálne usporiadať predmety tak, aby na hotovej fotografii vyzerali čo najlepšie. Pomôcť nám v tom môže pravidlo zlatého rezu. Pomocou vodorovných a zvislých čiar mentálne rozdelíme hľadáčik na deväť rovnakých sektorov. Kľúčové pre nás budú štyri centrálne priesečníky horizontálnych a vertikálnych čiar.
Praktické využitie pravidla Zlatého rezu pri skladaní rámu.
Nižšie sú uvedené rôzne možnosti pre mriežky vytvorené na základe pravidla „Sekcia Zloty“ pre rôzne možnosti zloženia. Aby ste pochopili princípy, musíte experimentovať sami, skúšať a kombinovať mriežky s vašimi fotografiami. Základné siete vyzerajú takto:
Tu je fotografia mačky, ktorá sa nachádza na náhodnom mieste v ráme.
Teraz podmienečne rozdeľme rám na segmenty v pomere 1,62 celkovej dĺžky z každej strany rámu. Na priesečníku segmentov budú hlavné „vizuálne centrá“, do ktorých sa oplatí umiestniť potrebné kľúčové prvky obrazu.
Presuňme našu mačku do bodov "vizuálnych centier".
Takto vyzerá kompozícia teraz. Nie je to oveľa lepšie?
Aby ste pochopili podstatu zlatého rezu, skúste sami odfotografovať človeka sediaceho na záhradnej lavičke. Uistite sa, že najharmonickejšia fotografia bude taká, na ktorej osoba nesedí v strede alebo na okraji, ale v bode zodpovedajúcom zlatému rezu (rozdelenie lavice v pomere približne 2:3).
V maľbe
Majstri starovekého Grécka, ktorí vedeli vedome využívať zlatý pomer, ktorý je v podstate veľmi jednoduchý, šikovne uplatnili svoje harmonické hodnoty vo všetkých druhoch umenia a dosiahli takú dokonalosť v štruktúre foriem vyjadrujúcich ich sociálne ideály. , ktorý sa v praxi svetového umenia vyskytuje len zriedka. Celá staroveká kultúra sa niesla v znamení zlatého podielu. Tento pomer poznali už v starovekom Egypte. Ukážem to na príklade takých maliarov ako: Raphael, Leonardo da Vinci, Botticelli, Shishkin.
V Raphaelovom prípravnom náčrte sú nakreslené červené čiary, ktoré vedú od sémantického stredu kompozície - od bodu, kde sa prsty bojovníka uzavreli okolo členku dieťaťa - pozdĺž postáv dieťaťa, ženy, ktorá ho drží blízko, bojovníka so zdvihnutým mečom, a potom pozdĺž postáv tej istej skupiny na náčrte na pravej strane. Ak tieto kúsky prirodzene spojíte zakrivenou bodkovanou čiarou, získate veľmi presné výsledky. zlatá špirála! Dá sa to skontrolovať meraním pomeru dĺžok segmentov rezaných špirálou na priamkach, ktoré prechádzajú začiatkom krivky. "Masaker nevinných" Raphael
Na slávnej freske „Aténska škola“, kde sa v chráme vedy nachádza spoločnosť veľkých filozofov staroveku, naša pozornosť upútava skupinu Euklida, najväčšieho starovekého gréckeho matematika, analyzujúceho komplexnú kresbu. Dômyselná kombinácia dvoch trojuholníkov je tiež konštruovaná v súlade s podielom zlatého rezu: dá sa vpísať do obdĺžnika s pomerom strán 5/8. Tento výkres sa prekvapivo ľahko vkladá do hornej časti architektúry. Horný roh trojuholníka spočíva na základnom kameni oblúka v oblasti najbližšie k divákovi, dolný roh sa dotýka úbežníka perspektív a bočná časť označuje proporcie priestorovej medzery medzi dvoma časťami oblúkov. .
LEONARDO da VINCI
Portrét Mony Lisy (La Gioconda) od Leonarda da Vinciho je atraktívny, pretože kompozícia obrazu je postavená na „zlatých trojuholníkoch“, presnejšie na trojuholníkoch, ktoré sú kúskami pravidelného päťuholníka v tvare hviezdy.
„Posledná večera“ je Leonardovo najvyspelejšie a najkompletnejšie dielo. V tomto obraze sa majster vyhýba všetkému, čo by mohlo zatieniť hlavný priebeh, ktorý zobrazuje, dosahuje vzácnu presvedčivosť kompozičného riešenia. Do stredu umiestni postavu Krista, zvýrazňuje ju otvorením dverí. Zámerne vzďaľuje apoštolov od Krista, aby ešte viac zdôraznil svoje miesto v kompozícii. Nakoniec za rovnakým účelom núti všetky perspektívne línie, aby sa zbiehali v bode priamo nad hlavou Krista. Leonardo rozdeľuje svojich študentov do štyroch symetrických skupín, plných života a pohybu. Robí stôl malý a refektár - prísny a jednoduchý. To mu dáva možnosť zamerať pozornosť diváka na postavy s obrovskou plastickou silou. Všetky tieto techniky odrážajú hlbokú cieľavedomosť tvorivého plánu, v ktorom sa všetko zvažuje a berie do úvahy. "
Botticelli - "Zrodenie Venuše"
Obraz nezobrazuje samotné narodenie bohyne, ale okamih, ktorý nasledoval, keď sa hnaná dychom géniov vzduchu dostane na breh, kde ju stretne jedna z milostí. Podľa starogréckeho básnika Hésioda (Theogony, 188-200) sa Venuša zrodila z mora - z peny, ktorú vyprodukovali pohlavné orgány vykastrovaného Uránu (SATURN), ktorý Cronus hodil do vody. Pláva na breh v otvorenej škrupine, poháňaná jemným vánkom, a nakoniec pristane v Pafose (Cyprus) - jednom z hlavných miest uctievania a kultu v staroveku. Jej grécke meno Afrodita môže byť odvodené od aphros, čo znamená „pena“.
Neďaleko ostrova Cythera sa zo snehobielej peny morských vĺn zrodila Afrodita, dcéra Urána. Ľahký, láskavý vánok ju priviedol na ostrov Cyprus. Tam mladý Oras obklopil bohyňu lásky, ktorá sa vynorila z morských vĺn. Obliekli ju do zlatom tkaného odevu a korunovali vencom z voňavých kvetov. Kamkoľvek Afrodita vkročila, kvety nádherne rástli. Celý vzduch bol plný vône. Eros a Himerot viedli úžasnú bohyňu na Olymp. Bohovia ju hlasno pozdravili. Odvtedy zlatá Afrodita, večne mladá, najkrajšia z bohýň, vždy žila medzi bohmi Olympu.
Na tomto slávnom obraze I. I. Šiškina sú jasne viditeľné motívy zlatého rezu. Jasne slnkom osvetlená borovica (stojaci v popredí) rozdeľuje dĺžku obrazu podľa zlatého rezu. Napravo od borovice je slnkom zaliaty pahorok. Rozdeľuje pravú stranu obrazu horizontálne podľa zlatého rezu. Naľavo od hlavnej borovice je veľa borovíc - ak chcete, môžete úspešne pokračovať v delení obrázka podľa zlatého rezu ďalej.
Prítomnosť jasných vertikál a horizontál, ktoré ho rozdeľujú vo vzťahu k zlatému rezu, mu dáva charakter rovnováhy a pokoja v súlade so zámerom umelca. Keď je zámer umelca iný, ak povedzme vytvorí obraz s rýchlo sa rozvíjajúcou činnosťou, takáto schéma geometrickej kompozície (s prevahou vertikál a horizontál) sa stáva neprijateľnou.
Zlatý rez v architektúre
Architektúra je schopnosť nášho vedomia upevniť pocit doby v hmotných formách. Le Corbusier
Jedným z najkrajších diel starogréckej architektúry je Parthenon (5. storočie pred Kristom).
Obrázok ukazuje množstvo vzorov spojených so zlatým rezom.
Na pôdoryse Parthenonu môžete vidieť aj „zlaté obdĺžniky“:
V proporciách budovy katedrály Notre Dame v Paríži vidíme aj zlatú proporciu.
M. Kazakov vo svojej tvorbe pomerne široko používal „zlatý rez“.
Jeho talent bol mnohostranný, no vo väčšej miere sa prejavil v početných realizovaných projektoch obytných budov a usadlostí. Napríklad „zlatý pomer“ možno nájsť v architektúre budovy Senátu v Kremli.
Mnohí starovekí sochári pri stavbe svojich diel používali pravidlo zlatého pomeru.
Zvážte to na príklade sochy Apolla Belvedere: pupočná čiara rozdeľuje výšku zobrazenej osoby vo vzťahu k zlatému rezu.
A ešte pár príkladov na dôkaz toho, že v sochárstve dodržiavame zlatý rez.
Doryfor z Polykleita a jeho harmonická analýza
Venuša de Milo a jej harmonická analýza
Michelangelov Dávid
6. Zlatý rez v živej prírode
Všetko na svete je spojené s jediným začiatkom:
V pohybe vĺn - Shakespearov sonet,
V symetrii kvetu sú základy vesmíru,
A v speve vtákov je symfónia planét.
Živá príroda sa vo svojom vývoji snažila o čo najharmonickejšiu organizáciu, ktorej kritériom je zlatý podiel, prejavujúci sa na rôznych úrovniach – od atómových kombinácií až po stavbu tiel vyšších živočíchov.
Kvety a semená slnečnice, harmančeky, šupiny v plodoch ananásu, šišky ihličnanov sú „zabalené“ v logaritmických špirálach, ktoré sa navzájom stáčajú. Navyše čísla „pravých“ a „ľavých“ špirál vždy súvisia navzájom, ako susedné Fibonacciho čísla.
Vo vzorcoch na usporiadanie listov (fylotaxiu) mnohých rastlín sú Fibonacciho čísla usporiadané striktne pravidelne - cez jednu, napríklad lieska -1/3, dub, čerešňa - 2/5, rakytník -5/13
Zvážte výhonok čakanky. Z hlavnej stonky sa vytvoril výhonok. Prvý list sa nachádzal práve tam. Výhonek vykoná silné vymrštenie do priestoru, zastaví sa, uvoľní list, ale tentokrát je kratší ako prvý, opäť vykoná vymrštenie do priestoru, ale s menšou silou, vypustí list ešte menšej veľkosti a opäť sa vymrští. .
Ak sa prvá emisia berie ako 100 jednotiek, potom sa druhá rovná 62 jednotkám, tretia – 38, štvrtá – 24 atď. Dĺžka okvetných lístkov tiež podlieha zlatému pomeru. Pri pestovaní a dobývaní priestoru si rastlina zachovala určité proporcie. Impulzy jej rastu postupne klesali úmerne zlatému rezu.
Zrážkam s týmto podľa mňa pozoruhodným fenoménom zlatého rezu sa nevyhli mnohé motýle a iný hmyz. Pomer veľkostí hrudnej a brušnej časti tela zodpovedá zlatému pomeru. Zložením krídel tvorí nočný motýľ pravidelný rovnostranný trojuholník. Ale akonáhle roztiahne krídla, uvidíte rovnaký princíp delenia tela 2,3,5,8. Vážka je tiež vytvorená podľa zákonov zlatého podielu: pomer dĺžok chvosta a tela sa rovná pomeru celkovej dĺžky k dĺžke chvosta.
Snehové vločky sú vodné kryštály, ktoré sú viditeľné našim voľným okom. Sú neuveriteľne krásne a tvarovo odlišné, ale všetky ich súčasti sú geometrické tvary a bez výnimky sú postavené podľa princípu zlatého podielu.
Zlatý rez zasiahol dokonca aj poéziu a hudbu.
V poézii
V štruktúre každej básne si nemôžeme nevšimnúť isté vzorce, a teda zlatú proporciu a Fibonacciho čísla. Každá druhá báseň A. S. Puškina obsahuje ukážku (vzor) zlatého rezu. A vzorka (vzor) zrkadlovej symetrie je v každej tretine. Jeden z týchto dvoch vzorov sa nachádza v dvoch z troch básní (524 alebo 66 %) a oba vzory sa nachádzajú v každej piatej básni (150 alebo 19 %).
Hlavné funkcie zlatého rezu v Puškinových dielach sú:
}
